考研数学概率论与数理统计基础

1、参数估计与假设检验第七章 ? g? ! L ! ! ? 1 ? ! ?D X F x, , ?k X1, X 2 ,! Xn X !)!)K ?!) X1, X2 ,!, Xn x1, x2 ,!xn X1, X2 ,!, Xn , İK x1, x2 ,!, xn E,k K ? x1, x2 ,!, xn , !)?K ? ? ? ? n1 E X k E,D k j k i k j AXkkni1 ?s!)k8 X E X kV? ()k/!?1*? kid()?k? () ?*! 1D*k)Y ? *V !&?Mbu! ? , , PX xtpKD X ,?kp xV iinu, p(

2、xi ; ) nX ni1!)K4i0;X1 x1, X2 x2 ,!, Xn xn l x1, x2 ,!, xn 2nno, L L x , x ,!, x ; px ; ! pKrf 12nii1L( ), İK x1, x2 ,!, xn tpKWFL( )dK E,k ?K, x1, x2 ,!, xn ,k ?K X1, X2 ,!, Xn , ? DX V f x; ,( ) ,?k tpKnu, f (xi ; ). VK pKrf i1n X n; fx&Z!p?K FdKiii1nL L x , x, x ; fx ; dK , L( )!,12nii1 L max L x

3、1, x2 ,!, xn , ?K X1, X2 ,!, Xn , ? 最大似然估计法的解题步骤第一步：写出似然函数nL x1, x2 ,!, xn ;1,2,!,m P xi ,1,!,m (离散型)i1 nL x1, x2 ,!, xn ;1,2,!,m f xi ,1,!,m (连续型)i1求偏导数 ln L第二步：对似然函数取对数ln L ；并分别对 ,!, i 1,!, m1mi第三步：判断方程组ln L 0是否有解.若有解，则其解即为所求最大似然估计；若无解，则最大i似然估计常在 i的边界点上达到.的函数作为1,!,m ,第四步：用第三步求出的 ,!,作为参数的估计量，同一函数!,

4、!1m1m1m的估计量 ? ! n DX !) eyD X*?kpK M? X1, X2 ,!, Xn E 2 E k M? X , X ,!, Xk M?2 X , X& ,!, X212n112nD D 12X , X ,!, X2!) F#*% X , X ,!, X212n112n ! u X1, X2,!, Xn ,k ?2 n X1, X2 ,!, Xn H2 X1, X2 ,!, Xn , u?u? i 0, 1 lim Pn , !?u? bM s2M?V! DM? ?M&b!d 【例7.1】设总体X 服从参数为 的泊松分布，X1, X 2 ., Xn 为来自总体X 的简单随机

5、样本.求 的矩估计求 的最大似然估计定义 EX 2, 求 的最大似然估计 !? !)k?8EX X i Xt ?, X k X , P X k , k 0,1, 2,!ek!X1, X 2 ., Xn,nxi xxi1L x ,!, x ; 1ne !e e n x ! x ! 1nx !x !x !1n12nnln n ln xln L x!x!x!i12ni1nnxxi i 1nL i1 n 0上述方程有解， i1n令则 的最大似然估计为 X ., 的最大似然估计为 X（3）易求得 EX 2 E 2 X DX 2则 的最大似然估计为 X 2 X . G ! X , X ,!, X,1D B

6、(n, p) hX S 2c,12nK X kS 2 ,np2 M? k . M? E X kS 2 np2 iE X kES 2 EX kDX np2tf,np knp 1 p np2 k 1. ? g? ! L ! ! ? 1 ? ! Jg, F x; y!)k tpK2D X 1 X1, X2 ,!, Xn () 1(0 1), DX n2Eqq H 0 Y L0;!*t9,#%oij 0;V L H 0 ,!q%LH 0 ,1 ( ,/D*kEQ:!)L H 0w H 0,;$p!)0;!*0;H 0 xPH 05qo/SH 0 LH 0 F)T , )gWLH 0 gW ,pK !

7、jLH 0 L H1 0 1mn mjLH 0 xqjLH 0 K T İK t t W DkLN ,2N ,21,h)D,kL9m()D1 & N ,22 2122L_$122kLH 0,H 0H1 2 0 0 0 0 0 0U X 0nN 0,1U u2U uU u 2 0 0 0 0 0 0T X 0Snt n 1T tn 12T t n 1T t n 1 2 2 20 2 20 2 20 2 20 2 20 2 20nx2 1 x 2i 0i1x2 nx2 x2n x2 x2n1 22x2 x2 nx x1n22 2 20 2 20 2 20 2 20 2 20 2 20n 1S 2x

8、2 20 x2 n 1x2 x2n 1 1 2x2 x2n 12x2 x2n 1x2 x2 n 11kLH 0,H 0H1 12 2, 2 12 120 120 120 1201 2 01 2 0U X Y 0 2 212n1n2N 0,1U u2U uU u 2 , 2 A 12 2 212 120 120 120 120 120 120T X Y 0 S1 1Wnn12t n1 n2 2T tn n 2122T t n1 n2 2T t n1 n2 2 2 212 ,12 2 212221 2 2 212 2 2121 222 2 212n12n2 Xi 1 F n22i1n1 Yj 2

9、j 1S 2F S 212F F1n1 , n2 2F Fn1, n2 2F F n , n 12F F1 n1, n2 ,12 2 212 2 212 2 212 2 212 2 212 2 2122F S1 S 22F n1 1, n2 1F F1n1 1, n2 12F Fn1 1, n2 12F F n1 1, n2 1F F1 n1 1, n2 1* h)DkL7R#TTit=o( G !O;VF%C210005!O;*p255 100 ;V,950O; 0.05$O;xu pjL H0 : 1000 LH1 : 1000 U X 1000 N (0,1)n 1.655q, (1.6

10、5,) u0.05 2 0.059+,u 2u 2.5 (1.65,)9H0i,O;%u L% 95)a/it ? g? ! L ! ! ? 1 ? ! 1 x , x , F X ; 0, 1,; G V*k0, x X1, X 2 ,., Xn ,D X h 1k ? 1k ? 2 k ? k? , x 1, f x; Fx;x11X x0, x 1 1 x1. 8 XEX dx xfx;xdx X ,9k 1 11X 1X?, X 1 n f x ; 1 1 , xinx1, x2 ,!, xn 0, , L ii1V6 xi 1i 1, 2,!, nL 0.np1nL n1n 11nx

11、ii1d1nL nni11nxidd1nL8 0dn n1nxii1n ?, nln Xii12 2, x （3）当 2 时，X 的概率密度为 f x; 3x0, x 2n 2 n, x ,i 1, 2,!, nn似然函数为 L f x ; x x !x3ii12ni10,其他 i 1, 2,!, n时， 越大，L 越大， 因而 的最大似然估计值为 minX1, X2 ,!, Xn 当xi ? g? ! L ! ! ? 1 ? ! 题型二估计量的评选标准1,0 x ,21 , x 1,【例7.6】设总体 X 的概率密度为 f x, 21 0，其他.其中参数 0 1 未知, X , X! X是来

12、自总体 X 的简单随机样本,是样本均值X12n求参数 的矩估计量;2判断4 X 是否为 2 的无偏估计量，并说明理由. x x1414421X dx dx dx 1 I Exfx,2 1 20ni1141n2X X8 V*X, ?, 2X 1 .2D X22 4E X 4 D X 422E 4XEXEX ,(II)nx2x2 211而 E X10 x fx, dx dx 22 1 dx .662231 24 21616 1115D X E X 2 E 2 X 2,3 2121248 3n 1 3n 5 2,D X3n 12 4E22E 4XX故n3nn12n所以4X 2不是 2的无偏估计量.【

13、例7.7】设X1, X 2 ,! Xn 是取自总体 N (,1)的一个样本.（1）令 2 X1 X3; 1 X3 X4; 试证 , 两个估计量都是 1211221234的无偏估计量，并判断1,2 的有效性，（2）判断的矩估计量是否是的一致估计量. M? ! E( X ) , D( X ) 1,(i 1,2)2E( ) 2 E( X ) 1 E( X) 2 1 , E( ) 1 3 , ii1122333344 1,2, M? 1 9 5 ,8& X D( ) 4 D( X ) 1 D( X) 4 1 5 ,t D(X) 12121122999991616n1?, X Xin ?tti1 1n

14、lim P Xi 0lim Pn nni19 ? !? ? g? ! L ! ! ? 1 ? ! X &Y 3c5N , 2 & N ,2 2 V* k 0 Z X Y Z fZ (z),D Z h 2 ? 2 ,!, Z Z , Z12n 2 , 2 M? X &Y 3c5N , 2 & N ,2 2 ,9 Z X Y .5V* EZ E( X Y ) EX EY 0, DZ D( X Y ) DX DY 2 2 2 3 25 Z 5 N (0,3 2 )z2e 6 21Z f(z) Z6 Z1, Z2 ,!, Zn K, z1, z2 ,!, zn,n1 z22i1n2n2ni1z1ii26!, z ; ) (6 )2 ( 2 )6 2L(z , z ,e e12n6ni1n2n21(vp ln L( 2 ) ln( 2 ) 2ln(6 ) zi6 2ni1ni11d ln L( 2 )n211 0 2228zziid ( 2 ) 26( 2 )23nni119 2 ?, 22iZ3nni112 E ZD Z 32i2（3）由（1）知，E 22其中 E ZE(Z )iii3nni111从而 E 2 2 3 2 = 2E(Z )=i3n3n所以 2 为 2