2021-2022学年广东省清远市星江中学高三数学文测试题含解析

1、2021-2022学年广东省清远市星江中学高三数学文测试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. (2009湖南卷理)已知D是由不等式组，所确定的平面区域，则圆 在区域D内的弧长为 A B C D参考答案：B解析：如图示，图中阴影部分所在圆心角所对弧长即为所求，易知图中两直线的斜率分别是，所以圆心角即为两直线的所成夹角，所以，所以，而圆的半径是2，所以弧长是，故选B现。2. 已知向量与的夹角为，|=2，|=1， =t， =（1t），|在t0时取得最小值当0t0时，夹角的取值范围为（）A（0，）B（，）C（，）D（0，）

2、参考答案：C【考点】数量积表示两个向量的夹角【分析】由向量的运算可得 =（5+4cos）t2+（24cos）t+1，由二次函数知，当上式取最小值时，t0=，根据0，求得cos的范围，可得夹角的取值范围【解答】解：由题意可得?=21cos=2cos， =（1t）t，=（1t）2+t22t（1t）=（1t）2+4t24t（1t）cos=（5+4cos）t2+（24cos）t+1，由二次函数知，当上式取最小值时，t0=，由题意可得0，求得cos0，故选：C3. 等比数列中，=4，函数，则（ ）A B C D参考答案：C4. (12)已知平面截一球面得圆，过圆心且与成二面角的平面截该球面得圆.若该球面

3、的半径为4，圆的面积为4，则圆的面积为(A)7 (B)9 (C)11 (D)13参考答案：A5. 极坐标方程所表示的曲线是( )A一条直线 B一个圆 C一条抛物线 D一条双曲线参考答案：C略6. 已知i是虚数单位，设复数，则在复平面内对应的点在（A） 第一象限 （B） 第二象限 （C） 第三象限 （D） 第四象限参考答案：D7. 已知a0，b0，a+b=2，则y=的最小值是( ) A B4 C D5参考答案：C8. 过椭圆的中心任作一直线交椭圆于P，Q两点，F是椭圆的一个焦点，则的周长的最小值为（）A. 12B. 14C. 16D. 18参考答案：D【分析】根据椭圆对称性可求得为定值，再结合，

4、从而得到所求周长的最小值.【详解】由椭圆对称性可知，两点关于原点对称设为椭圆另一焦点，则四边形为平行四边形由椭圆定义可知：又， 又为椭圆内的弦 周长的最小值为：本题正确选项：D【点睛】本题考查椭圆中三角形周长最值的求解问题，重点考查学生对于椭圆几何性质的掌握，关键是能够利用椭圆的对称性和定义求得的值.9. 已知，那么下列不等式成立的是A. B. C. D. 参考答案：C10. 若不等式|xt|1成立的必要条件是1x4，则实数t的取值范围是（）A2，3B（2，3C2，3）D（2，3）参考答案：A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】先求出不等式|xt|1的解集，再根据充分条件的定义，

5、建立关于t的不等式组，解之从而确定t的取值范围【解答】解：不等式|xt|1，则t1xt+1，不等式|xt|1成立的必要条件是1x4，解得2t3故选：A二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 不等式的解集是_.参考答案：12. 若对于任意,函数的值恒大于零,则的取值范围是_参考答案：或13. 计算的值等于 参考答案：略14. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 . 参考答案：略15. 已知函数,若,则.参考答案：或因为，所以，即，所以，即，解得或。16. 若，则的最小值为参考答案：由得，因为，所以，根据均值定理得，当且仅当，即，即时取等号，所以的最小值为1.17. 已

6、知正三角形内切圆的半径与它的高的关系是：,把这个结论推广到空间正四面体，则正四面体内切球的半径与正四面体高的关系是 参考答案：略三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 某工厂为扩大生产规模，今年年初新购置了一条高性能的生产线，该生产线在使用过程中的维护费用会逐年增加，第一年的维护费用是4万元，从第二年到第七年，每年的维护费用均比上年增加2万元，从第八年开始，每年的维护费用比上年增加25% (I)设第n年该生产线的维护费用为，求的表达式；()设该生产线前n年维护费为，求。参考答案：略19. 在直角坐标系xOy中，曲线M的参数方程为（为参数）若以该直角

7、坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线N的极坐标方程为sin（+）=（其中t为常数）（1）若曲线N与曲线M只有一个公共点，求t的取值范围；（2）当t=2时，求曲线M上的点与曲线N上的点的最小距离参考答案：考点：点的极坐标和直角坐标的互化；直线与圆的位置关系；参数方程化成普通方程 专题：直线与圆分析：（1）把曲线M的参数方程化为 y=x21，把曲线N的极坐标方程化为 x+yt=0曲线N与曲线M只有一个公共点，数形结合求得t的范围（2）当t=2时，曲线N即 x+y+2=0，当直线和曲线N相切时，由（1）可得t=，故本题即求直线x+y+2=0和直线x+y+=0之间的距离，利用两

8、条平行线间的距离公式计算求得结果解答：解：（1）曲线M （为参数），即 x2=1+y，即 y=x21，其中，x=sin+cos=sin（+）把曲线N的极坐标方程为sin（+）=（其中t为常数）化为直角坐标方程为 x+yt=0由曲线N（图中蓝色直线）与曲线M（图中红色曲线）只有一个公共点，则有直线N过点A（，1）时满足要求，并且向左下方平行运动直到过点B（，1）之前总是保持只有一个公共点，再接着向左下方平行运动直到相切之前总是有两个公共点，所以+1t+1满足要求，当直线和曲线M相切时，由有唯一解，即 x2+x1t=0 有唯一解，故有=1+4+4t=0，解得t=综上可得，要求的t的范围为（+1，+

9、1（2）当t=2时，曲线N即 x+y+2=0，当直线和曲线M相切时，由（1）可得t=故曲线M上的点与曲线N上的点的最小距离，即直线x+y+2=0和直线x+y+=0之间的距离，为 =点评：本题主要考查把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法，直线和圆的位置关系的应用，属于中档题20. 中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，经验表明，某种绿茶用85的水泡制，再等到茶水温度降至60时饮用，可以产生最佳口感.某研究人员每隔1min测量一次茶水温度，得到下表的一组数据。时间t/min01234水温y/8579757168（1）从表中所给的5个水温数据中任取2个，记X表示这2个数据中

10、高于72的个数，求X的分布列和数学期望.（2）在25室温下，设茶水温度从85开始，经过后的温度为y/，根据这些数据的散点图，可用回归方程近似地刻画茶水温度随时间变化的规律，其中，k为比例系数，a为温度的衰减比例，且a的估计值.为第i分钟对应的水温.根据表中数据求：（i）温度y/关于时间x的回归方程（保留2位小数）；（ii）刚泡好的茶水大约需要放置多少分钟才能达到最佳饮用口感？（保留整数，参考数据：，.）参考答案：(1)见解析；(2) （i）（ii）大约.【分析】（1）利用超几何分布可求的分布列，再利用公式计算数学期望即可.（2）（i）先求出时，从而得到，（ii）令，利用所给数据可得相应的的值.

11、【详解】（1）解：由题意可知，高于的数据有3个，随机变量可能取值为0，1，2.，分布列：012所以.（2）（i）根据实际情况可知，当时，代入回归方程得到从而求出回归方程，再令，利用给出的数据可算出对应的的值.计算每分钟的值与上一分钟值的比值，可知：0123460545046430.900.930.920.93所以，故回归方程为：.（ii）将代入，得，所以，两边取对数：得：，由参考数据知：，.所以，所以，所以，泡制一杯最佳口感茶水所需时间大约.【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列及数学期望、回归方程的计算及应用，此类问题为基础题.21. （本小题满分12分）某校从参加某次知识竞赛的同学中，选取

12、60名同学将其成绩（百分制，均为整数）分成6组后，得到部分频率分布直方图（如图），观察图中的信息，回答下列问题()求分数在70，80）内的频率，并补全这个频率分布直方图；()根据频率分布直方图，估计本次考试的平均分；()若从60名学生中随机抽取2人，抽到的学生成绩在40，70）记0分，抽到的学生成绩在70，100记1分，用X表示抽取结束后的总记分，求X的分布列和数学期望参考答案：（）设分数在内的频率为x，根据频率分布直方图，则有，可得x=0.3. 所以频率分布直方图如图所示： 4分（）平均分为：6分（）学生成绩在40,70)的有0.460=24人，在70,100的有0.660=36人，且X的可能取值是0，1，2则，=所以X的分布列为：X012P所以EX012= 12分22. 已知，直线的斜率为，直线的斜率为，且. （1）