结构动力学习题解答三四章

1、构造动力学习题解答三四章构造动力学习题解答三四章构造动力学习题解答三四章第三章多自由度系统试求图3-10所示系统在均衡地点邻近作微振动的振动方程。K5K6m1x1m2x2m3x3K1234KKK图解：（1）系统自由度、广义坐标图示系统自由度N=2，选x1、x2和x3为广义坐标；2）系统运动微分方程依据牛顿第二定律，成立系统运动微分方程以下：m1x1K1x1K2(x1x2);m2x2K2(x2x1)K3(x2x3)K5x2K6x2;m3x3K3(x3x2)K4x3;整理以下m1x1(K1K2)x1m2x2K2x1(K2m3x3K3x2(K3写成矩阵形式K2x20;K3K5K6)x2K3x30;K

2、4)x30;m100 x1(K1K2)K20 x100m20 x2K2(K2K3K5K6)K3x20;（1）00m3x30K3(K3K4)x30（3）系统特点方程设x1A1sin(t),x2A2sin(t),x3A3sin(t)代入系统运动微分方程（1）得系统特点方程(K1K2m2)K20A012)1K2(K2K3K5K6m2K3A20;（2）0K3(K3K4m32)A30（4）系统频次方程系统特点方程（2）有非零解的充要条件是其系数队列式等于零，即(K1K2m2)K2012)K2(K2K3K5K6m2K30;0K3(K3K4m2)3睁开得系统频次方程(K1K2)m2)(K2K3K5K6)m2

3、)(K3K4)m2)123K2(K3K4)m32)K2(K1K2)m2)0;231进一步计算得(K1K2)m12)(K2K3K5K6)m22)(K3K4)m32)K22(K3K4)m32)K32(K1K2)m12)(K1K2)(K2K3K5K6)m12(K2K3K5K6)m2(K1K2)2m1m24)(K3K4)m32)K22(K3K4)m32)K32(K1K2)m12)(K1K2)(K3K4)(K2K3K5K6)(K1K2)(K2K3K5K6)m32(K3K4)(K2K3K52(K2K3K5K6)m1m34K6)m1(3)m2(K1K2)(K3K4)2(K1K2)m2m34(K3K4)m1m

4、24m1m2m36K22(K3K4)K22m32K32(K1K2)K32m1m32mmm36(K1K2)m2m3(K3K4)m1m2(K2K3K5K6)mm)41213(K2m3K2mm3m(K1K2)(K3K4)(K1K2)(K2K3K5K6)m)223123(K1K2)(K3K4)(K2K3K5K6)K22(K3K4)K32(K1K2)6a44a22a00;0;a6此中a6m1m2m3;a4(K1K2)m2m3(K3K4)m1m2(K2K3K5K6)m1m3;a2K22m3K32m1m3m2(K1K2)(K3K4)(K1K2)(K2K3K5K6)m3;a0(K1K2)(K3K4)(K2K3

5、K5K6)K22(K3K4)K32(K1K2);求解方程（3）得系统固有频次ifi(m1,m2,m3,K1,K2,K3,K4,K5,K6),(i1,2,3);（4）（5）系统固有振型将系统固有频次代入系统特点方程（2）得系统固有振型，即各阶振型之比：1A1(1),1A1(1),1A1(2),1A1(2);1A1(3),1A1(3)（5）(1)(1)(1)(1)(2)(2)(2)(2)(3)(3)(3)(3)2A23A32A23A32A23A3（6）系统振动方程x1(1)(2)(3)A1A1A1x2A2(1)sin(1t1)A2(2)sin(2t2)A2(3)sin(3t3)x3A(1)A(2)

6、A(3)333（6）A1(1)A1(2)A1(3)2(1)A1(1)sin(1t1)2(2)A1(2)sin(2t2)2(3)A1(3)sin(3t3)3(1)A1(1)3(2)A1(2)3(3)A1(3)在方程（6）中含有6个待定常数：A1(1)、A1(2)、A1(3)、1、2和3。它们由初始条件x1(0)、x1(0)、x2(0)、x2(0)、x3(0)和x3(0)确立。若.题中m1=m3=m，m2=2m，,K1=K4=K，K2=K3=2K，K5=K6=3K，求该系统的固有频次和固有振型。解：若m1=m3=m，m2=2m，,K1=K4=K，K2=K3=2K，K5=K6=3K，则a6m1m2m

7、32m3;a4(K1K2)m2m3(K3K4)m1m2(K2K3K5K6)m1m32m2(K2K)2m2(2KK)m2(2K2K3K3K)6m2K6m2K10m2K22m2K;a2K22m3K32m1m3m2(K1K2)(K3K4)(K1K2)(K2K3K5K6)m34K2m4K2m218K2m30K2m4K2m244mK2a0(K1K2)(K3K4)(K2K3K5K6)K22(K3K4)K32(K1K2)(K2K)(2KK)(2K2K3K3K)4K2(2KK)4K2(K2K)90K312K312K366K3;系统频次方程（3）成为2m3622m2K4(4K2m244K2m)266K30;化简

8、m36m2K4(2K2m222K2m)233K30;11求图3-11所示的三垂摆作微振动的固有频次和固有振型。解：（1）系统自由度、广义坐标图3-11所示的三垂摆系统自由度N=3，广义坐标取1、2和3；ox（2）系统中A、B、C三质点的坐标1LxALsin1;yALcos1;xBLsin1Lsin2;yBLcos1Lcos2;AmxCLsin1Lsin2Lsin3;yCLcos1Lcos2Lcos3;2L（2）系统中A、B、C三质点的速度BmxAL1cos1;yAL1sin1;3LxBL(1cos12cos2);yCmyBL(1sin12sin2);图xCL(1cos12cos23cos3);

9、yCL(1sin12sin23sin3);（3）系统中A、B、C三质点的动能TA1yA2)112;m(xA2mL222TB1m(xB2yB2)1mL2(1cos12cos2)2(1sin12sin2)2;22TC1yC2)11cos12cos23cos3)2(1sin2sin23sin3)2;m(xC2mL2(122因为关于微振动有sin11,sin22,sin33,cos11,cos21,cos31;12&212&212&2TmL12mL122mL123；2（4）系统中A、B、C三质点的势能VmgyAmgyBmgyCmgL3cos12cos2cos3；(5)L=T-V;依据拉格朗日定理：dL

10、Ldt&0ii得：321&30011L221&g02022111&00133（1）求固有频次和固有振型：0003213002L221g0200；111001解得固有频次：1230.6448gL1.5147gLg2.5080L固有振型：111123；1.29210.35291.64501.63082.39810.7669两头由弹簧支撑的刚性均质杆，质量均为没，在B处用铰链连结，如图3-12所示，如选用B点的竖直位移y和两杆绕B点的转角1,2为广义坐标，试从特点方程出发，求系统的固有频次和固有振型。yABCx21kkkll图3-12（1）AB杆的动能：1l&211Tmy&ml22；&1221212

11、1AB杆的势能：V1mgyl；21（2）BC杆的动能：1l&21122；T2&212ml&2my222BC杆的势能：V2mgyl2；2（3）三根弹簧的势能：V31kyl2yl22y2；12（4）LT1T2V1V2V3；由拉格朗日方程可得：2mmlml22&2mg3kklklymlml2y10&klkl201mgl；23122&kl0kl212ml0ml223mgl22mmlml223kklklmlml2令M0Kklkl20；23kl0kl2mlml2023（5）由K2M0令m212166206k133,1233k6m解得：21,223k2m333,3233k6m固有频次：11.1260k,21

12、.7321k,32.1753k；mmm固有振型：33333l3l123111111试求图3-13所示系统的振动方程，并求其固有频次和固有振型。解：（1）以1,2,3为广义坐标，1K2K3K成立系统的运动微分方程：系统的动能：I3I3I21&21&21&2T2I112I222I33系统的势能：121212V2K112K2212K332；L=T-V；由拉格朗日方程得：I100&K1K2K20110I20&K2K2K3K32200I3&0K3K333（2）当I1I2I3I,K1K2K3K时图3-13000可得固有频次：10.4450I,21.2471I,31.8019IKKK固有振型：1111231

13、.8020.4451.2472.2470.8020.555图3-14所示的两均质杆是等长的，但拥有不一样的质量，试求系统作微振动的振动方程，若m1m2m,k1k2k，试求系统的固有频次和固有振型（设选用两杆的转角1和2为广义坐标，此中1以顺时针方向为正，2以逆时针方向为正）。3ll44m1k1m2k2lll424图3-14解：（1）系统的动能：112&211212&2T23m1l12(12m2l16m2l)21m1l2&27m2l2&261962（2）系统的势能：132112131V2k14l14l22k22l22m1gl14m2gl2(3)成立系统的运动微分方程：由拉格朗日方程dLL0dtq

14、&iqi1m1l2&333l21m1gl031k1ll124447m2l2&333121m2gl0482k1ll1l2k2l244444由条件m1m2m,k1k2k，将上述方程整理得：1ml20&9kl29kl231161617ml2&92132220klkl481616从系统的特点方程解得固有频次1mgl；1mgl410.6505k22.6145k；mm固有振型11210.74923.0508试从矩阵方程Kxjj2Mxj1出发，左乘KM，利用正交关系证明xiTKM1hKxj0i=1，2，n此中n系自由度数。解：由式Kxjj2Mxj可得：1Kxj2xjMj；KM1hKxjKM1h1KM1Kxj

15、KM1h1KM1xjKKM1h1K2xjj2KM1h1Kjjxj2hKxjT1hTxiKxj2hxiKxjKMj由正交关系可知：j2hxiTKxj0ftT1hxiKMKxj0得.3-15中支梁有三个置于它的四分之一点的量。以细小的平y1,y2,y3作位移坐，梁的自重忽视不，其曲折度EI。假m1m2m3m，求系的固有率和固有振型，振型范化并画出各振型。xllll44443-15y解：（1）ij表示在mj点作用单位力而在mi点产生的挠度。利用图乘法可得：l333l4xx41144dxEI0021x4dxEI3l3256EI同理：11l37l31221；1331；768EI768EI11l3l33l

16、32332；22；33；768EI48EI256EI（2）以各小竖向位移y1,y2,y3为广义坐标，成立系统的运动微分方程：y1&11m1y112m2y213m3y3y2&21m1y122m2y223m3y3y3&31m1y132m2y233m3y3整理成矩阵形式：3l311l37l3256EI768EI768EI11l3l311l3768EI48EI768EI7l311l33l3768EI768EI256EI固有频次：&100y1my1&010y20；my2&001y3my34.9330EI,19.5959EI,41.6064EI132ml33ml固有振型：111231.4142011ml3

17、11.41421123正规化：0.164400TM00.00520000.002311110.16442.5213.923320.8各阶振型图：11振型111-振型211振型3一轻型飞翔器的水安稳固器被简化为3个集中质量系统的模型，见图矩阵和固有频次及模态形状已经求出。若飞翔器碰到一忽然的阵风，3-16，其刚度、质量其产生的阶跃力为500pt100ft100此中ft是单位阶跃力，如图3-16。（）确立模态响应&0；rt表达式，假定V0V0（）确立V1t响应的表达式，并指出个模态的贡献。此中0.06560.15380.1220k0.15380.47970.58431050.12200.58431

18、.25934.0001m06.00386008.0259900213300001280314.961.704.085.364.351.103.805.71238400000V1V2V3P1f(t)1P2P3t图3-16解：（1）进行坐标变换：xT100M010M001T0.0600KK01.33570106008.40T4673Fpt1564ft9830&00rt11cositfiki1t0.07791cos244.74t2t0.001171cos1153.3t3t0.0001171cos2898.3t2）331cositfrriV111ii1r1ki8.311cos244.74t8.3150

19、04.081001.10100N10.06610N24.961cos1153.3t4.965005.361003.80100N31.33571061.701cos2898.3t1.705004.351005.711008.406100.64721cos244.74tN11cos1153.3tN2N341cos2898.3t一栋三层楼房，如图3-17，其刚度、质量矩阵和固有频次及振型以下：8008000100k80024001600m0200160040000022251.121200.022548.91231.000001.000000.313860.686140.500000.686140.

20、313860.500001.00000u1m1=1u2k1=800m3=2k2=1600m3=2u3k3=2400图3-171）确立模态质量、模态刚度矩阵M，K；（2）若pt100100100Tcost,确立模态力Fr；（3）确立稳固响应r的表达式；（4）用模态位移法确立u1的响应，并指出各阶模态对响应的贡献，并列出当激振频次分别为0,0.51,13时，u1的振幅随截取模态数变化的表格。12解：（1）MTm2.13860002.000003.040153700K024000007748.9FrT（2）pt2000cost62.772（3）rfr2krmr200cost12.138625370c

21、ost0224002.00262.772cost37748.93.04012（4）31&u1a11a12a13pt21rrr1r2.291671.041670.41667103100cost2200cost33fru1ri1i251.15372.13862r1kimi2i12012000.3138662.772cost2548.97748.93.040121211000.686141000.31386100cost5372.1386110.50.5100cost2400220.313860.31380.686141100cost7748.93.04012200cost5372.13862N10

22、N2N319.7010cost7748.93.04012阶数N=2N=3N=1激振频次00.511122当题中的柔度矩阵为2.291671.041670.416671k1.041671.041670.416671030.416670.416670.416671）用模态加快度法，确立u1响应的表达式；（2）像3-10题同样，列出当激励频次分别为0,0.5,113时的u1的振2幅随截取模态数变化的表格，并对结果加以剖析。31&解（1）u1a11a12a13pt21rrr1r2.291671.041670.41667103100cost2200cost251.15372.138622012000.3

23、138662.772cost2548.97748.93.040120.37500cost20.7965costN125372.13862NN3020.0077cost7748.93.04012（2）u1的振幅随截取模态数变化的表格阶数N=1N=2N=3激振频次00.511122和上一题所得结果比较能够看出：1）两种方法所得的结果基真同样，且随项数增添，二者差异变小。2）用模态加快度法的收敛速度比位移法要快。比如当0时，用位移法各阶模态相加才收敛到，而用加快度法第一项就收敛到。第四章连续弹性体的振动一端固定，一端自由的平均杆，在自由端有一弹簧常数为k的轴向弹簧支承（图4-23），试推导纵向振动的

24、频次方程，并对两种极端情况：（1）k0,（2）k,进行议论。解：u(x,t)Asin(wx)Bcos(wx)sin(t)aak其界限条件为：m,EAx0处，u(0,t)0；xl处，EAuku。Lx将u(x,t)代入得：图423B0；EAuEAllksin(lxcos()aaa获得纵向振动频次方程为EAlcos(l)ksin(l)当k0时，aaacos(l)=0a(k2)a（n1,2,3）当kl时，tan(l)aEA0alKna1,2,3）（nl一均质杆，两头都是自由端，开始时在端部用相等的力压缩，若将力忽然移去，求其纵向振动。解：u(x,t)Asin(x)Bcos(x)sin(t)aa无外力作

25、用时，界限条件为：x0时，有dU0；xl时，有dxdU0dx将它们代入振型函数U(x)Asin(x)Bcos(x)aa得A0；Bsin(l)0aa得各阶固有频次为nna；l各阶主振动的表达式为un(x,t)Bcos(nx)sin(ntn)a在一般状况下，振动能够表示为各阶主振动的叠加，即u(x,t)Bncos(nx)sin(ntn)n1l当t0时，有upx；EAdu0dt将初始条件代入u(x,t)Bncos(nntn)x)sin(n1l有u(x,0)Bncos(nx)sinnn1lxEAduBnncos(nx)cosn0dtn1l因为上式要获得知足，一定有cosn0，这样致使sinn1，或（1

26、），代入得Bncos(nx)Pxn1lEA为了求出Bn，上式两边均乘以mx)，（m1,2cos(）l获得Bn(1)n14lP，n1,3,5EAn224lPu(x,t)EA(1)nnt)2n2cos(x)cos(n1,3ll图4-24为一端固定，一端自由的圆等直杆。在自由端作用有扭矩M0，在t=0时忽然开释，求杆自由端的振幅。解：x,t(AsinwxBcoswx)sin(wt)a=Gaa无外力作用，示杆的界条件：d|x00dx|xl0m，GJp将其分被代入振型函数得：B=0;Ocoswl=0;La424得各固有率:wnna=nGn=1,3,5,.2l2l各主振的表达式:nx,tAnsin(nx)

27、sin(wntn)2l在一般状况下，振能够表示各主振的叠加，即x,tAnsin(nx)sin(wntn)i1,3,L2l当t0，有|t0M0 xAnsinnxsinGIpi1,3,L2ld|t0Anwnsinnxcos0dti1,3,L2l由（2）式可得cos=0sin1将（3）式代入（1）得：M0 xAnsinnxGIpi1,3,L2l了求出An，上式两均乘以sinmx,(m正整数)，2l得ln1A2M0 xsinnxdx8lM0(1)2n=1,3,5,.nlGIp02ln22GIpM0 x(1)(2)3）n1x,t8lM0(1)2sin(nx)cos(wnt)2GIpi1,3,Ln22l自

28、由端的振幅是M0n12A8l(1)2GIpi1,3,Ln2一均质梁，一端固定，一端简支，试导出梁曲折振动的频次方程，并写出固有振型的表达式。解：y(x,t)X(x)Y(t)EI图示梁的界限条件为：xOy|xl0X(l)0ydXLx|xl0dx|xl0y|x00X(0)02y|x002X|x00 x2x2而：X(x)AsinkxBcoskxCshkxDchkxdX(x)AkcoskxBksinkxCkchkxDkshkxdx.Ak2sinkxBk2coskxCk2shkxk2DchkxX(x)代入界限条件得：BD0;BD0AsinklBcosklCshklDchkl0AkcosklBksinkl

29、CkchklDkshkl0由（1），（2）式得B=D=0；由（3），（4）式得AsinklCshkl0AkcosklCkchkl0(1)(2)(3)4）sinklshkl0频次方程：sinklchklshklcoskl0cosklchkl一平均悬臂梁，在自由端附有一质量为M的重物（图4-25），设重物的尺寸远小于梁长l,试推导该系统曲折振动的频次方程并议论M?m时的基本频次。解：关于图示悬臂梁的界限条件为：M，EJMxx0X(x)dX0;Ldxx2y2yEJ3yl20,Mt2x3xy(x,t)X(x)Y(t)(AsinkxBcoskxCshkxDchkx)sin(wt)由界限条件得：BD0AC

30、0AsinkxBcoskxCshkxDchkx0EJk3(AcosklBsinklCchklDshkl)sin(wt)Mw2(AsinklBcosklCshklDchkl)sin(wt)整理得频次方程：Mw2k31chklcosklEJchklsinklshklcosklM11chklcosklmkchklsinklshklcosklM?mMm频次方程为chklsinklshklcoskl0查书表4-1得其前五阶固有频次：w13.9272aw310.2102a2l2l216.4937.069213.3522w5l2aw2aw4al2l2一平均简支梁，中央作用一横向力P（如图）产生挠曲，试确立荷载忽然卸除后梁得自由振动。x1Px2解：关于简支梁，其自由振动的解为：nm,EJyx,tn1,2,.Ansin(lx)sin(wntn)ll22关于图示构造，其零初始条件是