高数重积分课件

1、2011-2012学年高等数学第二学期期中考试说明题型：一、填空题（5个小题）；二、选择题（ 5个小题）；三、计算题（ 5个小题）；四、计算题（ 5个小题）；五、计算与解答题（ 2个小题）；六、证明题（ 1个小题）。考试时间：2012年5月4日（第10周周五）下午4：006：00考试地点：化学工程与工艺6班、制药工程12班： 24-303生物工程12班：24-305每章所占分值: 第七、八章 空间解析几何与多元函数微分 (占23分)第九章 重积分 (占35分)第十章 线面积分 (占42分)一元函数积分学多元函数积分学重积分曲线积分曲面积分积分学二重积分三重积分第一类曲线积分第二类曲线积分第一类

2、曲面积分第二类曲面积分（细棒质量）（平面薄板质量）（曲面薄板质量）（空间物体质量）（物质曲线质量）（变力作功）（通量）例. 设D 是第二象限的一个有界闭域 , 且 0 y 1, 则的大小顺序为 ( )提示: 因 0 y 0 )的公共部分.提示: 被积函数缺 x , y 原式 =(3) 利用柱坐标计算三重积分 就称为点M 的柱坐标.柱面坐标本质：投影法中的二重积分利用了极坐标计算柱面坐标适用范围：例. 计算三重积分解: 在柱面坐标系下所围成 .与平面其中由抛物面原式 =其中为由例. 计算三重积分所围解: 在柱面坐标系下及平面柱面成半圆柱体.确定r, , 的变化范围的方法:(a) 若由两曲面围成,

3、其球面坐标方程为r=r1(, ), r=r2( , ). 以原点为起点作向量穿过,先遇到的曲面为r=r1(, ), 后遇到的曲面为r=r2( , ), 则r1( , ) rr2( , ). , 的变化范围要由其几何意义视具体情况确定.(b)若原点在的边界上,以原点为起点所作的穿过的向量只遇到一片曲面,其球面坐标方程为r = r ( , ),(c)若包含原点,围成的曲面方程为r = r (, ), 则0 rr( , ), 0 , 02. , 的变化范围可根据它们的几何意义,视具体情况确定.则0 r r( , ), 注: 与用极坐标算二重积分类似例. 计算三重积分解: 在球面坐标系下所围立体.其中

4、 与球面例.求由半径R的球面x2+y2+z22Rz=0和半顶角为的圆锥面ctg2(x2+y2)=z2围成的立体的体积V,其中位于圆锥面上方,球面下方.解:的体积V,用球面坐标求这个三重积分.0yzxx2+y2+z22Rz=0: r=2Rcos ctg2(x2+y2)=z2: =.知, 0r2Rcos, 0,02.例.计算解:两球面方程分别为:r=b和r=a,(a 0 )的公共部分.提示:原式 =或 =3. 设由锥面和球面所围成 , 计算提示:利用对称性用球坐标 例. 计算其中解:利用对称性重积分计算的基本方法1. 选择合适的坐标系使积分域多为坐标面(线)围成;被积函数用此坐标表示简洁或变量分离.2. 选择易计算的积分序积分域分块要少, 累次积分易算为妙 .根据图形根据方程3. 掌握确定积分限的方法 累次积分法小结：三、重积分的应用1. 几何方面面积 ( 平面域或曲面域 ) , 体积 , 形心质量, 转动惯量, 质心, 引力 证明某些结论等 2. 物理方面3. 其它方面注：一定要用对称性结论例. 一个炼钢炉为旋转体形, 剖面壁线的方程为内储有高为 h 的均质钢液,解: 利用对称性可知质心在 z 轴上，采用柱坐标, 则炉壁方程为因此故自重, 求它的质心.若炉不计炉体的其坐标为例.解: 在球坐标系下利用洛必达法则与导数定义,得其中 定积分可把方程代入被积函数化简得为二重、三