常见递归数列通项公式的求解策略

1、PAGE PAGE 21常见递归数列通项公式的求解策略数列是中学数学中重要的知识之一，而递归数列又是近年来高考和全国联赛的重要题型之一。数列的递归式分线性递归式和非线性递归式两种，本文仅就高中生的接受程度和能力谈谈几种递归数列通项公式的求解方法和策略。一、周期数列如果数列满足：存在正整数M、T，使得对一切大于M的自然数n，都有成立，则数列为周期数列。例1、已已知数列列满足 a1 =2，an+1 =1，求ann 。解:ann+1 =1 ann+2 =1 = ,从而aan+33 = 1=1an1=aan, 即数列是是以3为周期期的周期期数列。又a11 =22，a2=1=, a3 =1 2 , n=

2、33k1 所以aan= ,n=3k2 ( kNN )1 , n=3k3 二、线性性递归数数列1、一阶阶线性递递归数列列：由两两个连续续项的关关系式 an= f (ann-1 )（n,nn）及一一个初始始项a11所确定定的数列列，且递递推式中中，各aan都是是一次的的，叫一一阶线性性递归数数列，即即数列满满足ann1 =f (n) ang(nn)，其其中f (n)和g(nn)可以以是常数数，也可可以是关关于n的函数数。（一）当当f (n) =p时，g(n)=q（p、q为常数数）时，数列是是常系数数一阶线线性递归归数列。（1）当当p =1时，是以以q为公差差的等差差数列。（2）当当q=00，p0时

3、，是以pp为公比比的等比比数列。（3）当当p1且q0时，an1 =p aanq可化为为an1=p(an),此时时ann是是以p为公比比，a11为首项项的等比比数列，从而可可求ann。例2、已已知：=且，求求数列的的通项公公式。解：= 即数列是是以为公公比，为首项的的等比数数列。（二）当当f(nn)，gg(n)至少有有一个是是关于nn的非常常数函数数时，数数列aan是是非常系系数的一一阶线性性递归数数列。（1）当当f(nn) =1时，化成aan11=anng(n),可用求求和相消消法求aan。例3、（20003年全全国文科科高考题题）已知知数列an满足aa1=11,ann=3nn-11ann1

4、(n22) , (11)求aa2 ,a3 ; (2) 证明：an= .(1)解解： aa1 =1, a2=311=4 , aa3=33244=133 .(2)证证明： an=3n1an1 (n2) ,anaan11=3nn1 , an11ann2=3n2 , an22ann3=3n3 ,a4aa3=333 , a3aa2=332 , a2aa1=331 将以上等等式两边边分别相相加，并并整理得得: anaa1=33n113nn23n3333322311 ,即an=3n133n223nn333333233111= . （2）当当g(nn)=00时,化化为a n11=f(n) an ，可用用求积相

5、相消法求求an 。 例4、已已知数列列ann满足足a1 =22 , a nn=3nn ann1，求通项项a nn。 解： aa1 =2 , a n=3n an1 a n1=33n11 ann2 ， a n2=33n22 ann3 ， ，a 4=34 a3 ， a 3=33 a2 ， a2=332 aa1 将以上等等式两边边相乘并并整理得得： a n=3n3n13nn2334333332aa1=2332+33+n =23 （3）当当f(nn)是非非1的常常数p时时，ann1 =p ang(nn) 可可用两边边同除以以pn+1 得得 ，令令bn+1= ，则bbn+11=bnn，仿仿照（11）求出出

6、 bnn之后，再求出出an . 例5、设设有数列列ann: a1 =1 , aan11 = an ，求求an . 解：ann1 = aan 2n+1ann1=2naan22 令bn+1=22n+11an1 ，则bnn+1= bnn2，即bbn是是以2为为公差，b1=2a1=2为首首项的等等差数列列， 故有bnn=2(n1)2=22n，从从而ann=，即即an= 一般情况况，当ff(n) 不是是常数时时，仿（3）可可求 例6、已已知aan中中，a11 =22 , n aan11=(nn1) ann2，求aan的的通项公公式。解： nn ann1=(n1) an2 令bn+1= ，则bbn+11=

7、bnn ，仿（11）可求求得 bn=bb122= aa122( 11)=222(1)=44 an=nn bnn=4nn22、二阶阶线性递递归数列列：由三三个连续续项的关关系式 an1=ff(ann , an-1 )(n, nNN)及两两个初始始值a11, aa2 所所确定的的数列，且递推推式中，各ann都是一一次的，叫二阶阶线性递递归数列列。 设数列an满足aan11 =pp annq an-1 ，则其通通项ann的求法法如下：（1）写出递递推式所所对应的的特征方方程x22=pxxq ；（22）解特特征方程程得到两两个根xx1 , x22 ；(3)如如果 xx1x22 ，则则可设aan=aa

8、x11nbb x22n ；如果xx1= x2 ，则可可设ann=(ccdnn) xx1n ；（44）由初初始值aa1, a2 求出aa , b 或或c , d . 例7、已已知数列列ann满足足an1 =2 an3 aan-11 ，且且a1=1, a2=5，求求通项公公式ann .解：关于于an1 =2 an3 aan-11 所对对应的特特征方程程是x22=22x33，其两两个根为为1和3。设 ann=ab(3)nn , 因为aa1=11, aa2=55 , 所以ab(3)=1ab=5 解得a=2 , b= ，所所以ann=2(33)n . 例8、已已知数列列ann中，an2 =6 aan+1

9、19 an ，且aa1=11, aa2=22 ,求求an解：递归归关系aan22 =66 ann+19 aan 所所对应的的特征方方程是x2=66x99 ，其其根是二二重根33. 设an=(cdn) 3nn , a1=1, a2=2 , 3(cd)=1 9(c2d)=2解得c= , d= ，所所以ann=(44n) 3nn-22 三、其它它递归数数列 1、形如如an+1=ppanqq (pp0 , aan00)型的的递归数数列，可可用对数数代换法法求ann 例9、设设数列an满足aa1=44, aan+11=5aan2 ，求aan . 解：由aan+11=5aan2 可知aan00，所以以两边

10、取取对数，得lggan+1=22lgaanllg5 ，令bbn=llgann，则bbn+11=2 bnlg55 ，化化为 bn+11lgg5=22(bnnlgg5) ，即bnlg55是以以2为公公比，bb1llg5= lgga1lg55=lgg20为为首项的的等比数数列，从从而有： bnllg5=(lgg20)2 即即bn=( llg200)2lg55，所以以lgaan=llg,即an= 2、形如如n+11= 型型的递归归数列，可用倒倒数代换换法求(0)例10、已知数数列nn满足足n+11=，且且a1=2 ,求通通项公式式n 解： nn+1= 两边边取倒数数得 ，令bnn=，则则 bnn+1=

11、bn ，可可化为bbn+112=(bnn2)，即bn2是是以为公公比，以以 b112=为首首项的等等比数列列， bbn22= 即22= , nn= 3、分式式递归数数列n+1=(c0,) 型型的通项项公式的的求法：(1)写出递递推式所所对应的的特征方方程= ；（22）解特特征方程程得到两两个根xx1 , x22 ；（3）如如果x11 x22，则数数列是等比比数列 ；如果果x1 = xx2，则则数列是等等差数列列；（44）由等等比数列列或等差差数列的的通项公公式求nn 例11、（19987年年中国数数学奥林林匹克集集训队习习题）设设n满足=2 , n=(n11)，求求n 解：由递递推式nn=所对

12、对应的特特征方程程=得其其根为xx1 =2 , xx2=33 ,=4数列是以4为公公比，=4为为首项的的等比数数列，则则有=4(4)n n= 线性二项项递归数数列的通通项及应应用一个数列列ann，如如果它的的第n项项an与与项数nn之间的的函数关关系可以以用一个个公式aan=ff(n) 表示示时，这这个公式式叫做这这个数列列的通项项公式。一般地地说，给给出一个个数列，就是给给出它的的构成规规律。常常见的用用解析式式给出它它构成规规律的方方法有通通项公式式法以及及递推公公式法。“给出出数列的的递推公公式，求求通项公公式”是是数列教教学的一一个难点点。下面面先就一一道习题题的解法法对“线线性二项项

13、递归数数列的通通项”求求解方法法做一简简单小结结。例：已知数数列aan满满足a11=3,an+1=22an+7,求求ann的通通项公式式。解法法一：（配凑法法）a1=3,aan+11=2aan+77令 aan+11p=2(aan-pp)则aan+11=2aan-pp, 比比较系数数得p=-7则则 =22(常数数)由定定义知，数列an+7 是公比比q=22的等比比数列，则 aan+77=(aa1+77)22n-11又a1=3,则则得出数数列aan的的通项公公式为：an=102n-1-77解法二二：（叠叠加法） an+1=22an+7an=2ann-1+72aan-11=222an-2+22722

14、2ann-2=23aan-33+22272n-22a2=2n-1a11+2nn-27将以以上n-1个式式子叠加加，两边边相消得得：ann=2nn-1a1+7(11+2+22+22n-22) =2nn-1a1+7(22n-11-1)由于 a1=3得ann=1002nn-1-7解法法三：（解方程程组法） an+1=22an+7 an=2ann-1+7得：ann+1-an=2(aan-aan-11)设bbn=aan+11ann, 则则 =2b1=a2a1=2a1+7aa1=110bbn=11022n-11ann+1an=102n-1联立立方程组组解得ann=1002nn-17解法法四：（递归法法）a

15、n+1=22an+7an=2ann-1+7=22(2aan-22+7)+7=22aan-22+27+77=222(2aan-33+7)+27+77=233an-3+22277+27+77=2nn-1aa1+(2n-277+2nn-17+27+77)=22n-11a11+7(2n-111)a1=3 an=102n-177解法五五：（不不动点法法）设ff(x)=axx+b(a 11,b 0),则f(x)的的不动点点是f(x)的的n次迭迭代函数数的解析析式可表表示如下下：fn(x)=an(x- )+ an+1=22an+7,aa1=33an=2ann-1+7=22n-11(a11- )+ =102n

16、-1-77解法六六：（特特征根法法）若数数列aan中中,a11已知,an+1=aaann+b(a11,b0)则则称x=ax+b为an的特征征方程，其根xx= 称为为特征根根。这时时有如下下结论：an=(a11-x)ann-1+x对于于本题，由于aa1=33,a=2,bb=7.x= =-77an=102n-1-77应用用举例 例例1：小小王贷款款a元用用于购房房，采用用月均等等额本息息还款方方式，若若m个月月将款全全部还清清，月利利率为rr，求每每月还款款额x。解：设设第n(nmm)次还还款后，小王还还欠ann元钱，这ann元钱到到下月增增值到aan(11+r)元，还还x元后后，还有有an+1=

17、(1+rr)ann-x。可知小小王每次次还款后后仍欠银银行的钱钱依次形形成一个个数列an，其中中a1=a(11+r)-x,an+1=(1+rr)ann-x 所所以有， aan=(1+rr)ann-1-x=(1+rr)(1+rr)ann-2-x-x=(1+rr)2aan-22-(11+r)x-xx=(11+r)3ann-3-(1+r)22x-(1+rr)x-x=(1+rr)4aan-44-(11+r)3x-(1+r)22x-(1+rr)x-x=LLL=(1+rr)n-1a11-x(1+r)nn-2+(1+r)nn-3+L+(1+rr)+11=(1+rr)n-1aa(1+r)-x-x(1+rr)n

18、-22+(1+r)nn-3LL+(11+r)+1=(11+r)na-x(1+rr)n-1+(1+rr)n-2+LL+(11+r)+1=(11+r)na- x=(1+r)nna+ xx题意可可知amm=0,即amm=(11+r)ma+ x=00所以， x=例2：某林场场原有森森林木材材存量为为a万立立方米，木材每每年以225%的的增长率率增长，而每年年冬天要要砍伐的的木材量量为x万万立方米米。为了了实现经经过200年达到到木材存存量翻两两番的目目标，则则x的最最大值是是多少？解：设设第n年年底木材材存量为为an万万立方米米，则aa1=aa(1+25%)-xx= a-xxan+1=(1+225%)

19、x= aan-xxQann+1= aan-xx (ann+1-4x)= (ann-4xx)数列列ann-4xx是公公比为，首项为为a1-4x的的等比数数列，则则an-4x=(a11-4xx)( )nn-1=( )a-55x( )nn-1aan=44x+(a-44x)( )n令aa204a,即即4x+(a-4x)( )2004aa解得xx a一. 教教学内容容：数列求和和的几种种方法、数列的的实际应应用问题题二. 教教学难点点：数列的实实际应用用问题三. 课课标要求求：1. 探探索并掌掌握一些些基本的的数列求求前n项和的的方法；2. 能能在具体体的问题题情境中中，发现现数列的的通项和和递推关关系

20、，并并能用有有关等差差、等比比数列知知识解决决相应的的实际问问题四. 命命题走向向：数列求和和和数列列综合及及实际问问题在高高考中占占有重要要的地位位，一般般情况下下都是出出一道解解答题，解答题题大多以以数列为为工具，综合运运用函数数、方程程、不等等式等知知识，通通过运用用逆推思思想、函函数与方方程、归归纳与猜猜想、等等价转化化、分类类讨论等等各种数数学思想想方法，这些题题目都考考查考生生灵活运运用数学学知识分分析问题题和解决决问题的的能力，它们都都属于中中、高档档题目有关命题题趋势：1. 数数列是一一种特殊殊的函数数，而不不等式则则是深刻刻认识函函数和数数列的有有效工具具，三者者的综合合题是

21、对对基础和和能力的的双重检检验，在在三者交交汇处设设计试题题，特别别是代数数推理题题是高考考的重点点；2. 数数列推理理题将继继续成为为数列命命题的一一个亮点点，这是是由于此此类题目目能突出出考查学学生的逻逻辑思维维能力，能区分分学生思思维的严严谨性、灵敏程程度、灵灵活程度度；3. 数数列与新新的章节节知识结结合的特特点有可可能加强强，如与与解析几几何的结结合等；4. 有有关数列列的应用用问题也也一直备备受关注注【教学过过程】一、基本本知识回回顾1. 数数列求通通项与和和（1）数数列前nn项和Sn与通项项an的关系系式：aan（2）求求通项常常用方法法作新数数列法作等差差数列与与等比数数列累差

22、叠叠加法最基本本的形式式是：aan（anan1）（an1an2）（a2a1）a1归纳、猜想法法（3）数数列前nn项和重要公公式：等等差和等等比数列列的求和和公式12nn（n1）；12222n2n（n1）（2nn1）；13223n3（12n）2n2（n1）2；裂项相相消法将数列的的通项分分成两个个式子的的代数和和，即aanf（n1）f（n），然然后累加加抵消掉掉中间的的许多项项，这种种先裂后后消的求求和法叫叫裂项求求和法用裂项项法求和和，需要要掌握一一些常见见的裂项项，如：、等错位相相减法（可用于于推导等等比数列列前n项和公公式）对一个由由等差数数列及等等比数列列对应项项之积组组成的数数列的前前

23、n项和，常用错错位相减减法，其中是等等差数列列，是等比比数列，记，则则，分组转转化求和和把数列的的某些项项放在一一起先求求和，然然后再求求Sn倒序相相加法（可用于于推导等等差数列列前n项和公公式）2. 递递归数列列数列的连连续若干干项满足足的等量量关系aankf（ank1，ank2，an）称为为数列的的递归关关系由由递归关关系及kk个初始始值可以以确定的的一个数数列叫做做递归数数列如如由an12an1，及a11，确定定的数列列即为递递归数列列递归数列列的通项项的求法法一般说说来有以以下几种种：（1）归归纳、猜猜想（2）迭迭代法（3）代代换法包括代代数代换换，对数数代数，三角代代数（4）作作新数

24、列列法最最常见的的是作成成等差数数列或等等比数列列来解决决问题【典型例例题】例1.已知数数列为等等差数列列，且公公差不为为0，首项项也不为为0，求和和：解：首先先考虑，则点评：已已知数列列为等差差数列，且公差差不为00，首项项也不为为0，下列列求和也也可用裂裂项求和和法例2.求解：，点评：裂裂项求和和的关键键是先将将形式复复杂的因因式转化化的简单单一些例3.设，利用用课本中中推导等等差数列列前n项和的的方法，可求得得的值为为_解：课本本中推导导等差数数列前nn项和的的方法为为倒序相相加法.因为所以原式66点评：本本题曾为为上海高高考题，主要考考查考生生对课本本的熟练练程度和和倒序相相加法的的应

25、用，其中有有函数式式子的变变化，计计算能力力的考查查例4.已知，数数列是首首项为aa，公比比也为aa的等比比数列，令，求求数列的的前项和和解：，得得：，点评：设设数列是是等比数数列，数数列是等等差数列列，则对对数列的的前项和和进行求求解，均均可用错错位相减减例5.数列的前多多少项和和为最大大？解：是以以为首项项，以为为公差的的等差数数列，对称轴比比较起来来更靠近近对称轴轴前项和和为最大大 另法：由由，得点评：求求和的最最值关键键在于找找分界点点.例6.求数列列1，3，32，3n的各项项的和解：其和和为（1133n）（）（3n13n）点评：分分组转化化法求和和.例7.（20006年浙浙江卷220

26、）已已知函数数x3x2，数列列xn（xn 0）的的第一项项x11，以后后各项按按如下方方式取定定：曲线线y在处的切切线与经经过（00，0）和（xn，f（xn）两两点的直直线平行行（如图图）求证：当当n时：（I）；（II）解：（II）因为为所以曲线线在处的切切线斜率率因为过和和两点的的直线斜斜率是所以.（II）因为函函数当时单调调递增，而所以，即即因此又因为令则因为所以以因此故点评：数数列与解解析几何何问题结结合在一一块，数数列的通通项与线线段的长长度、点点的坐标标建立起起联系例8.（20005上海海高考220.）假设某某市20004年年新建住住房4000万平平方米，其中有有2500万平方方米是

27、中中低价房房.预计在在今后的的若干年年内，该该市每年年新建住住房面积积平均比比上一年年增长88%.另另外，每每年新建建住房中中，中低低价房的的面积均均比上一一年增加加50万平平方米.那么，到哪一一年底，（1）该该市历年年所建中中低价房房的累计计面积（以20004年年为累计计的第一一年）将将首次不不少于447500万平方方米?（2）当当年建造造的中低低价房的的面积占占该年建建造住房房面积的的比例首首次大于于85%?解：（11）设中中低价房房面积形形成数列列an，由题题意可知知an是等差差数列，其中a112500，d50，则则Sn2500n25nn22255n，令25nn22255n47550，即

28、即n29n19000，而n是正整整数，n10到20113年底底，该市市历年所所建中低低价房的的累计面面积将首首次不少少于47750万万平方米米（2）设设新建住住房面积积形成数数列bbn，由题题意可知知bn是等比比数列，其中b114000，q1.008，则则bn4000（1.008）n10.85由题意可可知an0.885 bbn，有2550（n1）5004000（1.008）n10.85由计算器器解得满满足上述述不等式式的最小小正整数数n6 到220099年底，当年建建造的中中低价房房的面积积占该年年建造住住房面积积的比例例首次大大于855%点评：本本题考查查等差、等比数数列的应应用题，关键是是

29、如何把把实际问问题转化化为数列列问题，注意解解应用题题的设、列、解解、答四四个步骤骤例9.某企业业进行技技术改造造，有两两种方案案，甲方方案：一一次性贷贷款100万元，第一年年便可获获利1万元，以后每每年比前前一年增增加300%的利利润；乙乙方案：每年贷贷款1万元，第一年年可获利利1万元，以后每每年比前前一年增增加5千元；两种方方案的使使用期都都是100年，到到期一次次性归还还本息若银行行两种形形式的贷贷款都按按年息55%的复复利计算算，试比比较两种种方案中中，哪种种获利更更多？（取）解：甲方方案是等等比数列列，乙方方案是等等差数列列，甲方案案获利：（万元元），银行贷款款本息：（万元元），故甲

30、方案案纯利：（万元元），乙方案案获利：（万元）；银行本息息和：（万元）故乙方案案纯利：（万元元）；综上可知知，甲方方案更好好点评：这这是一道道比较简简单的数数列应用用问题，由于本本息与利利润是熟熟悉的概概念，因因此只建建立通项项公式并并运用所所学过的的公式求求解例10. （20007山东东理177）设数数列满足足，（）求求数列的的通项；（）设设，求数数列的前前项和解：（II）验证时也也满足上上式，（II），例11. （20007山东东文188）设是公公比大于于1的等比比数列，为数列列的前项和和已知知，且构成成等差数数列（1）求求数列的的等差数数列（2）令令求数列列的前项和和Tn解：（11）由已

31、已知得解得设数列的的公比为为，由，可可得又，可知知，即，解得由题意得得故数列的的通项为为（2）由由于由（1）得又是等差数数列故点评：220077年山东东高考文文科和理理科数列列的题目目都在大大题的前前两题的的位置，理科考考查的是是错位相相减法求求和，文文科为等等差和等等比数列列公式的的应用，都考查查了考生生的运算算能力例12.（20007福建建文211）数列列的前项和和为，（）求求数列的的通项；（）求求数列的的前项和和解：（），又，数列是首首项为，公比为为的等比比数列，当时，（），当时，；当时，得：又也满足足上式，点评：本本小题考考查数列列的基本本知识，考查等等比数列列的概念念、通项项公式及及数列的的求和，考查分分类讨论论及化归归的数学学思想方方法，以以及推理理和运算算能力满分112分思维小小结1. 数数列求和和