初中数学专题训练-四边形-中位线

1、初中数学例01如图，已知：在ABC中，D、E、F分别为BC、AD和AB的中点，已知ABC的周长为46cm.求：DEF的周长.分析：由于D、E、F分别是三角形三边的中点，所以DE、DF、EF都是ABC的中位线.那么根据三角形的中位线的性质，可知它们的长度分别为第三边的一半，所以DEF的周长为ABC的一半.解答：D、E是BC和CA的中点，DE是ABC的中位线，DE12AB.11同理，DEAC,EFBC.2211DEDFEF(ABACBC)4623cm22DEF的周长为23cm.说明三角形的中位线是连结三角形两边中点的线段，它不同于三角形的中线，要分清楚三角形的中位线和中线的区别和联系那么三角形的中

2、位线定理提供了三角形中的线段的关系，解题时要注意运用这一关系例02如图，已知：在梯形ABCD中，AD/BC，E是AB的中点，EF/DC交BC于F.求证：EF1DC.2分析：已知E是AB的中点，而要证明的结论是EF1DC，由此联想到三角形的中2位线定理，因此设法构造三角形，过A点作AG/CD交BC于G，则利用三角形的中位线定理进行证明.证明：过点A作AG/CD交BC于G，AD/BC，四边形AGCD是平行四边形.AGCDEF/DC,AG/DC，精品设计初中数学EF/AG而E是AB的中点，BFFG（经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边）EF是BGA的中位线，EF12AG，1EFDC2说

3、明当题设或结论中有中点条件或平行线或倍半关系时，往往和中位线有一定联系，所以要处理好相互之间的关系，尝试使用中位线定理，寻找和创造必要的条件例03如图，已知：在梯形ABCD中，AB/CD,ADC90，F为BC的中点，AFC3BAF.求证：CDCF.分析：已知F是梯形ABCD的腰BC的中点，若作出中位线EF，由于EF/AB及EF/CD，所以AFEBAF.由于AB、CD垂直于AD，所以EFAD，从而EF是AD的垂直平分线，所以AFEEFD，从而能推出CFDEFD，而CDFEFD，所以得到CFDCDF，问题就得到解决.证明：过点F作EF/AB，交AD于E，连结FD，则AB/EF/CD.BAFAFE,

4、EFDFDC而EF是中位线，EF垂直平分AD.AFEEFDAFEEFDBAFFDC而AFC3BAFDFCBAFFDCCDCF例04如图，已知：四边形ABCD是梯形，AD/BC，M、N分别为BD，AC的中点.求证：MN1(BCAD)2精品设计初中数学分析：M、N尽管都是线段的中点，但从图中并看不出它是哪个三角形的中位线，因此，要借助于辅助线，从而把MN转化为三角形的中位线，再根据中位线的定理，求出MN和其他的线段之间的关系.证明：连结DN并延长交BC于E.在AND和CNE中，AD/BCDACACB,ADENEC，又ANCN，ANDCNE.ADEC,DNNE又DMBMMN是DBE的中位线，MN12

5、BE而BEBCCEBCAD，1MN(BCAD)2说明学会创造中位线，再利用中位线的性质定理去解决问题，当中点、中位线，中线及平行等条件出现时，要仔细分析，中位线是一条重要的思路例05如图，已知：在四边形ABCD中，AD、BC不平行，E、F分别是AB、CD的中点.求证：EF1(ADBC)2分析：考虑到三角形任意两边之和大于第三边，我们可以把AD、BC或EF转到一个三角形之中，也可能与中点E、F构成相关的中位线，从而达到解题的目的.证明：连结BD，取BD中点为O，连结OE，OF，E为DC中点，O为BD中点，精品设计初中数学OE1BC2同理可证：OF12AD而在OEF中，OEOFEF，11BCADE

6、F221即EF(ADBC)2说明：构造中位线的方法如能恰当使用，能使证题走上捷径.例06如图，等腰梯形ABCD的周长是80cm，如果它的中位线EF与腰长相等，它们的高是12cm.求这个梯形的面积.解答：ABCD,EFAB,EF4EF80cm，即EF20cm12(ADBC)，且ABBCCDDA80cm.S梯形2012240(cm2).S说明本题考查梯形的中位线性质定理及梯形的面积，易错点是忽视用公式梯形中位线高，解题关键是求中位线的长.例07如图，在ABC中，B2C，ADBC于D，M为BC的中点.求证：DM1AB.2证明：取AB的中点N，连结DN，MN.精品设计初中数学ADBC,ANBN，ND1

7、ABBN.2又M是BC的中点，MN/ACDMNCNDBN，BBDN又BDNDMNDNM,B2CCDNMDMNDMDNDM1AB.2说明本题考查了三角形中位线定理的应用，解题关键是取AB的中点N，连结ND，NM，利用三角形中位线定理及等腰三角形的判定证明.例08已知：在ABC中，ABAC，CD是中线，延长AB到E，使BEAB，连结CE.求证：CD1CE.2证法1如图，取CE的中点F，连结BF，则BF是ACE的中位线.BF/12AC.1又BDAB,ABAC，2BFBDBF/AC，2ACBABAC，1ACB12又BCBC，BCDBCFCDCF精品设计初中数学CF12CE，1CDCE2证法2如图，取A

8、C中点F，连结BF，则BF是ACE的中位线.BF12CE1AFADAB,AA,ABAC，2ABFACDBFCD1CDCE2证法3如图，取BC中点G，BE中点F，连结DG，FG.则FGDGBACBABC.DGCFBG11DGACBEBF,GCBG2212CE，DG/AC.DGCFBG.CDFG1CDCE2说明构造和利用中位线是解题关键例09如图，已知梯形ABCD中，AD/BC，对角线AC，BD相交于O，A，B，C，D分别是AO，BO，CO，DO的中点.求证：四边形ABCD是梯形.精品设计初中数学错证：A，B，C，D分别是AO，BO，CO，DO的中点,AD,BC分别是AOD，BOC的中位线.AD/

9、AD,BC/BC.又AD/BC，AD/BC四边形ABCD是梯形.正解：A，B，C，D分别是AO，BO，CO，DO的中点，AD,BC分别是AOD，BOC的中位线.AD/AD/BC,BC/BC.AD/BC同理AB/AB,CD/CD，又四边形ABCD是梯形，AB与DC不平行.AB与DC也不平行.四边形ABCD是梯形.说明错证中没有证明AB与CD不平行.例10如图，ABCD为等腰梯形，AB/CD，对角线AC，BD交于O，且AOB60.又E，F，G分别为DO，AO，BC的中点.求证：EFG为等边三角形.证明：连EC.ADBC，且ACBDDCDCADCBCD，ACDBDCODC为等腰三角形.DOCAOB6

10、0，ODC为等边三角形.又E为OD中点，OEC90精品设计初中数学在RtBEC中，G为斜边的中点，EG1BC2同理连BF.可证FG12BC在OAD中，E，F分别为OD，OA的中点，EF11ADBCEGFG.22EFG为等边三角形.说明辅助线的添加是关键例11如图，C为已知线段AB外一点，以AC，BC为边，分别向ABC的外侧作正方形ACFD和正方形BCGE，不论C点的位置在AB的同侧怎样变化，求证：（1）D，E到AB所在直线的距离之和为定值；（2）线段DE的中点M为定点.证明：（1）作DDAB于D，CCAB于C，EEAB于E.12180DAC，且DAC901290DDAB139023ACADRt

11、ACCRtDADACDD.同理：BCEEEEDDACBCAB（为定值）（2）过M作MNAB于N.DDAB,EEAB,MNAB，DD/MN/EEDMME，DNNEACCDAD，CCADBCCEBECCBE,ADBE精品设计又MN1初中数学DNADNEBEANNB.即N为AB的中点（为定点）1(DDEE)AB（为定值），22M为定点.分析本题综合考查了平行线等分线段定理，梯形中位线定理及全等三角形的判定与性质等，易错点是对定值、定点不理解，解题关键是作如图所示的四条辅助线选择题1顺次连结平行四边形各边中点所得的四边形一定是（）A菱形B矩形C梯形D平行四边形2一个梯形的中位线长为l，两对角线互相垂直

12、，则这梯形的高为（）AlB2lC12lD不能确定其大小3已知三角形的三条中位线分别为3cm,4cm,6cm，则这个三角形的周长是（）A13cmB26cmC24cmD6.5cm4若等腰梯形两底角为30，腰长为8cm，高和上底相等，那么梯形中位线长为（）A83cmB10cmC(434)cmD163cm5（北京市昌平区，2001）如果梯形一底长为6，中位线长为8，那么另一底长为（）A14B10C8D4（6南通市，2001）如果，梯形ABCD中，AD/BC，EF是中位线，ADa，EFb，则BC的长是（）A12(ab)B2abC2baDab7（威海市，2001）下面有三种说法：任意四边形两组对边中点的连

13、线互相平分任意三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分梯形的两条对角线可能互相平分正确的是ABCD参考答案：1D2A3B4C5B6C7B选择题精品设计初中数学1顺次连结等腰梯形四边中点所组成的四边形是（）A矩形B梯形C菱形D正方形2（北京市东城区，2001）如图，DE是ABC的中位线，F是DE的中点，BF的延长线交AC于点H，则AH:HE等于（）A1:1B2:1C1:2D3:23（荆州市，2002）如图，在梯形ABCD中，AD/BC，ADBCDE，且BD:DE2:1，则BDE的面积与DEC的面积比为（）A2:1B5:2C3:1D4:14（呼和浩特市，2002）梯形的中位线长为12cm，一条对

14、角线把中位线分成1:2两部分，则梯形的两底分别为（）A4cm和8cmB9cm和15cmC10cm和14cmD8cm和16cm5（陕西省，2002）如图，在ABC中，D，E，F分别是边AB，BC，AC的中点，若ABC的周长为20cm，则DEF的周长为（）A15cmB12cmC10cmD5cm6（北京市西城区，2002）斜拉桥是利用一组组钢索，把桥面重力传递到耸立在两侧.的高塔上的桥梁，它不须建造桥墩如图中，AB，AB，AB是斜拉桥上5条互相212155平行的钢索，并且B，B，B，B，B，B被均匀地固定在桥上.如果最长的钢索123444AB80m，最短的钢索AB20m，那么钢索AB，AB的长分别为

15、（）11553333精品设计初中数学又EH1A50m、65mB50m、35mC50m、57.5mD40m、42.5m参考答案：1解：如图，连结AC，BD.ABCD是等腰梯形，ACBD.EF，HG，EH，FG是三角形中位线，EF/AC,HG/AC,EH/BD,FG/BD.EF/GH,FG/EH.四边形EFGH是平行四边形.1BD，EFAC.EFEH22EFGH是菱形，故应选C.2B3C4D5C6A填空题1（山东省菏泽地区，2001）直角梯形的一条对角线将它分成两个三角形，其中一个是等边三角形，如果它的中位线长为3a，那么它的下底长是_.42（泉州市，2001）已知梯形上、下底长分别为3和5，则中

16、位线长为_.3（北京市石景山区，2001）如果梯形的上底长与下底长的比为1:2，中位线的长为24，那么梯形的下底长为_.4（江西省，2001）如图，等腰梯形ABCD中，AD/BC，B45，AEBC于点E，AEAD2cm，则这个梯形的中位线长为_cm.5（龙岩市、宁德市，2001）如图，EF是ABC的中位线，BD平分ABC交EF于D，若DE2，则EB_.精品设计初中数学6（北京市石景山区，2002）如图，在梯形ABCD中，AD/BC，中位线EF交对角线BD于点O，EF12，且EO:OF1:2，则BC_.7（青海省，2002）等腰梯形中，已知一个底角是45，高为h，中位线长为m，则梯形的上底长是_

17、.（8绍兴市，2002）如图，梯形ABCD中，AD/BC，DRt，BCCD12，ABE45，点E在DC上，AE、BC的延长线相交于点F.若AE10，则SADESCEF的值是_.（9天津市，2002）如图，梯形ABCD中，AD/BC，对角线ACBD，且AC5cm，BD12cm，则该梯形的中位线的长等于_cm.的中位线长为_，若EF/AB，且DE10（徐州市，2002）如图，在梯形ABCD中，AB/CD,AB3,CD1，则该梯形1，则EF的长为_.EA311（安徽省，2002）如图，在ABC中，BCa，B，B，B，B是AB边的五1234精品设计初中数学等分点，C，C，C，C是AC边的五等分点，则B

18、DBCBCBC_.12341122334412（江西省，2002）如图，要测量A，B两点间距离，在O点设桩，取OA中点C，OB中点D，测得CD31.4米，则AB_米.13（湖州市，2001）如图，已知直角梯形ABCD的中位线EF的长为a，垂直于底的腰AB的长为b，则CED的面积等于_.14参考答案：1a2433244526167mh830，4896.5102，32112a1262.81312ab解答题1如图，等腰梯形ABCD中，AD/BC，中位线EF交AC于G，且AC平分BCD，EGa，GFb.求梯形ABCD的周长.精品设计初中数学2如图，在梯形ABCD中，AD/BC,BC3AD，E，F分别是

19、对角线AC，BD的中点.求证：四边形ADEF是平行四边形.（3哈尔滨市，2002）如图，已知MN是梯形ABCD的中位线，AC，BD与MN交于F，E，AD30cm,BC40cm，求EF的长.C4已知：如图，ABC中，是DB上一点，BAC90，CAD45，且BCCD.求证：AB2AC5已知：如图，ABC中，AD为中线，过B的直线交AD于F，交AC于E，且AEEF.求证：BFAC.E6已知：如图，ABC中，是BC的中点，D是CA的延长线上的一点，ADDE交AB于F.求证：DFFE.12AC，7（泰州市，2001）求证：三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分（如图）精品设计初中数学8如图，梯形AB

20、CD中，AD/BC，BCD的平分线CE交AB的中点E.求证：CDADBC.9如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD交于O，已知ACBD，M，N分别是AD，BC中点，MN与AC，BD分别相交于E，F.求证：OEOF.，10如图，ABC和形外直线l中线AD延长线交l于D，AAl，BBl，CCl，A，B，C为垂足.ADDD，求证：AABBCC.11如图，ABC中，BM，CN平分ABC，ACB的外角，AMBM于M，ANCN于N.求证：MN1(ABACBC).212（黄冈市，2002）如图，在梯形ABCD中，AD/BC,ABDC,BDDC，且精品设计初中数学BD平分ABC，若梯形的周长为20cm，求此梯形的中位线长.213（济南市，2001）如图，ABC中，BCa.若D，E分别是AB，AC的中点，11则DE1a；11若D，E分别是DB、EC的中点，则DE2211121a3(a)a；224248137若D，E分别是DB、DB的中点，则DE(aa)a；232233若D，E分别是Dnnn1B、EC的中点，则DE_（n1，且n为整数）n1nn14（绍兴市，2002）如图，某斜拉桥的一组钢索a,b,c,