时间序列分析方法 第13章 Kalman滤波

1、时间序列分析方法讲义 第13章 卡尔曼滤波PAGE PAGE 8第十三章 卡尔曼滤波在本章中，我们介绍一种被称为卡尔曼滤波的十分有用的工具。卡尔曼滤波的基本思想是将动态系统表示成为一种称为状态空间表示的特殊情形。卡尔曼滤波是对系统线性投影进行序列更新的算法。除了一般的优点以外，这种算法对计算确切的有限样本预测、计算Gauss ARMA模型的确切似然函数、估计具有时变参数的自回归模型等，都提供了重要方法。13.1 动态系统的状态空间表示我们已经介绍过一些随机过程的动态表示方法，下面我们在以前的假设基础上，继续分析动态系统的表示方法。13.11.1 继续续使用的的假设假设表示示时刻观观测到的的n维

2、随机机向量，一类非非常丰富富的描述述动态性性的模型型可以利利用一些些可能无无法观测测的被称称为状态态向量(staate vecctorr)的rr维向量量表示，因此表表示动态态性的状状态空间间表示(staate-spaace reppressenttatiion)由下列列方程系系统给出出：状态方方程(sstatte mmodeel)(13.1)量测测方程(obsservvatiion moddel) (133.2)这里，和和分别是是阶数为为，和的参数数矩阵，是的外生生或者前前定变量量。方程程(133.1)被称为为状态方方程(sstatte mmodeel)，方程(13.2)被被称为量量测方程程(

3、obbserrvattionn moodell)，维维向量和和维向量量都是向向量白噪噪声，满满足：(13.3)(13.4)这里和是是和阶矩阵阵。假设设扰动项项和对于所所有阶滞滞后都是是不相关关的，即即对所有有和，有： (133.5)是外生或或者前定定变量的的假定意意味着，在除了了包含在在内的信信息以外外，没有有为和()提供供任何新新的信息息。例如如，可以以包括的的滞后值值，也可可以包括括与和(任意意)不相相关的变变量。方程系统统中方程程(133.1)至方程程(133.5)可以表表示有限限观测值值的序列列，这时时需要状状态向量量初始值值。假设设与和的任何何实现都都不相关关：，对任意意(13.6)

4、，对任意意(13.7)状态方程程(133.1)表明，可以表表示成为为的线性性函数：，(13.8)因此，方方程(113.66)和方方程(113.33)意味味着与所所有的滞滞后值都都是不相相关的：， (113.99)类似地，可以得得到：，(133.100)，(13.11)， (133.122)上述系统统是相当当灵活的的，它的的一些结结论也可可以推广广到与相关的的系统中中，而且且系数矩矩阵也可可以是时时间的函函数。如果我我们仅仅仅关注到到上述系系统的基基本形式式，则下下面的论论述将是是十分清清晰的。13.11.2状态空空间表示示的例子子考虑一元元过程：这个过程程可以表表示成为为下面的的状态空空间模型

5、型形式：状态方程程() (113.113)量测方程程： (113.114)对应地，我们指指定：，这里变量量和参数数矩阵对对应为：，注意到这这里的状状态方程程只是一一个一阶阶向量自自回归方方程，量量测方程程只是一一个简单单的等式式。因此此，我们们已经看看到，状状态空间间表示只只是总结结过程的的另外一一种方式式。将过程程表示成成为这种种方式的的原因在在于，这这样可以以获得归归纳过程程动态性性的合适适方式，这是我我们对任任何系统统状态空空间表示示感兴趣趣的基本本原因。另外一个个例子是是，我们们考虑一一元过程程：对应地，它可以以表示成成为状态态空间模模型形式式为：状态方程程()：量测方程程()：这里：

6、，将给定系系统表示示成为状状态方程程的方式式有多种种。例如如，可以以将过程程表示成成为下面面类型的的状态空空间模型型：状态方程程()：量测方程程()：显然上面面的过程程、两种种状态空空间模型型表示都都是具有有相同特特征的过过程表示示，这三三种表示示都具有有相同的的预测和和相同的的似然函函数值，也就无无须讨论论哪一种种方式更更为合适适。更一般地地，一元元模型可可以通过过定义进进行状态态空间模模型表示示： (133.155)这里的参参数约束束是：当当时，；当当时，。考虑下列列状态空空间模型型表示为为：状态方程程()：(13.16)量测方程程()： (133.155)为了验证证方程(13.16)和方

7、方程(113.117)表示示了系统统与方程程(133.155)一致致，假设设表示向向量的第第j个元素素，因此此状态方方程的第第2行表表示：第3行表表明：更一般地地，第j行表示示：因此状态态方程的的第1行行意味着着：或者： (113.118)量测方程程表明： (113.119)在方程(13.19)两端端乘以算算子多项项式，并并利用方方程(113.118)，可可以得到到：这就是原原来的模模型，即即方程(133.155)。状态空间间形式是是描述随随机过程程的和，或者测测量误差差结果的的模型的的非常合合适的方方式。例例如，FFamaa和Gibbbonns(19882)开开始着手手研究事事前实际际利率(

8、ex antte rreall innterrestt raate )行为为 (事事前实际际利率是是名义利利率减去去预期通通货膨胀胀率)。由于经经济计量量学家通通过证券券市场推推断的预预期通货货膨胀率率的数据据，因此此这个变变量不是是可以观观测的。因此在在这种应应用中状状态变量量是一个个标量，即：，这里表表示平均均事前实实际利率率。Faama和和Gibbbonns(19882)假假设事前前实际利利率服从从过程： (133.200)经济计量量学家可可以观测测到事后后实际利利率(名名义利率率减去真真实通货货膨胀率率)，这可可以表示示为： (133.21)这里是人人们预测测通货膨膨胀率时时的误差差。

9、如果果人们以以最优的的方式形形成通货货膨胀率率预测，则与自自身的滞滞后值和和事前实实际利率率是无关关的。因因此方程程(133.200)和方方程(113.221)是是状态空空间模型型，这里里，。状态空间间模型框框架的另另外一个个有趣例例子是SStocck和WWastton (19991)的研究究，他们们假设存存在表示示经济周周期状态态的不可可观测变变量。假假设是个可以以观测的的宏观经经济变量量，每个个都受到到经济周周期的影影响，并并且具有有与中移移动不相相关的奇奇异成分分(表示示为)。如果经经济周期期和每个个奇异成成分可以以利用一一元过程程描述，则维状状态向量量是： (113.222)该状态变变

10、量具有有的状态态方程为为： (133.233)量测方程程为：(13.24)因此，参参数描述述第i个序列列对经济济周期反反应的敏敏感性。为了出出现和描描述p阶动态态性，SStocck和WWastton (19991)将方程程(133.222)中的的和替换为为阶向量量和，这时时是维向量量。这时时方程(13.23)中的的标量需需要利用用阶矩阵替替换，该该矩阵结结构与方方程(113.113)类类似。还还需要在在量测方方程(113.224)中中的列中中加入阶阶数为的的零子块块。13.2 卡尔曼滤波的的推导卡尔曼滤滤波是估估计状态态空间模模型的重重要方法法，也是是应用广广泛的参参数估计计方法。下面我我们介

11、绍绍卡尔曼曼滤波的的有关公公式。13.22.1卡尔曼曼滤波的的回顾 Oveerviiew of thee Kaalmaan FFiltter考虑上述述讨论的的状态空空间模型型的一般般形式，为了方方便，我我们将使使用的一一些关键键方程在在这里重重复表示示如下：，假设我们们已经得得到了观观测值，；一个个最终目目标是基基于这些些观测值值估计系系统的所所有未知知参数。但是，目前我我们暂时时假设参参数矩阵阵的特定定数值都都是确定定性已知知的。如如何估计计这些参参数在后后面的内内容中讨讨论。卡尔曼滤滤波具有有多种应应用。它它的基本本动因是是作为一一种计算算状态向向量基于于时刻tt观测到到的数据据进行最最小

12、二乘乘预测的的算法。 (133.255)这里：这里表示示基于和常常数的线线性投影影。卡尔尔曼滤波波是采用用叠代算算法计算算这些预预测的，按顺序序分别产产生，。与这这些预测测有关的的是均方方误差矩矩阵，可可以由一一个阶矩矩阵表示示： (133.266)13.22.2叠代代的开始始叠代首先先从开始始，表示示在没有有和观测值值的基础础上对的的预测。这就是是的无条条件均值值：与此相关关的MSSE为：例如，对对系统的的状态空空间表示示，状态态向量为为：这时有：，更一般地地，如果果矩阵的的特征根根都落在在单位圆圆内，则则状态方方程表示示的过程程是协方方差平稳稳的。因因此，对对状态方方程两端端取无条条件数学

13、学期望，可以得得到：由于过程程是协方方差平稳稳的，则则有：由于矩阵阵没有单单位根，因此矩矩阵是非非奇异的的，因此此这个方方程存在在唯一零零解，也也就是有有：。则则的无条条件方差差也可以以类似地地得到，取矩阵阵的转置置并取数数学期望望，可以以得到(由于存存在正交交性，下下面的交交叉项的的数学期期望为零零)：假设矩阵阵表示的协协方差矩矩阵，则则有：这个方程程的解可可以表示示为：因此，一一般情况况下，如如果矩阵阵的特征征根都落落在单位位圆内，因此卡卡尔曼滤滤波的叠叠代可以以从和开始，这里的的表示成成为列向向量可以以从下式式得到：如果矩阵阵的部分分特征根根落在单单位圆上上或者单单位圆外外，或者者无法从

14、从状态方方程中获获得，这这时可以以利用分分析者对对初始的的最优猜猜测来替替代，而而是归纳纳这种预预测置信信区间的的正定矩矩阵。中中对角线线上比较较大的数数值对应应着对真真实取值值较高的的非确定定性。13.22.3预测测给定开始始的初值值和，下一一步是计计算下一一个时期期类似的的数量和和。由于于计算对对都具有有相同的的形式，因此我我们讨论论在时刻刻t的一般般形式。给定和和，目的的是计算算和。首先，我我们需要要注意到到，我们们假设除除了包含含在内的的信息以以外，不不再包含含关于的的信息，因此有有：下面我们们考虑对对的预测测：注意到根根据状态态方程，可以得得到：因此，根根据投影影的叠代代定律，有：这

15、个预测测的误差差为：因此预测测的MSSE为：由于，因因此上式式中交叉叉项为零零。这个个正交条条件需要要根据假假设和投投影性质质加以验验证。这这时可以以将MSSE表示示为：13.22.4关于于推断的的更新给定开始始的初值值和，下一一步是计计算下一一个时期期类似的的数量和和。由于于计算对对13.22.5产生生的预测测给定开始始的初值值和，下一一步是计计算下一一个时期期类似的的数量和和。由于于计算对对13.22.6归纳纳和注释释给定开始始的初值值和，下一一步是计计算下一一个时期期类似的的数量和和。由于于计算对对13.3基于状状态空间间表示的的预测 Fooreccastts BBaseed oon tthe Staate-Spaace Reppressenttatiion13.4参数的的极大似似然估计计 MMaxiimumm Liikellihoood Esttimaatioon oof PParaametterss13.5稳态卡卡尔曼滤滤波 Thee Stteaddy-SStatte KKalmman Fillterr13.55.1卡尔尔曼