2021上资格证数学科目三-理论精讲-数学分析2-1.11-罗卿

1、课前答疑10min，回放的小伙伴请拉动，谢谢2021上教师资格证数学科目三数学分析2主讲：罗卿回顾今日讲解 极限余下内容 函数的连续性与间断点、一元函数微分学选sn +32+【例】lim（三）极限的求法05.洛必达法则P751cos 2【例】lim0P75选（三）极限的求法【例】 =5.洛必达法则 +P75（三）极限的求法1【例】lim i06.无穷小与无穷大（1）无穷小与无穷大的概念P75选 考点：两个无穷小的比较6.无穷小与无穷大（2）两个无穷小的比较在自变量同一变化过程（ 0 或 ）中，设limf(x)=0，limg(x)=0，且()lim = ，则有：()若 =0，称 是比 高阶的无穷

2、小若 ，称 是比 低阶的无穷小若 =c0，称 与 是同阶无穷小若 1，称 与 是等价无穷小P76 考点：等价无穷小（背！） 选6.无穷小与无穷大（3）常用等价无穷小P76So easyP77工具 考点：等价无穷小（背！）（3）常用等价无穷小-使用条件使用条件：整个式子中的乘、除因子可以用等价无穷小替换，加、减时不能用等价无穷小替换，部分式子中的乘、除因子也不能用等价无穷小替换。P76检验下听课效果P77 无穷大与无穷小考点考点一：两个无穷小的比较在自变量同一变化过程（ 0 或 ）中，设limf(x)=0，()limg(x)=0，且lim = （0， ，1，c（除0）()考点二：等价无穷小找与给

3、定函数是等价无穷小的函数利用等价无穷小求极限P78 考点小结应用渐近线的判定P78选（四）渐近线1.水平渐近线：2.垂直渐近线：P78练练才知道P78选+应用二、函数的连续性与间断点（一）函数的连续性1.函数在一点连续的概念P79P80选+解答（一）函数的连续性1.函数在一点连续的概念注意：对于分段函数在分段点处的连续性的讨论，应根据函数连续的定义，满足： 函数在该点有定义； 函数在该点的左极限=右极限=该点的函数值。P79P80了解（一）函数的连续性2.函数在区间内（上）连续的定义如果函数 在开区间(a, b)内的每一点都连续，则称 在(a, b)内连续。如果 在开区间(a, b)内连续，在

4、区间端点a右连续，在区间端点b左连续，则称 在闭区间a, b上连续。P80应用（一）函数的连续性3. 闭区间上的连续函数的性质定理1（有界性与最大值最小值定理）在闭区间上连续的函数在该区间上有界且一定能取得它的最大值和最小值。这就是说，如果函数f(x)在闭区间a，b上连续，那么存在常数M0，使得对任一x, ，满足 () ；且至少有一点，使f()是f(x)在a，b上的最大值；又至少有一点，使f()是f(x)在a，b上的最小值。有界性定理：闭区间上连续函数在该区间上必有界。P81应用3. 闭区间上的连续函数的性质定理2（零点定理）：设函数f(x)在闭区间a，b上连续，且f(a)与f(b)异号（即f

5、(a)f(b)0），则在开区间（a，b）内至少有一点，使f()=0。P81应用3. 闭区间上的连续函数的性质定理3（介值定理）：设函数f(x)在闭区间a，b上连续，且在这区间的端点取不同的函数值 f(a)=A及f(b)=B，则对于A与B之间的任意一个数C，在开区间（a，b）内至少有一点，使得f()=C（ab）。定理4（一致连续性定理）：如果 在闭区间a, b上连续，那么它在该区间上一致连续。P81 考点：涉及闭区间连续函数 应用y=f(x)的定理证明及应用 考点小结-与y=f(x) 相关的定理a,bf (x)前提：设在闭区间上连续， 使得 有界性定理： M 0, 对 f (x) M, x a,

6、b.m,M,使得m f (x) M,其中m,M分别为f (x)在a,b上的最小值、最大值. 最值定理：P81应用 考点小结-与y=f(x) 相关的定理a,b上连续，f (x)前提：设在闭区间若 则 零点定理： f (a) f (b) 0,使得 (a,b), f ( ) =0. 介值定理： f(a)=A及f(b)=B，则对于A与B之间的任意一个数C，在开区间（a，b）内至少有一点，使得f()=C（ab）。若m M,则 a,b,使得f ()=.P81（二）函数的间断点及分类1.函数的间断点的定义P81选（二）函数的间断点及分类1.函数的间断点的定义（左右极限都存在）（左右极限至少一个不存在）P82

7、选间断点类型依据典型代表可去间断点跳跃间断点特征左极限=右极限左极限右极限第一类间断点左极限右极限都存在该点函数极限（左或右）趋于无穷大无穷间断点振荡间断点左极限、右极限至少一个不存在第二类间断点在趋于该点时，函数值来回振荡P82补充例题P8221【例】讨论函数 =间断点的类型。23+补充例题P8221【例】讨论函数 =间断点的类型23+211 +1+1解： =， = ，2为间断点。lim = lim = ，23+1 11+1lim = lim = ，故 = 为可去间断点， = 为无穷间断点。总结：分式中，先进行因式分解，上下可约去的多项式中的对应点为可去间断点；上下约不掉且使分母等于0对应点

8、为无穷间断点 小结一、导数的概念二、可导与连续的关系三、基本初等函数求导四、一阶导数的应用五、二阶导数的应用第二节一元函数微分学六、微分七、微分中值定理八、泰勒公式P83初中高中2016年下：142017年上：142018年上：3、112018年下：9、112019年上：52016201720182018年下：14年上：14年上：3，11年下：9、11Lorem ipsum dolor sit amet2019年上：52019年下：1、142019年下：1、142020年下：142020年下：5、（11）、14一、导数的概念（一）导数的几何意义P83选（二）导数的定义P84定义式的小应用 (

9、)00 0 = lim0P84应用 考点：函数可导性判断（三）左导数与右导数例： = P84 ( ) 应用00 0 = lim0（四）导函数的定义若 在(a，b)内每一点可导，则称 在(a，b)内可导；若 在(a，b)内可导，且 与 都存在，则称 在a，b上可导；+若 在区间I内每一点可导，则 在区间I内任一点的导数是x的函数，该函数称为dy df(x)。 的导函数，记为 或 或 或dxdx ( ) 0 lim000P85选 考点：可导与连续的关系二、可导与连续的关系 () lim0例： = P851 , 【例】函数 = A.连续且可导，则函数在 = 处（ ）。C.不连续 D.不连续但可导, = B.连续且不可导工具三、基本初等函数求导（一）基本初等函数的导数公式常为零，幂降次，指不变，对倒数；P86工具（一）基本初等函数的导数公式正变余，余反正，切割方，割乘切，反分式。P86（二）二阶导数P87应用（三）求导法则P87练一练就会了 = P88应用（三）求导法则【例】已知 = ，求P87预习 第二节 导数剩余内容应用（三）求导法则P88应用（三）求导法则 = =1P89依葫芦画瓢你行的dy例：求由方程+xy-e=0所确