高中数学必修二 19-20 第6章 6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示 6.3.3平面向量加、减运算的坐标表示

1、 6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示6.3.3平面向量加、减运算的坐标表示学 习 目 标核 心 素 养1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示(难点)2.理解向量坐标的概念，掌握两个向量和、差的坐标运算法则(重点)3.向量的坐标与平面内点的坐标的区别与联系(易混点)1.通过力的分解引进向量的正交分解，从而得出向量的坐标表示，提升数学抽象素养.2.借助向量的线性运算，培养数学运算素养.1平面向量的正交分解及坐标表示(1)平面向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解(2)平面向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j，取

2、i，j作为基底对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得axiyj，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a(x，y)，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，a(x，y)叫做向量的坐标表示(3)向量坐标与点的坐标之间的联系在平面直角坐标系中，以原点O为起点作eq o(OA,sup14()a，设eq o(OA,sup14()xiyj，则向量eq o(OA,sup14()的坐标(x，y)就是终点A的坐标；反过来，终点A的坐标(x，y)也就是向量eq o(OA,sup14()的坐标2平面向量的坐标运算设向量a(x1，y1)，b(x2，y2)

3、，R，则有：加法ab(x1x2，y1y2)减法ab(x1x2，y1y2)重要结论已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq o(AB,sup14()(x2x1，y2y1)1已知a(3,5)，b(3,2)，则ab()A(8，1)B(0,7)C(7,0) D(1,8)Bab(3,5)(3,2)(33,52)(0,7)2已知向量a(1,2)，b(3,1)，则ba等于()A(2,1) B(2，1)C(2,0) D(4,3)答案B3已知点A(1，2)，点B(4,0)，则向量eq o(AB,sup14()_.答案(3,2)4如图，在平面直角坐标系中，分别取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i，j，以

4、i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，若|a|2，45，则向量a的坐标为_(eq r(2)，eq r(2)由题意知a2cos 45i2sin 45jeq r(2)ieq r(2)j(eq r(2)，eq r(2)平面向量的坐标表示【例1】如图，在平面直角坐标系xOy中，OA4，AB3，AOx45，OAB105，eq o(OA,sup14()a，eq o(AB,sup14()b.四边形OABC为平行四边形(1)求向量a，b的坐标；(2)求向量eq o(BA,sup14()的坐标；(3)求点B的坐标解(1)作AMx轴于点M，则OMOAcos 454eq f(r(2),2)2eq r(2)，AMO

5、Asin 454eq f(r(2),2)2eq r(2)，A(2eq r(2)，2eq r(2)，故a(2eq r(2)，2eq r(2)AOC18010575，AOy45，COy30.又OCAB3，Ceq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)，f(3r(3),2)，eq o(AB,sup14()eq o(OC,sup14()eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)，f(3r(3),2)，即beq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)，f(3r(3),2).(2)eq o(BA,sup14()eq o(AB,sup14()eq blc(rc)(avs4al

6、co1(f(3,2)，f(3r(3),2).(3)eq o(OB,sup14()eq o(OA,sup14()eq o(AB,sup14()(2eq r(2)，2eq r(2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)，f(3r(3),2)求点、向量坐标的常用方法：(1)求一个点的坐标：可利用已知条件，先求出该点相对应坐标原点的位置向量的坐标，该坐标就等于相应点的坐标(2)求一个向量的坐标：首先求出这个向量的始点、终点坐标，再运用终点坐标减去始点坐标即得该向量的坐标1如图，取与x轴、y轴同向的两个单位向量i，j，i，j作为基底，分别用i，j表示eq o(OA,sup14()，eq

7、o(OB,sup14()，eq o(AB,sup14()，并求出它们的坐标解由题图可知，eq o(OA,sup14()6i2j，eq o(OB,sup14()2i4j，eq o(AB,sup14()4i2j，它们的坐标表示为eq o(OA,sup14()(6,2)，eq o(OB,sup14()(2,4)，eq o(AB,sup14()(4,2)平面向量的坐标运算【例2】(1)已知点A(0,1)，B(3,2)，向量eq o(AC,sup14()(4，3)，则向量eq o(BC,sup14()()A(7，4)B(7,4)C(1,4) D(1,4)(2)已知向量a，b的坐标分别是(1,2)，(3，

8、5)，求ab，ab的坐标(1)A法一：设C(x，y)，则eq o(AC,sup14()(x，y1)(4，3)，所以eq blcrc (avs4alco1(x4，,y2，)从而eq o(BC,sup14()(4，2)(3,2)(7，4)故选A.法二：eq o(AB,sup14()(3,2)(0,1)(3,1)，eq o(BC,sup14()eq o(AC,sup14()eq o(AB,sup14()(4，3)(3,1)(7，4)故选A.(2)解ab(1,2)(3，5)(2，3)，ab(1,2)(3，5)(4,7)平面向量坐标(线性)运算的方法(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差的运算

9、法则进行(2)若已知有向线段两端点的坐标，则必须先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算(3)向量的线性坐标运算可类比数的运算进行. 2若A，B，C三点的坐标分别为(2，4)，(0,6)，(8,10)，求eq o(AB,sup14()eq o(BC,sup14()，eq o(BC,sup14()eq o(AC,sup14()的坐标解eq o(AB,sup14()(2,10)，eq o(BC,sup14()(8,4)，eq o(AC,sup14()(10,14)，eq o(AB,sup14()eq o(BC,sup14()(2,10)(8,4)(10,14)，eq o(BC,sup14()eq

10、 o(AC,sup14()(8,4)(10,14)(2，10).平面向量坐标运算的应用【例3】已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2)，B(1，2)，C(3,1)，且eq o(BC,sup14()eq o(AD,sup14()，则顶点D的坐标为()A.eq blc(rc)(avs4alco1(2，f(7,2)B.eq blc(rc)(avs4alco1(2，f(1,2)C(4,5) D(1,3)C设点D(m，n)，则由题意得(4,3)(m，n2)，解得eq blcrc (avs4alco1(m4，,n5，) 即点D(4,5)，故选C.在平面几何问题中，可以借助平行四边形对边平行且相等，也可利用

11、平行四边形法则求解3已知平行四边形OABC，其中O为坐标原点，若A(2,1)，B(1,3)，则点C的坐标为_(1,2)设C的坐标为(x，y)，则由已知得eq o(OC,sup14()eq o(AB,sup14()，所以(x，y)(1,2)1在平面直角坐标系中，平面内的点、以原点为起点的向量、有序实数对三者之间建立一一对应关系如图所示2向量的坐标和其终点的坐标不一定相同当且仅当向量的起点在原点时，向量的坐标才和其终点的坐标相同3在进行向量坐标形式的运算时，要牢记公式，细心计算，防止符号错误1判断正误(1)相等向量的坐标相同()(2)平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标()(3)一个坐标对应于唯一

12、的一个向量()(4)平面上一个点与以原点为始点，该点为终点的向量一一对应()答案(1)(2)(3)(4)2设i，j是平面直角坐标系内分别与x轴，y轴正方向相同的两个单位向量，O为坐标原点，若eq o(OA,sup14()4i2j，eq o(o(OB,sup14()3i4j，则eq o(OA,sup14()eq o(OB,sup14()的坐标是()A(1，2)B(7,6)C(5,0) D(11,8)B因为eq o(OA,sup14()(4,2)，eq o(OB,sup14()(3,4)，所以eq o(OA,sup14()eq o(OB,sup14()(4,2)(3,4)(7,6)3已知点A(1，

13、2)，B(4,3)，则eq o(AB,sup14()的坐标为()A(3,1) B(5，5)C(5,5) D(5,5)Ceq o(AB,sup14()(4,3)(1，2)(5,5)，故选C.4已知A(2，3)，eq o(AB,sup14()(3，2)，则点B的坐标为()A(5,5) B(5，5)C(1,1) D(1,1)Beq o(OB,sup14()eq o(OA,sup14()eq o(AB,sup14()(2，3)(3，2)(5，5)5(1)已知平面上三个点A(4,6)，B(7,5)，C(1,8)，求eq o(AB,sup14()，eq o(AC,sup14()，eq o(AB,sup14()eq o(AC,sup14()，eq o(AB,sup14()eq o(AC,sup14()；(2)已知a(1,2)，b(3,4)，求向量ab，ab的坐标解(1)因为A(4,