高中数学选择性必修一 1. 空间向量及其运算的坐标表示（精练）(含答案)

1、1.3 空间向量及其运算的坐标表示(精练)【题组一 空间向量坐标运算】1(2021全国高二课时练习)已知，求：(1)； (2)【答案】(1)9，(2)【解析】1)因为，所以，因为，所以，(2)因为，所以2(2021全国高二课时练习)已知，求：(1)； (2)； (3)； (4)，【答案】(1)，(2)，(3)，(4).【解析】因为，(1)所以，(2)(3)(4)3(2021全国高二课时练习)已知，求，【答案】； .【解析】； .4(2021江苏)(多选)已知向量，下列等式中正确的是( )ABCD【答案】BCD【解析】由题，所以不相等，所以A选项错误；，所以，所以B选项正确；，所以C选项正确；，

2、即，所以D选项正确.故选：BCD5(2021全国高二课时练习)在空间直角坐标系中，点P(2，1，4)(1)求点P关于x轴的对称点的坐标；(2)求点P关于xOy平面的对称点的坐标；(3)求点P关于点M(2，1，4)的对称点的坐标【答案】(1)(2，1，4)；(2)(2，1，4)；(3)(6，3，12)【解析】(1)由于点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y轴、z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P1(2，1，4)(2)由于点P关于xOy平面对称后，它在x轴、y轴的分量不变，在z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P2(2，1，4)(3)设对称点为P3(x，y，z)，则点M为线段PP3

3、的中点由中点坐标公式，可得x22(2)6，y2(1)13，z2(4)412，所以P3(6，3，12)6(2021全国高二课时练习)如图，在长方体中，为棱的中点，分别以所在的直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系(1)求点的坐标；(2)求点的坐标【答案】(1)，；(2).【解析】(1)为坐标原点，则，点在轴的正半轴上，且，同理可得：，点在坐标平面内，同理可得：，与的坐标相比，点的坐标中只有坐标不同，综上所述：，.(2)由(1)知：，则的中点为，即.【题组二 空间向量中数量积的坐标运算】1(2021浙江)与向量共线的单位向量是( )ABC和D和【答案】D【解析】，且，故与向量共线的单位向量是或，故选

4、：D2(2021台州市书生中学高二开学考试)已知向量，以为邻边的平行四边形的面积ABC4D8【答案】A【解析】由题意，则，所以平行四边形的面积为，故选A.3(2020全国高二课时练习)(多选)已知，且，则( )AxBxCyDy4【答案】BD【解析】因为所以，因为 ，所以3(12x)4(2x)且3(4y)4(2y2)，所以x，y4故选：BD4(2020全国高二课时练习)若(4，6，1)，(4，3，2)，且，则_【答案】或【解析】解：设(x，y，z)，由题意有，解得或故答案为：或5(2021全国高二课时练习)已知点，点在直线上运动，当取得最小值时，点的坐标为_.【答案】【解析】根据题意，点在直线上

5、运动，1，；设，当时，取得最小值此时点的坐标是，故答案为：6(2021陕西宝鸡市)在空间直角坐标系中，已知，点分别在轴，轴上，且，那么的最小值是_.【答案】【解析】设，0，0，1，-，即，(当时取最小值)故答案为：7(2021山东泰安市高二期末)已知，且与的夹角为钝角，则实数k的取值范围为_【答案】【解析】由，所以，解得 若与反向，则则，所以 所以与的夹角为钝角则且综上的范围是故答案为：8(2021甘肃庆阳市高二期末(理)已知， ，若，则_【答案】【解析】因为，所以， 又所以所以，解得或因为，所以，所以，故答案为：9(2021江苏无锡市高二期末)已知空间向量，若，则_.【答案】【解析】因为，且

6、所以存在，使得，所以即解得所以故答案为：10(2021全国高二课时练习)在空间直角坐标系中，若三点A(1，-1，a)，B(2，a，0)，C(1，a，-2)满足：，则实数a的值为_.【答案】【解析】由题意，所以，解得.故答案为：11(2021浙江高二单元测试)已知，且与夹角为钝角，则x的取值范围为_【答案】【解析】由题可知，即，解得且故答案为：12(2021广东肇庆市高二期末)从，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，求异面直线与所成角的余弦值.问题：如图，在长方体中，以D为原点建立空间直角坐标系，已知，_.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答记分.【答案】条件选择见解析；值为：.【解

7、析】选.，即.，异面直线与所成角的余弦值为.选.设，其中，从而，.，由于，所以.，异面直线与所成角的余弦值为.选.，.解法同.13(2021江苏高二)已知空间三点.(1)若点在直线上，且，求点的坐标；(2)求以为邻边的平行四边形的面积.【答案】(1)；(2).【解析】(1)，点在直线上，设，.(2)，所以以为邻边得平行四边形的面积为.14(2021铅山县第一中学高二开学考试(理)已知向量，.(1)若，求实数；(2)若向量与所成角为锐角，求实数的范围.【答案】(1)；(2)且.【解析】(1)由已知可得，因为，所以，可得. (2)由(1)知，因为向量与所成角为锐角，所以，解得， 又当时，可得实数的

8、范围为且.【点睛】15(2021浙江高二单元测试)已知点，(1)若D为线段的中点，求线段的长；(2)若，且，求a的值，并求此时向量与夹角的余弦值【答案】(1)；(2)【解析】(1)由题意，点，且点D为线段的中点，可得，则，所以，即线段的长为(2)由点，则，所以，解得，所以，则，即向量与夹角的余弦值为16(2021浙江高二单元测试)如图，建立空间直角坐标系.单位正方体顶点A位于坐标原点，其中点，点，点.(1)若点E是棱的中点，点F是棱的中点，点G是侧面的中心，则分别求出向量，.的坐标；(2)在(1)的条件下，分别求出；的值.【答案】(1)；(2)；.【解析】(1)因为点E是棱的中点，点F是棱的中

9、点，点G是侧面的中心，可得，所以；(2)由(1)可得；又由，所以.16(2021浙江高二单元测试)已知空间三点A(0,2,3)，B(2,1,6)，C(1，1,5)(1)若，且分别与，垂直，求向量的坐标；(2)若，且，求点P的坐标【答案】(1)或；(2)或【解析】(1)=(2，1，3)，=(1，3，2)设=(x，y，z)，|=，且分别与、垂直，解得，或=(1，1，1)，(1，1，1)(2)因为，所以可设因为(3，2，1)，所以(3，2，)又因为，所以，解得2.所以(6，4，2)或(6,4,2)设点P的坐标为(x，y，z)，则(x，y2，z3)所以或解得或故所求点P的坐标为(6，2,1)或(6,6

10、,5)【题组三 建立空间坐标系】1(2021浙江)在三棱锥中，三条侧棱，两两垂直，且的面积为，则的长为_.【答案】2【解析】依题意建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，所以，所以，即，所以，解得故答案为：2(2021安徽省安庆九一六学校高二开学考试(理)如图，将边长为1的正方形沿对角线折成直二面角，若点满足，则的值为()AB2CD【答案】A【解析】记正方形的对角线交于点，连接，所以，因为二面角为直二面角，且，平面平面，所以平面，建立空间直角坐标系如下图所示：所以，所以，因为，所以，所以，故选：A.3(2021四川资阳市高二期末(文)如图，棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为正方体

11、表面BCC1B1上的一个动点，E，F分别为BD1的三等分点，则的最小值为( )ABCD【答案】D【解析】过F作F关于平面的对称点，连接交平面于点.可以证明此时的使得最小：任取(不含)，此时.在点D处建立如图所示空间直角坐标系，则，因为E，F分别为BD1的三等分点，所以,又点F距平面的距离为1，所以,的最小值为.故选：D4(2021全国高二课时练习)设，向量且，则( )ABC3D4【答案】C【解析】因为，所以存在使得，所以，解得，所以，因为，所以，得，所以，所以，所以.故选：C5(2021全国高二课时练习)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1的底面ABC中，CACB1，BCA90，棱AA12，M，

12、N分别为A1B1，A1A的中点，试建立恰当的坐标系求向量，的坐标【答案】(1，1，1)，(1，1，2)，(1，1，2)【解析】由题意知CC1AC，CC1BC，ACBC，以点C为原点，分别以CA，CB，CC1的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系Cxyz，如图所示则B(0，1，0)，A(1，0，0)，A1(1，0，2)，N(1，0，1)，(1，1，1)，(1，1，2)，(1，1，2)6(2021全国高二课时练习)如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，CACB1，BCA90，棱AA12，M，N分别为A1B1，A1A的中点(1)求BN的长；(2)求A1B与B1C所成角的余弦值；【答案】(1)；(2).【解析】(1)如图所示，建立空间直角坐标系Cxyz.依题意得B(0，1，0)，N(1，0，1)，|，线段BN的长为.(2)依题意得A1(1，0，2)，C(0，0，0)，B1(0，1，2)，(1，1，2)，(0，1，2)，10(1)1223.又|，|.cos.故A1B与B1C所成角的余弦值为.7(2021全国高二课时练习)如图，在正方体中，M，N分别为棱和的中点，求CM和所成角的余弦值【答案】【解析】以D为原点，为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系，不妨设正方体边长为2，则所以,设CM和