大学物理授课教案-第八章-静电场中的导体和电介

1、第八章静电场中的导体和电介沈阳工业大学郭连权（教授） 第八章静电场中的导体和电介质8-1静电场中的导体、静电感应导体的静电平衡条件1、静电感应2、导体静电平衡条件（1）导体的静电平衡：当导体上没有电荷作定向运动时，称这种状态为导体的静电平衡。（2）静电平衡条件从场强角度看：导体内任一点，场强E=o；导体表面上任一点E与表面垂直。从电势角度也可以把上述结论说成：=导体内各点电势相等；=导体表面为等势面。用一句话说：静电平衡时导体为等势体。二、静电平衡时导体上的电荷分布1、导体内无空腔时电荷分布如图所示，导体电荷为Q，在其内作一高斯面S，高斯定理为:JEdS=丄工q&s0S内）0导体静电平衡时其内

2、E=0，JEdS=0，即工q二0。0S面是任意的，导体内无净电荷存在结论：静电平衡时，净电荷都分布在导体外表面上。v-f*2、导体内有空腔时电荷分布图S-21）腔内无其它电荷情况如图所示，导体电量为Q，在其内作一高斯面S，高斯定理为：JEdS=工q80沁图H3+97电平衡时，导体内E=0:.工q=0，即S内净电荷为0，S内0空腔内无其它电荷，静电平衡时，导体内又无净电荷:空腔内表面上的净电荷为0。但是，在空腔内表面上能否出现符号相反的电荷，等量的正负电荷？我们设想，假如有在这种可能，如图所示，在A点附近出现+q，B点附近出现-q,这样在腔内就分布始于正电荷上终于负电荷的电力线，由此可知，UaU

3、b，但静电平衡时，导体为等势体，即U=U，因此，假AB设不成立。结论：静电平衡时，腔内表面无净电荷分布，净电荷都分布在外表面上，（腔内电势与导体电势相同）。（2）空腔内有点电荷情况如图所示，导体电量为Q，其内腔中有点电荷+q，在导体内作一高斯面S，高斯定理为Jd?=丄工q80订=0，工q二0o又因为此时导体内部无净电荷，而腔内有电荷+q,0静电平衡时E第八章静电场中的导体和电介沈阳工业大学郭连权(教授)第八章静电场中的导体和电介沈阳工业大学郭连权（教授） 腔内表面必有感应电荷-q,结论：静电平衡时，腔内表面有感应电荷-q,外表面有感应电荷+q。3、导体表面上电荷分布设在导体表面上某一面积兀AS

4、（很小）上，电荷分布如图所示,过AS边界作一闭合柱面，S上下底s、S均与AS平行，S侧面S与AS123垂直，柱面的高很小，即S与S?非常接近AS，此柱面并且是关于AS对称的。S作为高斯面，高斯定理为JEdF二丄工q8S3S1SS1S2JEds-ESEASs很小11、_1qcAS880%1nEAScAS80E（注意与无限大带电平面E80结论：导体表面附近，Exc。280的区别）。4、导体表面曲率对电荷分布影响根据实验，一个形状不规则的导体带电后,在表面上曲率越大的地方场强越强。由上面讲到的结果知，E大的地方，c必大，所以曲率大的地方电荷面密度大。5、尖端放电三、静电屏蔽由于空腔中的场强处处为零，

5、放在空腔中的物体，就不会受到外电场的影响，所以空心金属球体对于放在它的空腔内的物体有保护作用使物体不受外电场影响。另一方面，一个接地的空心导体可以隔绝放在它的空腔内的带电体和外界的带电体之间的静电作用，这就是静电屏蔽原理。应用：如电话线从高压线下经过，为了防止高压线对电话线的影响，在高压线与电话线之间装一金属网等。例8-1:在电荷+q的电场中，放一不带电的金属球，从球心O到点电荷所在距离处的矢径为r，试问金属球上净感应电荷q二？这些感应电荷在球心O处产生的场强E？解：q、=0（2）球心O处场强E=0（静电平衡要求），即+q在O处产生的场强E与感应电荷在O处产生场强的矢量和=0。+E+E=0+感

6、E-E-r方向指向+q。感+4兀8r30（感应电荷在O处产生电势二？球电势二？选无穷远处电势=0。）8-2电容电容器一、孤立导体的电容在真空中设有一半径为R的孤立的球形导体，它的电量为q,那么它的电势为（取无限远处电势=0）4ksR0对于给定的导体球，即R定，到q变大时，U也变大，q变小时，U也变小，但是纟=48R确不变，此结论虽然是对球形孤立导体而言的,U0但对一定形状的其它导体也是如此，纟仅与导体大小和形状等有关，因U而有下面定义。定义：孤立导体的电量q与其电势U之比称为孤立导体电容，用C表示，记作：C=邑（8-1）U对于孤立导体球，其电容为C二纟二q二4兀8RC的单位为:F（法）Uq04

7、兀8R1F=1C/1V。在实用中F太大，常用rF或pF，他们之间换算关系：1F=106RF=1012pF。（电容与电量的存在与否无关）第八章静电场中的导体和电介沈阳工业大学郭连权（教授）第八章静电场中的导体和电介沈阳工业大学郭连权（教授） 二、电容器实际上，孤立的导体是不存在的，周围总会有别的导体，当有其它导体存在时，则必然因静电感应而改变原来的电场分布，当然影响导体电容。下面我们具体讨论电容器的电容。1、电容器：两个带有等值而异号电荷的导体所组成的带电系统称为电容器。电容器可以储存电荷，以后将看到电容器也可以储存能量。2、电容器电容：如图所示，两个导体A、B放在真空中，它们所带的电量分别为+

8、q,-q,如果A、B电势分别为U、U，那么A、B电势差为U-U，电容ABAB器的电容定义为：8-2)C二qU-UAB由上可知，如将B移至无限远处，UB=0。所以，上式就是孤立导体的电容。所以，孤立导体的电势相当于孤立导体与无限远处导体之间的电势差。所以，孤立导体电容是B放在无限远处时C二纟的特例。U-UAB导体A、B常称电容器的两个电极。三、电容器电容的计算1、平行板电容器的电容设A、B二极板平行，面积均为S,相距为d,电量为+q，-q，极板线度比d大得多，且不计边缘效应。所以A、B间为均匀电场。由高斯定理知，A、B间场强大小为UU二Ed二S80d图8-128S0(83)设二均匀带电同心球面A

9、、B，半径R、R，电荷为+q，-q。A、BAB2、球形电容器间任一点场强大小为：E二-一,4兀8r20q十-QRRRUU=yEdr=JBEdr=JBdrab4兀8r2RaRaRa0qr117q(RR)=BA4兀8RR4兀8RR0AB0ABqq4兀8RRC=0_ABoUUq(RR)RRABBABA4兀8RR0AB讨论：(l)当RRR时，有R沁BAABR，A令RR=d，则C=q一baUUAB即平行板电容器结果。2）A为导体球或A、B均为导体球壳结果如何？3、圆柱形电容器圆柱形电容器是两个同轴柱面极板构成的，如图所示，设A、B半径为R、R，电荷为+q，-q，除边缘外，电荷均匀分布在内外两圆柱面上，单

10、位长柱面带电量九=，l是柱高。由高斯定理知，A、B内l任一点P处E的大小为九E二一RInb,RA2k8r0TOC o 1-5 h zU-UEdrEdr=节dr=ab2k8r2k8RRR00C_q_q_加01C0。U-U九1RRablnblnb2r8RR0AA可知：在计算电容器时主要是计算两极间的电势差）。四、电介质对电容器电容的影响以上所得电容是极间为真空情况，若极间充满电介质（不导电的物质），实际表明，此时电容c要比真空情况电容C大，可表示C。r001,或CCr0r与介质有关，称为相对介电系数。以上各情况若充满电介质（极间），4兀RR0_rABR-RBAC-qU-UABSSCdd小2兀12兀

11、1C0.-zRzRlnblnbRRAA_称为介质的介电常数。0rC充介质后oCC（1）0r0r球形：平板：柱形：有：4kRRA_B；R-RBA五、电容器的串联与并联在实际应用中，现成的电容器不一定能适合实际的要求，如电容大小不合适，或者电容器的耐压程度不合要求有可能被击穿等原因。因此有必要根据需要把若干电容器适当地连接起来。若干个电容器连接成电容器的组合，各种组合所容的电量和两端电压之比，称为该电容器组合的等值电容。1、串联：几个电容器的极板首尾相接（特点：各电容的电量相同）。设A、B间的电压为U-U，两端极板电荷分别为+q,-q,由于静AB电感应,其它极板电量情况如图,由电容定义有qqqq+

12、A+CC3n+CC121111；1B+A+ HYPERLINK l bookmark78 CCCC123n HYPERLINK l bookmark80 1111A1二+A+ HYPERLINK l bookmark82 CCCCC123n8-4)2、并联:每个电容器的一端接在一起，另一端也接在一起。（特点：每个电容器两端的电压相同,匀为UU，但每个电容器上电量不一定相等）AB等效电量为：q二q+q+q+A+q，123n由电容定义有：+気ta）为+九，九，试求（1）二导线间电势差；（2）度的电容。解：（1）如图所取坐标，P点场强大小为：九九sax0+d(dtd)+d11二者电荷线密度此导线组单

13、位长E=E+E=+AB2兀sx2兀s(d-x)00 HYPERLINK l bookmark126 U=fdX=iEdx=F+dxAB2K8x2K8(dx)00 HYPERLINK l bookmark128 尢7X=in2ksdx0da尢丁da丿=inaK8a0X1A九=lnxIn(dx)2K80=二ln(da2k8a0K8九idadaInInK8aa.0注意：（1）E=公式。2k8r0（2）此题的积分限，即明确导体静电平衡的条件。2）c=qUUAB8-3电介质的电极化一、电极化实验表明，充电后的电容器去掉电源，再插入某种电介质（如：玻璃，硬橡胶等），则极板间电压减小了。由U=Ed知，E减小

14、了。E是如何减少的呢？从平板电容场强公式E=知，E的减小，意味着电介质&0与极板的接触处的电荷面密度减小了。但是，极板上的电荷没变，0即电荷面密度没变，这种改变只能是电介质上的两个表面出现了如图0所示的正、负电荷土q。电介质在外电场Eo作用下，其表面出现净电荷的现象称为电介质的电极化。电极化时电介质表面处出现的净电荷称为极化电荷（束缚电荷），q称0为自由电荷。可见，电荷面密度=（自0由电荷面密度）-（极化电荷面密度），即减小了。（0束缚电荷受到限制，束缚电荷量比自由电荷少的多，故比少的多。）E减小。另外，可从图看出，土q产生的场强E与土a产生的场强E相反，所以它的场强为E二E-E，即减小了,0

15、00这也可以解释实验结果。二、电极化的微观机理1、电介质分类（2类）（1）无极分子电介质：无外电场时，分子正负电荷中心重合（如H,He,CH等）。24等）。（2）有极分子电介质：即使无外电场时，分子的正负电荷中心也不重合（如:HC,NH3,H2O,CO等）。分子正负电荷中心不重合时相当于一电偶极子。2、电极化微观机理（1）无极分子的电极化无极分子在没有受到外电场作用时，它的正负电荷的中心是重合的，因而没有电偶极矩，如图a所示，但当外电场存在时，它的正负电荷的中心发生相对位移，形成一个电偶极子，其偶极矩p方向沿外电场E0方向，如图b所示。对一块介质整体来说，由于电介质中每一个分子都成为电偶极子，

16、所以，它们在电介质中排列如图，在电介质内部，相邻电偶极子正负电荷相互靠近，因而对于均匀电介质来说，其内部仍是电中性的，但在和外电场垂直的两个端面上就不同了。由于电偶极子的负端朝向电介质一面，正端朝向另一面，所以电介质的一面出现负电荷，一面出现正电荷，显然这种正负电荷是不能分离的，故为束缚电荷。结论：无极分子的电极化是由于分子的正负电荷的中心在外电场的作用下发生相对位移的结果，这种电极化称为位移电极化。（2）有极分子的电极化有极分子本身就相当于一个电偶极子，在没有外电场时，由于分子做不规则热运动，这些分子偶极子的排列是杂乱无章的，如图d所示，所以电介质内部呈电中性。当有外电场时，每一个分子都受到

17、一个电力矩作用，如图所示，这个力矩要使分子偶极子转到外电场方向，只是由于分子的热运动，各分子偶极子不能完全转到外电场的方向，只是部分地转到外电场的方向，即所有分子偶极子不是很整齐地沿着外电场E0方向排列起来，如图f所示。但随着外电场E0的增强，排列整齐的程度要增大。无论排列整齐的程度如何，在垂直外电场的两个端面上都产生了束缚电荷。结论：有极分子的电极化是由于分子偶极子在外电场的作用下发生转向的结果，故这种电极化称为转向电极化。说明：在静电场中，两种电介质电极化的微观机理显然不同，但是宏观结果即在电介质中出现束缚电荷的效果时确是一样的，故在宏观讨论中不必区分它们。8-4电介质中的电场高斯定理电位

18、移一、电介质中的电场0E=E-E。0从上节看到，当电介质受外电场E作用而电极化时，电介质出现极化电荷，极化电荷也要产生电场，所以，电介质中的电场是外电场E与极化电荷产生电场E的叠加，即E=E+E，大小：01、下面以平行板电容器为例求电介质中场强E。由电容器定义，有C亠oU0c=qUC=U（无介质）（有介质）CT亙UU0E“=onE=E=8EEU为电压,rU为电压,0q为电量。q为电量。0弃EbE=o=088r真空中E=匕080：E沿半径向外；Q0：E沿半径向内。（2）介质外任一点P电势U=fEdP=fEdr=fQdr=Jp4兀8r24兀8rTOC o 1-5 h zrrr00p介质内任一点Q电

19、势4k8r2R0dr4兀88r2rQRrQ0r-Q1(11)+18rRRrQU=fEdP=REdP+fEdP=fEdr+fEdr=P HYPERLINK l bookmark208 rQrQR=亠丄-丄j+-Q4兀88rR4兀8R4兀8 HYPERLINK l bookmark224 0rQ00球为等势体,电势为_dr+_4ks8r24ksr2R0rR0U=fEdp=fEdp+fEdp=f球RRR HYPERLINK l bookmark228 =启丄4-丄丿+丄j4兀8r8RRR0r电位移矢量分布；场强分布；导体球与导体空间电势差；导体球壳构成电容器的电容。例8-6：有一个带电为+q半径为R

20、i的导体球，与内外半径分别为R3、带电量为-q的导体球壳同心，二者层和外层电介质的介电常数分别为1、也是与导体球同心的半径为R2的球面。（1）（2）（3）（4）R4之间有两层均匀电介质，内2，且二电介质分界面试求：S由题意知，场是球对称的，选球形高斯面S,D沿半径向外。0(rR)1J(RrR)3:入八.匕休血/、马(2)0E=0(rR)1J(RrR)4k8r2i21纟一(RrR)3即沿半径向外。图S-27E与D同向,（3）U-U=輕dp=*dP+仕.d?=l纟dr+f纟dr球表4k8r24k8r2R1=丄-丄+4K8RR11R1R2R11R22q11q(R-R)R+(R-R)R/=212332

21、11-4K8RR4K8RRR223121234)球表4兀RRR12_3(RR)R+(RR)R21233211解：（1）第八章静电场中的导体和电介沈阳工业大学郭连权(教授)第八章静电场中的导体和电介沈阳工业大学郭连权(教授) #强调：(1)E与D关系；(2)电势差求法；(3)电容器的概念及电容求法8-5电场的能量一、带电电容器的能量一个电中性的物体，周围没有电场，当把电中性物体的正、负电荷分开时，外力作了功，这时该物体周围建立了电场。所以，通过外力做功可以把其它形式能量转变为电能，贮藏在电场中。今以带电电容器为例进行讨论。如图所示，设t时刻，两极板上电荷分别为+q(t)和-q(t)，A、B间电势

22、差为：1*1R-2RU(t)-U(t)=字ABC再把电量dq从B移到A，外力做的功为dW=(U-U)dq=q(tdq。ABC当A、B上电量达到+Q和-Q时，外力做的总功为：W=fdW=f空dq=1Q2=1C(U-U)2=1Q(U-U)C2C2ab2ab0外力功全部转化为带电电容器贮藏的电能W，e电容器储存的电能为：8-9)W=1Q2=1C(U-U)2=1Q(U-U)e2C2AB2AB第八章静电场中的导体和电介沈阳工业大学郭连权（教授）第八章静电场中的导体和电介沈阳工业大学郭连权（教授） 二、电场的能量U-U=EdABe0C旦d1s11W=E2d2=8E2Sd=eE2V（V=Sd:电容器体积）e

23、2d22由上可知，平行板电容器能量与E,V,e有关。因为场强为匀强电场，W应均匀分布，故单位体积内能量，即能量e密度为8-10)8-11)W1口1TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark252 w=8E2=DEeV22w=8E2=DEe22说明：（1）适用于任何电容器；适用于任何电场。（2）对任一带电系统整个电场能量为 HYPERLINK l bookmark258 We二JwdV=J（-DE）dV二J丄E2dV。e22VVV3）由1）知，能量存在是由于电荷的存在，电荷是能量的携带者，但（2）式表明，能量是存在于电场中，电场是能量的携带者。在静电场中能量究竟是电荷的携带的还是电场携带的，是无法判断的。因为在静电场中，电场和电荷是不可分割地联系在一起的，有电场必有电荷，有电荷必有电场