大一高数复习资料

1、高等数学期末复习资料第1页(共9页)高等数学期末复习资料第1页(共9页)高等数学(本科少学时类型)第一章函数与极限第一节函数O函数基础(高中函数部分相关知识)()O邻域(去心邻域)()_U(a,Ix-a邻域(去心邻U(a,8)=lxU(a,)=x10 x-a第二节数列的极限O数列极限的证明,()【题型示例】已知数列人，证明limx=annxTg【证明示例】s-N语言()由x-as化简得ng(s),N=|_g(s)即对Vs0,N=g(s)。当nN时，始终有不等式x-as成立，limr=anxTg第三节函数的极限OxTx0时函数极限的证明()【题型示例】已知函数fO，证明limf(x)=AxTx0

2、【证明示例】语言1由If(x)-Al=g(s)2.即对Vs0,=g(s),当0f(x)-A|s成立,=A8化简得0 x-g时,始终有不等式limf(x)x-x0OxTg时函数极限的证明()()【题型示例】已知函数f(x)，证明limf(x)=AxTg【证明示例】X语言1由f(x)-A|8化简得|XgI)2.即对Vs0,XgG),当xx时的无穷小；0 xTg3.由定理可知limf(x)g(x)=0 xTx0(limf(x)g(x)=0)xTg第五节极限运算法则O极限的四则运算法则()(定理一)加减法则(定理二)乘除法则()关于多项式P(x)、q(x)商式的极限运算pW=axm+axm-1+a设：

3、5()01mq匕丿=bxn+bxn-1+b01ngnmlimxTx0特别地，HO05g0g(x)”00g(x)=0,f(x)”000g(x)=f(x)=000当lim不定型)时，通常分子分母约去公因式即约去可去间断点便可求解出极限值，也可以用罗比达法则求解)【题型示例】求值limxT3高等数学期末复习资料第 页（共9页）高等数学期末复习资料第 页（共9页）【求解示例】解：因为X3,从而可得x丰3,所以原式limx3limx3x一3(x+3)(x-3)limx3解：lim”2x+3x+1x“2x+1丿limx“”2x+1+2x+1”lim”1+2x+1“2x+1其中x3为函数数,x）=三|的可去

4、间断点倘若运用罗比达法则求解（详见第三章第二节）”lim”1+2x+1“2I22x+12x+1丿(x+1)lim2x+1二?(x+1)解：limx3(x-3)-口lim丄x32x”lim”1+2x+1“limI2x+1(x+1)e2x+i2x+1-O连续函数穿越定理，（复合函数的极限求解）（）（定理五）若函数fG）是定义域上的连续函数，那么，limfp,x）flimQ（x）|xx0【题型示例】求值：limx3【求解示例】limx3xx0 x3x2一9第六节极限存在准则及两个重要极限O夹迫准则(P53)()sinxlim1x0 x第一个重要极限：sinxsmxxtanxlim1x0 xx1lim

5、limx0sinxx0sinxlimxx0“sin(x一x)(特别地，lim1)xxx一xxx00lim1x01”sinxO单调有界收敛准则(P57)()”1x第二个重要极限：lim1+-ex“x丿(一般地，lim0)题型示例】求值：limx求解示例】第七节无穷小量的阶（无穷小的比较）O等价无穷小（）UsinUtanUarcsinUarctanUln（1+U）（eU1）2.U21一cosU2（乘除可替，加减不行）,）【题型示例求值：limln&+x）+xln&+x）x0求解示例】x2+3x解:因为x0,即x丰0,所以原式limln+x)+xln+x)x0丄fx2+3xG+x)lnG+x)G+x

6、)xx+11lim,)lim,丫lim=-x0 xVx+3x0 xVx+3x0 x+33第八节函数的连续性O函数连续的定义()limf,x)=limf,x)=f,x)0 xx一xx+O间断点的分类(P67)()跳越间断点(不等)第一类间断点(左右极限存在)可去间断点(相等)第二类间断喘二无穷间断点（极限为）（特别地，可去间断点能在分式中约去相应公因式）e2xx0【题型示例】设函数f6）择数a，使得fG）成为在R上的连续函数？求解示例】f（0-）=e2o-=e1=eG+）a+0+=a1.Vf(0)=a高等数学期末复习资料第 #页（共9页）高等数学期末复习资料第 #页（共9页）2.由连续函数定义l

7、imf(x)=limf(x)=f(0)=ex0+x0一高等数学期末复习资料第 页（共9页）高等数学期末复习资料第 页（共9页）第九节闭区间上连续函数的性质O零点定理（）【题型示例】证明：方程f（x）=g（x）+C至少有一个根【题型示例】求函数f-1（x）的导数【求解示例】由题可得fG）为直接函数，其在定于域D介于a与b之间证明示例】（建立辅助函数）函数（x）=f（x）g（x）C在闭区间a,b上连续；T（a）（b）0（端点异号）由零点定理，在开区间C,b）内至少有一点g，使得匕），0,即f（g）-g（g）-C，0（0g1）这等式说明方程f（x）=g（x）+C在开区间（a,b）内至少有一个根g上单

8、调、可导，且fd0；”f11f(x)O复合函数的求导法则（）【题型示例】设y,lnearcsinx2-1+；x2+a2求解示例】解：y，arcsinx2-1+arcsinx2-1+arcsinx2一1earcsin)1+a2丿+a2)+a2)+第二章导数与微分第一节导数概念O高等数学中导数的定义及几何意义（P83）（）【题型示例】已知函数f（x），%+1,x-0在x，00arcsin+处可导，求a,b【求解示例】arcsinx2-1+earcsin丿earcsin2：x2+a21.ff(0)，e0，1J-广(0)=a2.由函数可导定义f(0-)，e0-+1,eo+1，2f(0+)，bf(0)，

9、e0+1，2广(0)，f：(0)，a，1f(0-)，f(0+)，f(0)，b，2a，1,b，2【题型示例】求y，fG）在x，a处的切线与法线方程（或：过y，fG）图像上点a,f（a）“处的切线与法线方程）求解示例】yr，fC切线方程yI，fQ一f(a)，f(a)(x-a法线方程：y-f(a)，-f(a)(x-a)第二节函数的和（差）、积与商的求导法则O函数和（差）、积与商的求导法则（）线性组合（定理一）：（-u土v），-u+v特别地，当-，卩，1时，有（u土v）=u土v函数积的求导法则（定理二）：（uv），uv+uv3.函数商的求导法则（定理三）：u,uv-uvJv丿v2第三节反函数和复合函数

10、的求导法则O反函数的求导法则（）第四节高阶导数Of(n)(x)，”f(n-1)(x)“(或如,d(-1)y“)()”dxn”dx(n-1)J【题型示例】求函数y，lnG+x)的n阶导数【求解示例】y，(1+xA，1+xy=”(1+x】“=(-1)(1+x2，y，(-1)(1+x)-2“，(-1)(-2)(1+x)-3y（n），（-1）n1（n-1）!（1+x）-n第五节隐函数及参数方程型函数的导数O隐函数的求导（等式两边对x求导）（）【题型示例】试求：方程y，x+ey所给定的曲线C：y，yO在点G-e,1）的切线方程与法线方程【求解示例】由y，x+ey两边对x求导即y，x+Cy）化简得y，1+

11、eyy11:y=1-ei1-e切线方程：y一1，C一1+e）1-e=0高等数学期末复习资料第 #页（共9页）=0高等数学期末复习资料第 页（共9页）题型示例】设参数方程法线方程：y-1-（L-eXx-1,e）O参数方程型函数的求导）X）d2y），求h-y丫vdx2x0，函数f（x）在闭区间0,x“上连续，在开区间（0,”）上可导，并且f（x）=；1,x2.由拉格朗日中值定理可得，-0,x“使得等式=0高等数学期末复习资料第 #页（共9页）=0高等数学期末复习资料第 #页（共9页）求解示例】dyyr(t)dxC)dx2d2y0(t)第六节变化率问题举例及相关变化率（不作要求）第七节函数的微分O基

12、本初等函数微分公式与微分运算法则（）dy广6丿dx第三章中值定理与导数的应用第一节中值定理O引理（费马引理）（）O罗尔定理（）【题型示例】现假设函数f（X）在o,”“上连续，在（0,上可导，试证明：-（0,”）,使得f（）cos，广G）sin0成立ln(1+x)ln(1+0)=(x0)成立，1，化简得ln(1+x)=x，又J0,x“，1，f(g)二1ln(1,x)1时，exex第二节罗比达法则O运用罗比达法则进行极限运算的基本步骤（）等价无穷小的替换（以简化运算）判断极限不定型的所属类型及是否满足运用罗比达法则的三个前提条件A.属于两大基本不定型（0,-）且满足条件,0=0高等数学期末复习资料

13、第 页（共9页）=0高等数学期末复习资料第 页（共9页）证明示例】（建立辅助函数）令（x）=f（x）sinx显然函数（x）在闭区间0,”“上连续，在开区间（0,”）上可导；又J（0）=f（0）sin0=0（”）=f（”）sin”=0即（0）=（”）=0：由罗尔定理知-（0,”）,使得f（）cos，广G）sin=0成立O拉格朗日中值定理（）【题型示例】证明不等式：当x1时，exex证明示例】（建立辅助函数）令函数f（x）=ex，则对x1，显然函数f（x）在闭区间h,x“上连续，在开区间（1,x）上可导，并且广（x）=ex；由拉格朗日中值定理可得，-!,x“使得等式ex-ei=（x-1）eE成立，

14、又/ege1，ex-e1（x-1）e1=ex-e，则进行运算：limxTa=limxTa（再进行1、2步骤，反复直到结果得出）B.不属于两大基本不定型（转化为基本不定型）0型（转乘为除，构造分式）题型示例】求值求解示例】解：limxalnx=xT0=-丄limxa=0axT0limxT0limxalnxxT0平=limLxt0=limxT0 xa1xaxa-1x2a(一般地，limxa(lnx)卩xT0-型（通分构造分式，观察分母）题型示例】求值：limxt0k1sinx解：lim111=limx-sinx、=limex,即证得：当x1时，exex【题型示例】证明不等式：当x0时，ln（1,x

15、）0时，exX+1证明示例】12(构建辅助函数)设9(x)eX-x1，(x0)0(x)=ex-10，(x0)Q(x)Q(0)=0既证：当X0时，eXx+1I当X0时，ln(1+x)0)0(X)=-10)1+Xp(X)0时，ln(1+X,XO连续函数凹凸性（）【题型示例】试讨论函数y1+3X2-X3的单调性、极值、凹凸性及拐点证明示例】高等数学期末复习资料第 页(共9页)高等数学期末复习资料第 页（共9页）1y，-3x(x一2)0y，-6(x-1)0解得:3.(四仃表)x(-8,0)0(0,1)1(1,2)2(2,+8)y，0+0-y”+yJ1(1,3)52.4.函数y1+3x2-x3单调递增区

16、间为(0,1),(1,2)单调递增区间为(0),(2,+8)；”x,xMM1M则函数f(x)Mmax”f(a),xM1MOf(x)“处有极大M,M2.令f(x)=3(x1)(x+1)=0，解得：x1=1,x=13(二仃表)厶x1(-1,1)1(1,3f(x)0+0f(x)极小值极大值【求解示例】1.V函数f(x)在其定义域-1,3上连续，且可导.:f，(x)=-3x2+34.又f(-1)=-2,f(1)=2,f(3)=-18(xy，一3x2+6x一3x(x2)y-6x+6一6(x-1)函数y1+3x2-x3的极小值在x0时取到,为f(0)=1，极大值在x2时取到，为f(2)=5；函数y1+3x

17、2-x3在区间(-8,0),(0,1)上凹,在区间(1,2),(2,+8)上凸；函数y1+3x2-x3的拐点坐标为(1，3)第五节函数的极值和最大、最小值O函数的极值与最值的关系()设函数f(x)的定义域为D,如果x的某个邻M域U(x)uD，使得对VxGU(x)，都适合不等式f(x)f(x)，我们则称函数f在点x值f(x)；M令xG”x,x,xxM3Mn在闭区间La,b上的最大值M满足：,x,xx,f(b)；M2M3Mn设函数f(x)的定义域为D，如果x的某个邻域mU(x)uD，使得对VxgU(x)，都适合不等式f(x)f(x)，m我们则称函数f处有极小值TOC o 1-5 h zm,m1f匕

18、);令xG”x,x,xx严、m1m2m3丁mn则函数f(x)在闭区间-a,b上的最小值m满足：mmin”f(a),x,x,xx,f(b)；【题型示例】求函数f(x)3xx3在-1,3上的最值.f(x)=f(1)=2,f(x)=f(3)=-18maxmin第六节函数图形的描绘(不作要求)第七节曲率(不作要求)第八节方程的近似解(不作要求)第四章不定积分第一节不定积分的概念与性质O原函数与不定积分的概念()原函数的概念：假设在定义区间I上,可导函数F(x)的导函数为F，xGI时，有F，(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx成立，则称F(x)为f(x)的一个原函数原函数存在定理：()如果函数f(

19、x)在定义区间I上连续，则在I上必存在可导函数F(x)使得F，(x)=f(x)，也就是说：连续函数一定存在原函数(可导必连续)不定积分的概念()在定义区间I上,函数f(x)的带有任意常数项C的原函数称为f(x)在定义区间I上的不定积分，即表示为：Jf(x)dx=F(x)+C(J称为积分号，f(x)称为被积函数，f(x)dx称为积分表达式，x则称为积分变量)O基本积分表()f不定积分的线性性质(分项积分公式)()Jkf(x)+kg(x)“dx=kJf(xx+kJg1-1212第二节换元积分法O第一类(dy=f心丿dx的逆向应用)Jf(x)，(x)dx=Jf(x)d(x)【题型示例】求I一1dxa

20、2x2【求解示例】解J1dxI1a2x21dx11一1-dxAA2a,xA2Ia丿1丿(a丿x1x小arctanCaa【题型示例】求【求解示例】解JdxId（2x1）Jd（2x1）2x122x122x10）:f儿儿a2+x2:令xatant(一一t)，22ax于是tarctan，则原式可化为asect；a对于根号下平方差的形式（a0）:TOC o 1-5 h za2-x2:令xasint（一一t）,22第三节分部积分法O分部积分法（）设函数uf（x）,vg（x）具有连续导数，则其分部积分公式可表示为：Iudvuv-Jvdu分部积分法函数排序次序：“反、对、幕、三、指”O运用分部积分法计算不定积

21、分的基本步骤：遵照分部积分法函数排序次序对被积函数排序；就近凑微分：（vdxdv）使用分部积分公式：Judvuvvdu展开尾项IvduIvudx，判断若Ivudx是容易求解的不定积分，则直接计算出答案（容易表示使用基本积分表、换元法与有理函数积分可以轻易求解出结果）；若Jvudx依旧是相当复杂，无法通过a中方法求解的不定积分，则重复、，直至出现容易求解的不定积分；若重复过程中出现循环，则联立方程求解，但是最后要注意添上常数C【求解示例】解:Jex-x2dxJ【题型示例】求Iexx2dxx2exdxIx2dexx2ex-1exd(x2)x2ex-2jx-exdxx2ex-21x-d(ex)x2e

22、x2xex+2Jexdxx2ex2xex+2ex+C【题型示例】求Iex-sinxdx高等数学期末复习资料第 #页(共9页)高等数学期末复习资料第 #页（共9页）x于是tarcsin，则原式可化为acost；ab.Jx2-a2:令xasect(0t),2a于是tarccos，则原式可化为atant；x【题型示例】求1dx（一次根式）2x1【求解示例】JJ()解：ex-sinxdx-Jexd(cosx)-excosx+Jcosxdvex)-excosx+Iexcosxdx-excosx+1exd(sinx)-excosx+exsinx-1sinxd(ex)-excosx+exsinx-Jexsi

23、nxdx艮卩Jex-sinxdx一excosx+exsinx-1sinxdCx)高等数学期末复习资料第 页(共9页)高等数学期末复习资料第 页（共9页）2-x2dx(三角换元)竺t+二sin2t2丿2【求解示例】解Idx“1”JtdtIdtt+C=P2x+1+C2x1x112-1t22【题型示例】求【求解示例】解J*a2一x2dx“一2“2)”a21cos2tdtI(1+cos2ti/t/arcsin*2adxacost+C(t+sintcost)+C.Iexsinxdxex（sinx-cosx）+C2第四节有理函数的不定积分O有理函数（）P（x）p（x）axm+axm-1+a设：-广刁广飞0

24、1mQ（x）q（x）bxnbxn-1b（）01n对于有理函数q），当P（x）的次数小于Q（x）的P（x）（）次数时，有理函数是真分式；当P（x）的次数小()P(x)大于Q(x丿的次数时，有理函数qO是假分式o有理函数(真分式)不定积分的求解思路()P(x)阳)将有理函数q(x)的分母Q(x丿分拆成两个没有公因式的多项式的乘积：其中一个多项式可以表示为一次因式(x-a)k；而另一个多项式可以表示为二次质因式C2+px+q),(p2一4q0)；即：Q(x)Q(x).Q(x)12fn、一般地：mx+nmx+一dxkJbf(x)dx+kJbg(xx2aa121a(5)(积分区间的可加性)Jbf(x)dxJcf(x)dx+Jbf(x)dx若函数f(x)在积分区间la,b上满足f(x)0，则Jbf(x)dx0；a(推论一)若函数f(x)、间a,b上满足f(x)g(x)，则Jbf(x)dx中，(x)dx中(x)高等数学期末复习资料第 #页(共9页)高等数学期末复习资料第 #页（共9页）Jx2J(x+1)x(x+1)+1Jf11J_dxJdxJIx-1+x+1x+1x+1丿JxdxJdx+Jdxx2一x+In(x+1)+Cx+12dx1【题型示例】求limx“0求解示例】第五节积分表的使用(不作要求)1解：limx“0e-12dtcosxx2dJ1e，t2dt0Jli