三大变换之旋转(从全等到相似)

1、 五、从全等到相似在手拉手模型中，我们可以看成是两个相似的等腰三角形作共点旋转，由等腰条件可得一组全等三角形E若ABC与AADE非等腰，则可得到旋转型相似，取直角三角形为例.如图，RtABCsRtADE，连接BD、CE,可得：ADBsAEC,（利用两边对应成比例且夹角相等）且旋转的性质，旋转角都相等依然成立，如下右图，ZBAD=ZEAC=ZEFB.BCC旋转全等】(2019枣庄)在AABC中，ABAC=90。,AB=AC,AD丄BC于点D.如图1,点M,N分别在AD,AB上,且ZBMN=90。,当ZAMN=30。,AB=2时,求线段AM的长；如图2,点E,F分别在AB,AC上，且ZEDF=90

2、。，求证：BE=AF；如图3，点M在AD的延长线上，点N在AC上,且ZBMN=90。,求证：AB+AN=2AM.A图1AAC分析】(1)VZAMN=30,AZBMD=60,故AM的值为运虽.3(2)易证BDE竺ADF,：.BE=AF.(3)如图，作MQ丄MA交AB延长线于点Q,C易证MAN竺MQB,AN=BQ,AB+ANAB+BQAQ-込AM,AB+AN2AM.【从全等到相似】(2019鞍山)在RtAABC中，ZACB=90。,D是AABC内一点，连接AD,BD.在BD左侧作RtABDE，使ZBDE=90。，以AD和DE为邻边作口ADEF,连接CD,DF.若AC=BC，BD=DE.如图1,当B

3、，D，F三点共线时，CD与DF之间的数量关系为.如图2,当B，D，F三点不共线时，中的结论是否仍然成立？请说明理由.(2)若BC=2AC，BD=2DE，CD=4，且E，C，F三点共线,备用图分析】(1)DF=“CD.由“8字”模型易证：ZCBD=ZCAF,连接CF,易证CDBCFA，ACD=CF，且ZDCF=ZBCA=90，DFr2CD.成立，类似还是证明厶CDBCFA，而其中关键性条件/CBD=/CAF与B、D、F共线与否比并无关系.BD与DE是垂直关系,又AFDE,：、BD丄AF.如下图，延长BD与AF交于点P,则ZP=90,由“8字”模型可证：/CBD=/CAF.易证CDBCFA,：DF

4、=2CD.(3)参考(2),延长BD与AF交于点P,则BD丄AF,A由“8字”模型可得：ZCBD=ZCAF,又BC=2AC,BD=2DE=2AF,：CDBsacFA,.：CD=2CF.CD4-二不妨设4仏则AC=5k，：AD=EF=3k,CF二1CD二2k，.:CE=k,2:.AF=DE=：k2+（4k）2=-J17k,【旋转相似】（2019襄阳）如图，两个大小不同的三角板放在同一平面内，直角顶点重合于点C,点D在AB上,ABAC=ZDEC=30。，AC与DE交于点F，连接AE，若BD=1，AD=5，则CF_EF_E分析】ZCAE=ZCBD,易证CBDsCAE,且BD_CB_2,AE_3,AE

5、CA运.ZBAE=ZBAC+ZCAE=ZBAC+ZCBD=90,DE_、52+丿_阪_2y7,CD_、7,CE_、2T,又ZCAF=ZCBD=ZCDE=60,:、CFDsUFA,.空_CD旦_亘，故CF的值为亘.EFAE3EF3【旋转相似】(2019东营)如图1,在RtAABC中，ZB=90。,AB=4,BC=2，点D、E分别是边BC、AC的中点，连接DE.将ACDE绕点C逆时针方向旋转，记旋转角为a.(1)问题发现当a=0。时，些=；当a=180。时，竺=.BDBD(2)拓展探究试判断：当0%a360。时，竺的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明.BD(3)问题解决ACDE绕点C逆时针旋转

6、至A、B、E三点在同一条直线上时，求线段BD的长.分析】后，真.AECA一(2)不变，易证ACDBsCEA,.：=、：5.BDCBBA(3)当点E在线段AB上时，如下图所示:易证CDBscea,BDCB1二=-，AECAv5JCE=*5，BC=2,：BE=1,：AE=3,BD=335当点E在AB延长线上时,易证四边形BCDE是矩形，:.BD=CE=W.35-综上所述，bd的长为g或斗5.5【旋转相似】(2019宿迁)如图，在钝角AABC中，ZABC=30。,AC=4，点D为边AB中点，点E为边BC中点，将ABDE绕点B逆时针方向旋转a度(05W180).如图，当0a180时，连接AD、CE.求

7、证：ABDAABEC；如图，直线CE、AD交于点G.在旋转过程中，ZAGC的大小是否发生变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出这个角的度数；将ABDE从图位置绕点B逆时针方向旋转180。，求点G的运动路程.图1图3分析】11（1）TD、E分别是BA、BC中点，BD二BA,BE二BC,22将ASDE旋转a可得ZDBA=ZEBC=a,:.BDAsBEC.2）不变由（1）得ASDAsBEC,ZBAD=ZBCE,由“8字”模型可得：ZG=ZABC=30.(旋转任意均有ABEDsABCA,且旋转角为30，故CE与AD夹角始终为30)(3)ZG所对的边AC为定边，定边对定角，故G点轨迹是个圆弧.以AC为

8、边构造等边AAOC，点O即为圆心，又AC=4，故圆O半径为4.通过起点和终点来确定轨迹，如下图：DOCBG点从B点出发，当BD丄BC时，弧BG最长，当旋转180时，G点返回B点,故点G的轨迹是弧BG长的2倍.易证弧BG所对圆心角为60,BG=2兀4-60=-兀，3603G点轨迹长为8兀.3【旋转相似】(2019河南)在AABC中，CA=CB,ZACB=a.点P是平面内不与点A,C重合的任意一点.连接AP，将线段AP绕点P逆时针旋转a得到线段DP，连接AD,BD,CP.(1)观察猜想如图1,当a=60。时，竺的值是_，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数.CP(2)类比探究如图2,当a=90

9、。时，请写出BD的值及直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数，并CP就图2的情形说明理由.3)解决问题当a=90。时，若点E，F分别是CA，CB的中点，点P在直线EF上，请直接写出点C，P，D在同一直线上时型的值.CPBCBB分析】BD(1)易证AAPC今ADB,BD=CP,=1.CP根据“旋转角都相等”可得直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是60，可用“8字”模型证明：如下图，记BD与CP交于点Q可得ZQ=ZCAB=60.2)B易证ADBsSC,.：CP=込迈.APBD与CP所成的较小角是45，如图所示，依然可用“8字”模型证明.AD3)如下图，P、D、C共线，APC是直角三角形，求

10、AD的值，但AD与CP并无位置CP关系，故可转化比例，考虑到AD=2PD,可转化为求竺的值.PCAB情况一：过点P作MN丄AB交BA延长线于点N,过点C作CM丄MN交MN于点M.ANPN不妨设AN=x，PN=y，易证5,-二-代入得：化简得：x2+2xy=y2，解得：=yv2+1APAN1考虑到点P是MN中点，易证ANPsMPC,；.=PCNPV2+1CD=壬=2朋情况二：如下图所示，同上可求，C=2+1,CP=2応.综上所述，CP的值为2込或2+远（2018济南）在AABC中，AB=AC,ABAC=120。，以CA为边在ZACB的另一侧作ZACM=ZACB,点D为射线BC上任意一点，在射线C

11、M上截取CE=BD,连接AD、DE、AE（1）如图1,当点D落在线段BC的延长线上时，直接写出AADE的度数；（2）如图2,当点D落在线段BC（不含边界）上时，AC与DE交于点F，请问（1）中的结论是否仍成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；（3）在（2）的条件下，若AB=6，求CF的最大值.分析】(1)易证AABD竺ACE,：ZBAD=ZCAE,AD=AE，Z.ZBAD-ZCAD=ZCAE-ZCAD，即ZBAC=/DAE,ABCsAaDE,ZADE=ZABC=30.2)成立易证ABDACE，易证ABCsADE,ZADE=ZABC=30.3)求CF最大值，等价于求AF最小值.、：ZADF=ZACD,：、AFDsADC,AFAD：一=一，即AD2=AF-AC,ADACAD2.AC=AB=6,：AF二一63显然当AD丄BC时，AD取到最小值3,此时AF二,2639：CF=6=22故CF的最大值为【瓜豆原理-路径长】6.（2019济南）小圆同学对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了拓展探究.（一）猜测探究在AABC中，AB=AC，M是平面内任意一点，将线段AM绕点A按顺时针方向旋转与ZBAC相等的角度，得到线段AN，连接NB.（1）如图1,若M是线段BC上的任意一点，请直接写出ZNAB与ZMAC的数量关系是，NB与MC的数量关系是；（2