11496工大概率论与数理统计1-10概率统计

1、第六章数理统计的基本概念6.1总体、样本与统计量一、基本概念：概率论中问题的，常常从已给rvX的分布、数字特征已知出发，但在实际问题中,人们事先并不知道事件概率, rvX的概率分布和数字特征,对它们进行估计与推断本问题。数理统计的基11(怎样抽样)试验设计数理统计统计推断: 估计问题与假设检验（未知参数或未知概率分布）例1.从5000个产品中随机地抽检一个产品，结果可能合格，也可能不合格，X表示合格品个数X01P1PP2(X=1)合格，（X=0）不合格，但是，P=？事先未知，即0-1分布未知。问（1）如何求出或近似地求出p值？（2）若人们根据以往生产经验提出假设：“H0：P=0.65”，那么，

2、是同意这个假设，还是否定这个假设呢？应该用什么方法检验？（U检， 2-检， t-检， F-检）3统计手法：从研究对象的全体元素中随机地抽取一小部分进行观察（or试 验），然后用观察得到的资料（or数据）为出发点，以概率论的理论为基础对上述问题进行估计或推断，称之为统计推断。41总体（）：在数理统计中，把研究对象的全体元素成总体的每个元素称为的集合。而把组。有限总体、无限总体。某城市在一定条件下培养的大学生的数集合为无限总体.便于叙述，一旦所的数量指标明确后，总体与其数量指标相应的概率分布等同起来, 即总体是一个概率5分布或服从某个概率分布的rvX2样本：从总体X中随机抽检n（随机抽样），则得组

3、观察值x1,xn，称此E为随机抽样，简称抽样。n为样本容 量，若离开特定的某次抽样即将抽样结果一般化，则抽得结果为n个rv，称这n个6rvX1, X2, Xn,为来自总体X的一个容量为n样本or（X1, X2, Xn）为来自总体X的样本。n维rv (X1, , Xn)的dfF(x1, , xn)为样本的分布，对应样本值(x1, , xn)为样本点，样本点的全体称之为样本空间。目的：数理统计任务即研究如何根据样本来推断总体。为使抽得样本很好反映总体特性，通常假定总体X的n次观察是7在相同条件下独立重复进行的。常用的样本是简单随机样本。定义1：若X1,Xn为来自总体X一个样本，且满足：X1，X2，

4、Xn是相互独立的n个rv;X1，X2，Xn与总体X同分布。则称X1，Xn为简单随机样本。8注：今后若无特别说明，一般而言，样本X1，Xn是指简单随机样本。怎样构造函数T=T (X1, , Xn)，以便把样本中所包含有关信息集中起来，然后再利用之进行统计推断且T为 rv。3统计量：（样本(X1, , Xn)的Borel函数）定义2设X1, , Xn为总体X的容量为n的样本， T (X1, , Xn)是定义在样本空间上9且不依赖于未知参数的cf,则称T=T (X1, , Xn）为一个统计量。例2构造统计量与非统计量，总体X N , 2 未知, 2已知10n/2fi121fXinX /i12f3i1

5、nX 2n f 4ii111几个重要统计量：X 1nn X样本均值：ii11nX X 2样本方差：S 2n 1ii11X 2nX 2 k为自然数nn 1ii1 1nk阶原点矩： An X kkii1121nX Xk ,Bk为自然数k阶中心矩：kini111 n 2XnXnX22S*n n X2iii1i1为样本二阶中心距。顺序统计量：设x1,xn为样本的一组观察值，将之按大小次序排列得到n X( xi)总以)作为它的取值( i13称X(i)为第i个顺序统计量，X 1与X n 分别为最小顺序统计量与最大顺序统计量。样本中位数X n 1n为奇数n2M 1X X n 1n为偶数2 2 214 Xn

6、样本极差：R称1X为样本极差。n 6.2 三大分布 2t,一、三大分布,F分布与抽样分布th1、 2分布N0 , 11 n,i设X ,X 独立同分布X，1ni15n 2 nZ i1X 2则它们的平方和P(x)i n02x16 2 n,则有 2 2变量性质：若（1）E 2 n, D 2 2n（2） 2 分布之可加性：独立且 X n Y n，22若 XY，12 Y n n （卷积公式）Z X2则12（3）n 很大时，Z N n,2n，172 n N 0,1（中心极限 th）。2n（ 4 ） 2 n 上侧分位数，若对某些 0 1和不同 n，查附表，一个满足等式P 2 n 的临界值的数2值 n ，则称

7、临界值 n 的数值为22 n2的上侧分位数。182 t 分 布: 设X ， Y独 立 且2 n:，则称 T=X/ Y, N0,Y1X服从/n度为 n 的 t 分布，记 Tt(n)变量 pdfp(t)曲线十分近似标准（1） T正态变量 pdf 曲线,(当n 30 时)(2)若给出了 和n，有临界值n 临界值 n的数值为度t n 满足等式 PT t t n的数值，则称临界值tt n的上侧 分位数。19P(t)t nt0202(n1), Y2(n2)且rvX与-F.分3布：设XY独立，则称X / Yn2XFn1nn1Y2度为n1，第二度为n2的服从第一F-分布，记FF(n1,n2)。21(1)F(n

8、1,n2)上侧分位数：对某些n1，n2，(01)，查附表得临界值F(n1,n2)的数值，则称F(n1,n2)为F(n1,n2)的上侧分位数。(2) 分位数性质：F (n1 , n2 ) 1/ F1 (n2 , n1 )Proof : X x2(n ),Y x2(n )1222P(x)0 xF1 (n1 , n2 )F (n , n )1223且X与Y独立。F X / n1 n2 X F (n , n ),12Y / nnY21Y / n2 F (n , n )21X / n1 (0 1)于是对有上侧分位数 F(n1,n2)使24PY / n2 F (n , n ) X / n211而PY /

9、n2F (n , n ) X / n211p X / n11 Y / nF (n , n ) 122 1 P X/ n11 Y) / nF( n, n22125故 p X / n1 1 1Y / nF (n , n )221X/ n 1F ( n, n)12Y/ n又21表示 F(n ,n )上侧1-分位数故12F (n , n )121F(n ,n ) 112F (n ,n )2126可从分位数F (n2 , n1 )求出分位数F1 (n1 , n2 )例 0.05, n1 8, n2F0.05 (8,12) 2.85, 121(12,8) 0.35F0.952.85二、抽样分布：前提：总体

10、 X 为正态总体，(X1,Xn)为来自正态总体随机样本。X的简单27Th1（样本均值分布）设X1,Xn 为总体 N (, 2 ) 的一个样本， 则样本均值 2X N (,)n推论：设 X 为正态总体 N (,2 ) 样本均X n N (0,1)值，则28 X1 , , Xn为 N ,机样本，2 Proff:一个简单随 X 1 nX 亦为正态变量ini1而EX 1 nEX 1 n inni1 1 1DX 1 n2DX 2in2n2nn229 X N , 12 n故 X N 0,11n即X n N 0,130Th2（样本方差分布）设 X1,Xn 为总体N (, 2 )的一个样本，则样本方差样本均值

11、X 相互独立，且S2与(n 1) S 2 2 (n 1) 2Th3设 X1,Xn 为总体N ( , 2 )的一个样本， X 与 S2 分别为样本均值和样本方差，则X Sn t(n1)s s2其中31 X N ( 0 ,1)(Th 1)/n(n 1)s2 2 (n 1)2(Th2)且X 与 S2 独立X (n 1)s2 /与n亦独立。232X (n 1)s2 2t / n 1/ /n X st-分布定义n t(n 1)33Th4设X1，Xn1和Y1， Yn2分别是来N (, 2 )N ( , )2自总体和，它们21相互独立，则：X Y (1 ) t (n n 2)21211nSwn12其中34(

12、n 1)s2 (n 1)s2Sw 1122 ,n1 n2 2s2 , s2分别为两个样本的样本方差。12由Th1知： 2 2 ,Y N (2 , nX N (),)1n12 X与Y独立，故35X Y N ( ,( 1 1 ) 2 )12nn12 Y (1 2 ) N (0,1)X从而11n1n2由Th2知：(n 1)s2(n 1)s2 x (n1 1), x (n2 1)221 212 2236又二者独立，故由X2分布可加性：(n 1)s2 (n 1)s2n2 2)2 x (n111 222而t分布定义 ( XY)t1211n 1n2与37(n 1)s2 (n 1)s2相互独立1122 2由t

13、分布定义X Y (1 2 )t (n 1)s2 (n 1)s2n1 n2 21111222n1n238 X Y (1 ) t(n n 2)2121 1Swnn12Th5设X1,Xn1和Y1,Y2,，Yn2分别是总N ( , )2N ( , )2体和的两个样2211本，它们相互独立，则：39s22 F (n1 1, n2 1) 11 s2222s2和s2其中差。分别是两个样本的样本方12由Th2：(n 1)s2(n 1)s2 x (n1 1),1)22 x (n211222122(n 1)s2(n 1)s211 22 21与22相互独立。40由F定义：(n 1)s2n1 1112212s F (n1 1, n2 1)11(n 1)s2s222n2 122222N (, 2 )样本。例3设X1,X n,Xn+1来自X 11nn2X , s* n n( X X )2iii1i