高中数学选择性必修一 3.1.1椭圆及其标准方程

1、情景引入问题2 如果改变圆锥的轴与截平面所成的角,那么会得到怎样的曲线呢?问题1 用一个垂直于圆锥的轴的平面截圆锥,截口曲线(截面与圆锥侧面的交线)是一个什么图形？答案：如图,用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥,当圆锥的轴与截面所成的角不同时,可以得到不同的截口曲线,答案：截口曲线是一个圆.我们通常把椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线( conic sections).它们分别是抛物线、椭圆和双曲线.圆锥曲线与科研、生产以及人类生活有着紧密的关系. 第三章 圆锥曲线的方程 行星绕太阳运行的轨道 3.1.1 椭圆及其标准方程 生活中的椭圆 如何精确地设计、制作、建造出现实生活中这些椭圆形的物件呢

2、？情景引入1 什么是圆？2 取一条定长的细绳，把它的两端固定在平面内的同一点F上，用铅笔尖把绳子拉紧，使笔尖在平面内慢慢移动，问笔尖画出的图形是什么？3 若将细绳两端分开，并且固定在平面内的F1，F2两点.当长绳长大于F1和F2的距离时，用铅笔尖把绳子拉紧，使笔尖在平面内慢慢移动，问笔尖画出的图形又是什么呢？合作探究答案：平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆.答案：平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆. 椭圆的定义 我们把平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数（大于 |F1F2| ）的点的轨迹叫做椭圆. 这两个定点F1、F2叫做椭圆的焦点.两个焦点的距离叫做焦距.注意:椭圆定义中

3、容易遗漏的地方： （1）两个定点间的距离- | F1F2 |=2c （2）与两个定点F1,F2的距离的和等于常数-| MF1 |+|M F2 |=2a （3）2a2c2cMF1F2解惑提高 焦距的一半称为半焦距. 我们把平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数（大于 |F1F2| ）的点的轨迹叫做椭圆.| F1F2 |=2c , | MF1 |+|M F2 |=2a2a2c2a=2c2a0)， M与F1和F2的距离的和等于正常数2a (2a2c) ，则F1、F2的坐标分别是(c,0)、(c,0) .xF1F2M0y建构数学（问题：下面怎样化简？）由椭圆的定义得，限制条件：代入坐标1)椭圆的

4、标准方程的推导合作探究整理得两边再平方，得移项后平方得两边除以简洁、美观、对称、和谐总体印象：对称、简洁，“像”直线方程的截距式焦点在y轴：焦点在x轴：椭圆的标准方程1oFyx2FM12yoFFMx解惑提高1建系设点2列等式3等式坐标化4化简5证明求椭圆的方程方法坐标法解惑提高 图 形方 程焦 点F1(-c,0)，F2(c,0)a,b,c之间的关系a2=b2+c2| MF1 | + | MF2 | =2a (2a2c0)定 义12yoFFMx1oFyx2FM两类标准方程的对照表F1(0,-c)，F2(0,c)解惑提高共同点：椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上，中心在坐标原点的椭圆；方程的

5、左边是平方和，右边是1.不同点：焦点在x轴的椭圆 项分母较大. 焦点在y轴的椭圆 项分母较大. 图 形方 程12yoFFx1oFyx2F1.判定下列椭圆的焦点在哪个轴，并指明a2、b2，写出焦点坐标答：在 x 轴.（-3，0）和（3，0）答：在 y 轴.（0，-5）和（0，5）答：在y 轴.（0，-1）和（0，1）解惑提高 判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则： 焦点在分母大的那个轴上.小试牛刀 2.将下列方程化为标准方程，并判定焦点在哪个轴上，写出焦点坐标解惑提高 在下述方程中，A、B、C满足什么条件，就表示椭圆？答： A、B、C同号，且A不等于B.小试牛刀(1) 两个焦点的坐标分别是(-

6、4，0),(4，0)，椭圆上一点P到两焦点距离的和等于10.例1：写出适合下列条件的椭圆的标准方程解:因为焦点在x轴上,所以设它的标准方程为:典型应用(2) 求两个焦点的坐标分别是(0,-2),(0,2)，并且经过点 的椭圆方程.解:因为焦点在y轴上,所以设它的标准方程为:法1：由题意得：解得：例1：写出适合下列条件的椭圆的标准方程典型应用(2) 求两个焦点的坐标分别是(0,-2),(0,2)，并且经过点 的椭圆方程.例1：写出适合下列条件的椭圆的标准方程典型应用法2：例1：写出适合下列条件的椭圆的标准方程典型应用解:设椭圆的方程为:解得:所求椭圆的方程为:解惑提高1 椭圆 上一点P到一个焦点的距离为5，则P到另一个焦点的距离为（ ）A.5 B.6 C.4 D.10A2.已知椭圆的方程为