复变函数习题答案第3章习题详解

1、 第三章习题详解1.沿下列路线计算积分，12dz。01）自原点至3+i的直线段；3+iz2dzoo解：连接自原点至3+i的直线段的参数方程为：zG+0t1dzG+ddt=1G+i）312dt=1（3+i）313P-1（3+i）3-3o2）自原点沿实轴至3，再由3铅直向上至3+i；3z2dz=3t2dt=00解：连接自原点沿实轴至3的参数方程为：ztot1dzdt313=3330连接自3铅直向上至3+i的参数方程为：z=3+it0t1dz=idt3+iz2dz=1(3+it)2idt=303G+社)=1G+儿30/.3+1z2dz312dt+1（3+it）2idt33+ooo333）自原点沿虚轴

2、至i，再由i沿水平方向向右至3+i。解：连接自原点沿虚轴至i的参数方程为：zit0t1I33-Ji)3-333=3Ji)3dzidtiz2dz=1Gt)idt=oo11I330连接自i沿水平方向向右至3+i的参数方程为：z=t+i0t1dzdt=%+idt(t+i)3=丄(1+i)33+iz2dzioo:.3+z2dzz2dz+3+z2dzi3+ooi32.分别沿yx与yx2算出积分J1+iC2+o的值。解：*y=x:.x2+iy=x2+ix:.dz=G+i1+1Ce2+iydzG+i)1C+ixdx(1+ioo1x3+x232丿o/yx2x2+iyx2+ix2(1+i)x2dz=G+i2x)

3、dx/.1+1,x2+iydG+iH1x2(1+i2x)dx=G+i11.)32丿 0，2kcos9d(cos9+isin9)=Ki02ksin9d(cos9+isin9)=一兀04利用在单位圆上z的性质，及柯西积分公式说明zC2兀i，其中C为正向单位圆周乙1。解：-11zzz一0z0dz2Kf(0)2KiC5计算积分zdz的值,zC其中C为正向圆周:1)解：在|z|2上,z2ei9JzdzJ2K竺dO2K2id3i294Kiz0200C2)解：在z4上,z4e，3zdz2K竺d4ei3)2K4id3b491k8Kiz0400C2k4e川6试用观察法得出下列积分的值，并说明观察时所依据的是什么

4、？C是正向的圆周z1。1)Jdzz-2C解:dzf占在C内解析，根据柯西古萨定理，己0C2)z2+2z+4C3.设fz)在单连通域B内处处解析，C为B内任何一条正向简单闭曲线。z0是否成立？如果成立，给出证明；如果不成立，举例说明。C解：不成立。例如：fz)=z，C：zei，03兀 # 解:f)尹三二爲在C内解析，根据柯西古萨定理，石去壬0C3)_coszC # #解：f)=cO&在C内解析根据柯西古萨定理旦二0coszC #4)dzJ1CzC2解：fQ)=1在C内解析，z=在C内，dz021CzC25)zezdz #解：fQ)=zez在C内解析，根据柯西一古萨定理，zezdz=0C6)dz

5、# #解：内解析，z0=2在C内，Cdz(z+2,=2i-12+-27沿指定曲线的正向计算下列各积分：1) # #解：z二-，C:|z2一a2C在C内fL在C解析根据柯西积分公式：三dd二沁22)C #解：z二a在C内,/土在C解析，根据柯西积分公式:_z2a2C=3)eizdz,C：z2+1Cz-2i=2解：z=i在C内,f)=z+7在C解析，根据柯西积分公式:旦z2+1Cz+adz=iz2a2Ceizdz=777dz=-zieC 4)dz,C:|z|，2 # #解：z=3不在C内,f（z），三在C解析，根据柯西一古萨定理：三dd=0C5)解：6)解：f(z)=41z3coszdz，C:为包

6、围z，0的闭曲线Cf(z)，z3cosz在C解析，解析，根据柯西一古萨定理：J一1）身一1=0C根据柯西一古萨定理：z3coszdz，0C7)解：z=i在C内，f(Z)=)1+4解析，根据柯西积分公式：J（2+I+4C # #8)%,C：|z|，1zC解：z，0在C内，f（z，sinz在C解析，根据柯西积分公式：dz，2兀isin0，0zC #9)sinz冗、1z一J-dz,C:2 #解：冗-dz，2兀isin，022z，在C内，f（z，sinz在C解析，根据高阶导数公式：-2（兀、Cz一2J # 10)!ezJ-z5Cdz,C:|z|，1解：z=0在C内f在C解析根据高阶导数公式：号dz=罟

7、f（4）（0）,孚C81)计算下列各题3nie2zdz一兀i，0z3 解：J3ie2zdz，-i1e2z23i1()，e6ie-2i，02-i2)J0ch3zdzI6解：3)J0ch3zdz，6J帀sin2zdz；-i101兀-sh3z0-sh_iL33I2丿i3i6解：Jrasin2zdz，Jra-i-i1-cos2zdz，2-2i-sin2z24i，i-sh22-i4)解：5)解：J1zsinzdz；0J1zsinzdz，-J1zdcosz，-“zcosz1+J1coszdz，-cos1+sin10000Jz-i)e-zdz；0Jz-i-zdz，-J1z-ibe-z，-00-z0+Je-z

8、dz，G-i)e-e-，ie-06)1tgzJ1dz（沿1到i的直线段）。1cos2z解：JtgZdz，J1Gtgztgz，dz1cos2z1tgz-tg2ztgi-tg2i-tg1-tg219计算下列积分：1)4Iz+1z+2i丿Cdz,(其中C:z,4为正向）;解:43)+Iz+1z+2i丿Cdz，J4dz+J-dz，2i(4+3)，14兀iz+1z+2iCC2)Jidz,(其中C:z1|，6为正向);C解:3)J2dzz21CJ讥+朮-i)d,J血+Jt-i血=2CCC解:2iz-iz，-i丿C，C1C2cosz-dz，(其中Ci：|z|,2为正向，C2:|z|,3为负向);z3cosz

9、coszfz丿，在所给区域是解析的，根据复合闭路定理：Jdz，0z3C，C1+C2 1dz，0z2c111)2)-dzIZ，4Z解：1)dz，I，2Z2冗2e川02e2ieisd9，0；2)dz，zoz，44e冷271竺一畑dS，04ei3由此可见，1）和2）的积分值相等。但2）的值不能利用闭路变形原理从1）得到。因为fz，在复平面上处处不解析。12.设区域D为右半平面，乙为D内圆周|z|，1上的任意一点，用在D内的任意一条曲线c连接原点与z，证明Re。提示：可取从原点沿实轴到1,再从1沿圆周|z|，1到Z的曲线作证明：因为f（），厂卜在D内解析，故积分zd与路径无关，取从原点沿实轴到1，再从

10、11201a，fz,q在所给区域内解析，根据柯西一古萨基本定理：Jdsdz，0CfQ），ez在所给区域内解析，根据高阶导数公式：dz，Lea，eE-a丿32!C10.证明：当C为任何不通过原点的简单闭曲线时，丄dz，0。z2C证明：当C所围成的区域不含原点时，根据柯西一古萨基本定理:当C所围成的区域含原点时，根据高阶导数公式：丄dz，2兀f（0，0；z2C下列两个积分的值是否相等？积分2）的值能否利用闭路变形原理从1）的值得到？为什么？沿圆周乙i到乙的曲线作为c，贝y：01+：2d=91dei9=arctgx1o1,e2i9o:J91d9=K,ioe-i9+ei94:J92sec9d9oRe0

11、1，2d13.设C1和C2为相交于M、N两点的简单闭曲线，它们所围的区域分别为代与。竹与2的公共部分为B。如果f(z)在Bi-B与B2-B内解析，在Ci、C2上也解析,证明：Jf九=Jf(ZkCi证明：如图所示,f(zhB1-B与B2一B内解析，在C1、C2上也解析,Jf(z)dz=0Jf(zdz=0nJf(zbz=Jf(z)dzNOMP、NMRNP2MNOMPN.Jf(z九+Jf(z)dz=Jf(z)dz+Jf(z九MRNP2MNOMMRNMPNMRNNP2MnJfQ、dz-JfQ)dz=JfQbz-JfQbzNOMMRNNP2MMRNMP!NnJf(z九+Jf(zbz=Jf(z九+Jf(z

12、)dz由柯西一古萨基本定理有:ClBiM0BRp.NOMMP2NMRNNPMC2C1 #14.设C为不经过与-的正向简单闭曲线，为不等于零的任何复数，试就与-跟C的不同位z置，计算积分dz的值。z2一2C解：分四种情况讨论：)如果与-都在“勺外部，则f(z)=z2-在C内解析，柯西一古萨基本定理有Jdz=0z2一2C2)如果与-都在C的内部，由柯西积分公式有JJz2一2Cdz,J(dz=2兀i一+丿 # #3)如果在C的内部，都在C的外部，则旳=z:在C内解析，由柯西积分公式有 zfzdzfz2a2C15.设C与C为两条互不包含，也不相交的正向简单闭曲线，证明1212,ifz2fsinz,Jd

13、z+JdzzzzzLc0c012z2,当z在C内时，001sinz，当z在C内时。002证明：因为C与C为两条互不包含，也不相交，故c与C只有相离的121*位置关系，如图所所示。cCi(01)当z在C内时，fz)sinz0在C2内解析,根据柯西一古萨基本定理以及柯西积分公式:i2,ifz2zzLc10sinz,dz+dzz一z0C22)当z0在C2内时fz)12,i2,iz2在C1内解析,根据柯西一古萨基本定理以及柯西积分公式:12,ifz2zzLc1012,ifz2zzLC1sinz”dzzzC20sinz,dz+dzzz0C2012,i+2,isinzsinzzz00z2,当z在C内时，0

14、sinz，当z在C内时。002adz2,i,iaa+ac4）如果皿C的外部，-a都在c的内部，则旳z:a在C内解析，由柯西积分公式有z_dz2,i-a,i+aaafzdzf（z2a2CC 16.设函数fQ）在0”z1内解析，且沿任何圆周C:zr，0”丫”1的积分等于零，问fQ）是否必需在z0处解析？试举例说明之。解:1dz0oz2zr1不一定。例如：fQ）1在z0处不解析，但J*z217.设fz）与gz）在区域D内处处解析，C为D内的任何一条简单闭曲线，它的内部全含于D。如果fQ）gQ）在c上所有的点处成立，试证在c内所有的点处fQ）gQ）也成立。证明：设z是C内任意一点，因为fz）与gz）在

15、C及C内解析，由柯西积分公式有:fz)严)d：,gz)2,i一zC2；.蛙）d：2,i一zC理d,J理d,z,zCC又f,)二g,)在C上所有的点处成立，故有:即fQ)=gQ)在c内所有的点处成立。18-设区域是圆环域，/在内解析，以圆环的中心为中心作正向圆周&与K,K包含Ki,zo为K，K之间任一点，试证614)仍成立，但C要换成K-+K。1212证明：19.设fz)在单连通域B内处处解析，且不为零，C为B内任何一条简单闭曲线。问积分fdz是C否等于零？为什么？解：因为f)在单连通域B内处处解析且不为零，又解析函数fQ)的导数fQ)仍然是解析函数，故在B内处处解析。根据柯西古萨基本定理，有2

16、0解：21C试说明柯西古萨基本定理中的C为什么可以不是简单闭曲线？如C不是简单闭曲线，将C分为几个简单闭曲线的和。如C=Ci+C2，则Ci，C2是简单闭曲线。C2C1设f(z)在区域内解析，C为内的任意一条正向简单闭曲线，证明：在对内但不在C上的任zzC0意一点zo，等式dz=(了Fdz成立。C0证明：分两种情况：1)如果zo在C的外部,2)如果zo在C的内部,4和虫在C内解析，故fdz=(f(z)dz=oz-zz一zz-zz-z力ooCoCo西积分公式有：f-dz=2兀f(z)二2兀f(z)Cz一zo=zo在c内解析的函数f(z)，其导函数f(z)仍是C内的解析函数，根据柯0,ff)z=zo

17、由咼阶导数公式有：(z)dz2兀旷(z)C0dz=上4dzz-zz-zhC0C022.如果申(x,J)和中G)都具有二阶连续偏导数，且适合拉普拉斯方程，而s-中，yxt=9，那末s,it是x,iy的解析函数。xydsds证明：s=9.=9中，=9yxdxyxxxdyyyxydtdt/t=9.=9，中，=9+xydxxxyxdyxyyy又申（x,y）和中,y）都具有二阶连续偏导数，所以混合偏导相等，即9=9,=yxxyxyyx9（x,y）和,y）满足拉普拉斯方程：9，9=0，=0 xxyyxxyy.亍=9中xxxdstT9yy-xy飞 # #故s+it是x,iy的解析函数。dudu23.设u为区

18、域D内的调和函数及f=dX-示问f是不是D内的解析函数？为什么？解：设f=s,it，则s=冻dudyd2udx2dsd(dud2udydyIdxJdydxdtd(dudxdxdyJd2udxdydtd(dudydydyJd2udy2 # #因为u为区域D内的调和函数，具有二阶连续偏导且满足拉普拉斯方程nf是D内的解析函数。dsdtds=dtdxdydydx24.函数v=x+y是v=x+y的共轭调和函数吗？为什么？dudvdudv，丰-dxdydydxdududvdv解：x=1，石二，x=1，亦二1故函数V=x+y不是v=x+y的共轭调和函数。25.设u和v都是调和函数，如果v是u的共轭调和函数

19、，那末u也是v的共轭调和函数。这句话对吗?为什么？解：这句话不对。如果v是u的共轭调和函数，则fQ）=u,iv是解析函数，满足柯西一黎曼方程： # #dudvdudv,ndxdydydxdxdyu)dvdudyd(u)dydxdx 即-u是v的共轭调和函数，u就不是v的共轭调和函数。26证明：一对共轭调和函数的乘积仍为调和函数。证明：27.如果fQ)u+iv是一解析函数，试证：if0也是解析函数；证明：-u是v的共轭调和函数；证明：2/Q)22/(z)2()(,2+4u2+v2丿=4f2。X2y2xx1证明：y28.证明；ux2-y2和v都是调和函数，但是u+iv不是解析函数。x2+y2证明2

20、9.求具有下列形式的所有调和函数u:uf(ax+by),a与b为常数；解：y)uf。提示：1)1令tax+byIx丿因u+u0，从而有f(t)0；2)令txxyy。解：30.由下列各已知调和函数求解析函数f(z)=u+iv。1)u(x-y人2+4xy+y2丿;解：2)v，f(2)0；x2+y2解：u2(x1)y，f(2,-i；解：yvarctg，x0。x解：设vepxsiny，求p的值使v为调和函数，并求出解析函数f(z)u+iv。解：如果u(x,y)是区域D内的调和函数，C为D内以z。为中心的任何一个正向圆周：|z-z0r，它 的内部全含于D。试证：提示：利用平均值公式G.5.3)。1)u(x,y)在(x,y)00的值等于u(x,y)在圆上的平均值u(x,y)=-!-,2u(xoo证