高中数学一轮复习课件：奇偶性、对称性与周期性（课件）

1、奇偶性、对称性与周期性考试要求1.理解函数奇偶性的含义.2.了解函数的最小正周期的含义.3.会利用函数的奇偶性、单调性、对称性、周期性解决函数性质的综合问题.1.函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果xI，都有xI，且_，那么函数f(x)就叫做偶函数关于_对称奇函数一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果xI，都有xI，且_，那么函数f(x)就叫做奇函数关于_对称f(x)f(x)f(x)f(x)y轴原点(1)周期函数：对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(xT)f(x)，那么就称函数yf(x)为周期函数，称T为这

2、个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的_正周期.2.函数的周期性最小常用结论BC解根据偶函数的定义知偶函数满足f(x)f(x)，且定义域关于原点对称，A选项为奇函数；B选项为偶函数；C选项为偶函数；D选项既不是奇函数，也不是偶函数.2.(多选)下列函数中为偶函数的是()A.yx2sin x B.yx2cos xC.yln |x| D.y2x解因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(x)f(x).又f(1x)f(x)，所以f(2x)f1(1x)f(1x)f(1x)f(x)f(x)，C解由图象知，当0 x2时，f(x

3、)0；当2x5时，f(x)0，又f(x)是奇函数，当2x0时，f(x)0，当5x2时，f(x)0.综上，f(x)0的解集为(2，0)(2，5.4.设奇函数f(x)的定义域为5，5，若当x0，5时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)0的解集是_.(2，0)(2，5解因为f(x)为R上的奇函数，所以f(0)0，即f(0)20m0，解得m1，故f(x)2x1(x0)，则f(3)f(3)(231)7.5.已知f(x)为定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)2xm，则f(3)_.7解由f(x3)f(x)知函数f(x)的周期为3，又函数f(x)为奇函数，考点函数的奇偶性因此f(x)f(x)且f(x)

4、f(x)，函数f(x)既是奇函数又是偶函数.角度1判断函数的奇偶性x20，|x2|2x，函数f(x)为奇函数.解显然函数f(x)的定义域为(，0)(0，)，关于原点对称.当x0，则f(x)(x)2xx2xf(x)；当x0时，x0，x0时，f(x)f(x)eax，所以f(ln 2)ealn 2(eln 2)a2a8.解得a3.(2)已知f(x)是奇函数，且当x0；f(x)是奇函数.f(x)x4(xR)(答案不唯一)考点函数的周期性及应用解析法一f(x)在R上是奇函数，且f(1x)f(1x).f(x1)f(x1)，即f(x2)f(x).因此f(x4)f(x)，则函数f(x)是周期为4的函数，例3

5、(1)已知f(x)是定义域为(，)的奇函数，满足f(1x)f(1x).若f(1)2，则f(1)f(2)f(3)f(2 022)()A.50 B.0 C.2 D.50C由图可知，f(x)的一个周期为4，所以f(1)f(2)f(3)f(2 022)505f(1)f(2)f(3)f(4)f(1)f(2)5050f(1)f(2)2.由于f(1x)f(1x)，f(1)2，故令x1，得f(0)f(2)0，令x2，得f(3)f(1)f(1)2，令x3，得f(4)f(2)f(2)0，故f(1)f(2)f(3)f(4)20200，所以f(1)f(2)f(3)f(2 022)5050f(1)f(2)2.法二由题意

6、可设解由于f(x1)为奇函数，所以函数f(x)的图象关于点(1，0)对称，即有f(x)f(2x)0，所以f(1)f(21)0，得f(1)0，即ab0.由于f(x2)为偶函数，所以函数f(x)的图象关于直线x2对称，即有f(x)f(4x)0，所以f(0)f(3)f(2)f(1)4abab3a6.D根据可得a2，b2，所以当x1，2时.f(x)2x22.根据函数f(x)的图象关于直线x2对称，且关于点(1，0)对称，可得函数f(x)的周期为4，1.若f(xa)f(x)(a是常数，且a0)，则2a为函数f(x)的一个周期.2.利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到

7、已知区间上，进而解决问题.解因为当0 x2时，f(x)x3x.又f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且f(0)0，则f(6)f(4)f(2)f(0)0.又f(1)0，f(3)f(5)f(1)0，故函数yf(x)的图象在区间0，6上与x轴的交点有7个.训练2 (1)(2021湖南六校联考)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0 x2时，f(x)x3x，则函数yf(x)的图象在区间0，6上与x轴的交点个数为_.7f(2 020)f(63364)f(4).f(x)为偶函数，f(1)f(1)，考点函数的对称性解f(2x)f(2x)，则f(x)的图象关于x2对称，故A正确，B错误；函数f

8、(x)的图象关于x2对称，则f(x)f(x4)，又f(x)f(x)，f(x4)f(x)，T4，故C正确；T4且f(x)为偶函数，故yf(x4)为偶函数，故D正确.例4 (1)(多选)已知函数f(x)的定义域为R，对任意x都有f(2x)f(2x)，且f(x)f(x)，则下列结论正确的是( )A.f(x)的图象关于x2对称B.f(x)的图象关于(2，0)对称C.f(x)的最小正周期为4D.yf(x4)为偶函数ACDB感悟提升解yf(x2)为偶函数，yf(x)的图象关于x2对称，f(x2)f(x2)，f(3)f(1)，f()f(4).训练3 (1)已知函数f(x)的定义域为R，当x2，2时，f(x)

9、单调递减，且函数yf(x2)为偶函数，则下列结论正确的是()C当x2，2时，f(x)单调递减，解f(x)的图象关于x2对称，f(x)f(x4)，又f(x)为奇函数，f(x)f(x)，故f(x4)f(x)，T8，又2 02225286，f(2 022)f(6)f(2)f(2)(48)4.(2)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x)为奇函数，其图象关于x2对称.当x0，4时，f(x)x24x，则f(2 022)_.4角度1单调性与奇偶性考点函数性质的综合应用解易知g(x)xf(x)在R上为偶函数，奇函数f(x)在R上是增函数，且f(0)0.g(x)在(0，)上是增函数.又3log25.1220.

10、8，且ag(log25.1)g(log25.1)，g(3)g(log25.1)g(20.8)，则cab.例5 (1)已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)xf(x).若ag(log25.1)，bg(20.8)，cg(3)，则a，b，c的大小关系为()A.abc B.cbaC.bac D.bcaC解因为f(x2)的图象向右平移2个单位长度得到f(x)的图象，且f(x2)的图象关于y轴对称，所以f(x)的图象关于直线x2对称.由f(x)在(2，)上单调递减可得f(x)在(，2)上单调递增，由f(ln x)f(1)，所以ln x1或ln x3，解得0 xe或xe3.(2)(2021石家庄三模)已

11、知函数f(x2)是定义域为R的偶函数，若f(x)在(2，)上单调递减，则不等式f(ln x)f(1)的解集是()A.(0，1)(3，) B.(1，3)C.(0，e)(e3，) D.(e，e3)C1.比较函数值的大小问题，可以利用奇偶性，把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，再利用函数的单调性比较大小；2.对于抽象函数不等式的求解，应变形为f(x1)f(x2)的形式，再结合单调性，脱去“f”变成常规不等式，转化为x1x2)求解.感悟提升解函数yf(x1)的图象关于点(1，0)对称，函数yf(x)的图象关于原点对称，即函数f(x)是R上的奇函数，f(x2)f(x)，f

12、(x4)f(x2)f(x)，故f(x)的周期为4.f(2 021)f(50541)f(1)4，f(2 020)f(0)0，f(2 022)f(2)f(0)0，f(2 020)f(2 021)f(2 022)4.例6 函数yf(x)对任意xR都有f(x2)f(x)成立，且函数yf(x1)的图象关于点(1，0)对称，f(1)4，则f(2 020)f(2 021)f(2 022)的值为_.角度2周期性与奇偶性4周期性与奇偶性结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行转换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解.例7 (多选)已知f(x)的定义域为R，其函数图象关于直线x3对称

13、，且f(x3)f(x3)，若当x0，3时，f(x)4x2x11，则下列结论正确的是( )A.f(x)为偶函数B.f(x)在6，3上单调递减C.f(x)关于x3对称D.f(100)9角度3对称性与周期性ACD解f(x)的图象关于x3对称，则f(x)f(x6)，又f(x3)f(x3)，则f(x)的周期T6，f(x)f(x6)f(x)，f(x)为偶函数，故A正确；当x0，3时，f(x)4x2x11单调递增，T6，故f(x)在6，3上也单调递增，故B不正确；f(x)关于x3对称且T6，f(x)关于x3对称，故C正确；f(100)f(1664)f(4)f(2)f(2)9，故D正确.函数f(x)满足的关系

14、f(ax)f(bx)表明的是函数图象的对称性，函数f(x)满足的关系f(ax)f(bx)(ab)表明的是函数的周期性，在使用这两个关系时不要混淆.感悟提升解函数f(x2)是偶函数，函数f(x)关于x2对称，f(x2)f(x2)，f(x4)f(x)，f(x4)f(x)4f(x)f(x)，f(x8)f(x4)4f(x4)f(x)，函数的周期为8，f(2 022)f(2 023)f(2 022)f(2 023)f(6)f(7)f(2)f(1)211.训练4 (1)已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，f(x2)是偶函数，且当x(0，2时，f(x)x，则f(2 022)f(2 023)()A.3 B.

15、2 C.1 D.0C解f(x1)是偶函数，f(x1)f(x1)，从而f(x)f(x2).f(x1)是偶函数，f(x1)f(x1)，从而f(x)f(x2).f(x2)f(x2)，f(x4)f(x)，f(x)是以4为周期的周期函数.f(x1)f(x1)，f(x14)f(x14)，即f(x3)f(x3)，f(x3)是偶函数.(2)(多选)(2022威海模拟)函数f(x)的定义域为R，若f(x1)与f(x1)都是偶函数，则()A.f(x)是偶函数 B.f(x)是奇函数C.f(x3)是偶函数 D.f(x)f(x4)CD解f(8)3，f(24)f(2)f(4)f(2)f(22)f(2)f(2)f(2)3f(2)3，f(2)1.一、抽象函数求值解令xy1，则f(2)f(1)f(1)13.令xy2，则f(4)f(2)f(2)17.(2)已知定义在R上的函数f(x)满足f(1)1，且f(xy)f(x)f(y)1，则f(4)_.7解令xy0，则f(0)2f(0)，故f(0)0，A正确；令yx，则f(0)f(x)f(x)0，即f(x)f(x)，故函数f(x)为奇函数，B正确；例2 (1)(多选)(2021潍坊调研)定义在R上的函数f(x)满足f(xy