变换的定义与收敛域

1、变换的定义与收敛域第1页，共98页，2022年，5月20日，5点27分，星期二2-1 Z变换的定义及收敛域返回2一.Z变换定义二.收敛域三.常用序列的收敛域四：求收敛域举例第2页，共98页，2022年，5月20日，5点27分，星期二一.Z变换定义： 序列的Z变换定义如下： *实际上，将x(n)展为z-1的幂级数。引言：离散时间信号与系统变换域分析法： A）Z变换，DFT(FFT)。 Z变换可将差分方程转化为代数方程 B) Z变换的应用范围更广返回2.11PK1棋牌公社官网 编辑整理第3页，共98页，2022年，5月20日，5点27分，星期二二.收敛域 1.定义: 使序列x(n)的z变换X(z)

2、收敛的所有z值的 集合称作X(z)的收敛域.2.收敛条件： X(z)收敛的充要条件是绝对可和。返回2.1第4页，共98页，2022年，5月20日，5点27分，星期二三.常用序列的收敛域(1).预备知识 阿贝尔定理: 如果级数 ，在 收敛,那么,满足0|z|z+|的z,级数必绝对收 敛。|z+|为最大收敛半径。返回2.1第5页，共98页，2022年，5月20日，5点27分，星期二 同样,对于级数 ，满足 的z， 级数必绝对收敛。 |z_|为最小收敛半径。返回2.1第6页，共98页，2022年，5月20日，5点27分，星期二0n2n1n (n).(2).有限长序列返回2.1第7页，共98页，202

3、2年，5月20日，5点27分，星期二返回2.1第8页，共98页，2022年，5月20日，5点27分，星期二x(n)n0n1.1.3. 右边序列*第一项为有限长序列，第二项为z的负幂级数,返回2.1第9页，共98页，2022年，5月20日，5点27分，星期二收敛域第一项为有限长序列,其收敛域为0|z|;第二项为z的负幂次级数，由阿贝尔定理可知, 其收敛域为 Rx-|z|;两者都收敛的域亦为Rx-|z|; Rx-为最小收敛半径。返回2.1第10页，共98页，2022年，5月20日，5点27分，星期二(4)因果序列 它是一种最重要的右边序列,由阿贝尔 定理可知收敛域为：返回2.1第11页，共98页，

4、2022年，5月20日，5点27分，星期二(5)左边序列x(n)0n n2返回2.1第12页，共98页，2022年，5月20日，5点27分，星期二第二项为有限长序列,其收敛域 ; 第一项为z的正幂次级数，根据阿贝尔定理, 其收敛域为 ; 为最大收敛半径 .返回2.1第13页，共98页，2022年，5月20日，5点27分，星期二 双边序列指n为任意值时,x(n)皆有值的序列，即左边序列和右边序列之和。 (6)双边序列0nx返回2.1第14页，共98页，2022年，5月20日，5点27分，星期二第二项为左边序列，其收敛域为：第一项为右边序列(因果)其收敛域为：当Rx-|z|时，这是无穷递缩等比级数

5、，收敛。收敛域：*收敛域一定在模最小的极点所在的圆内。返回2.1本节结束第19页，共98页，2022年，5月20日，5点27分，星期二2-2 Z反变换一.定义二.求Z反变换的方法1.留数法2.部分分式法3.幂级数展开法(长除法)返回2第20页，共98页，2022年，5月20日，5点27分，星期二一.定义： 已知X(z)及其收敛域,反过来求序列x(n)的变换称作Z反变换。返回2.2第21页，共98页，2022年，5月20日，5点27分，星期二C为环形解析域内环绕原点的一条逆时针闭合单围线.0c返回2.2二.求Z反变换的方法 -1.留数法教材P50页有对Z反变换的推导第22页，共98页，2022年

6、，5月20日，5点27分，星期二.留数定理： 为c内的第k个极点， 为c外的第m个极点， Res 表示极点处的留数。返回2.2第23页，共98页，2022年，5月20日，5点27分，星期二 2、当Zr为l阶(多重)极点时的留数：留数的求法： 1、当Zr为一阶极点时的留数：返回2.2第24页，共98页，2022年，5月20日，5点27分，星期二例2-4 已知解:1）当n-1时,不会构成极点，所以这时C内只有一个一阶极点因此，求z反变换。返回2.2第25页，共98页，2022年，5月20日，5点27分，星期二2）当n-2时，X(z)zn-1中的zn+1构成n+1阶极点。 因此C内有极点：z=1/4

7、(一阶), z=0为(n+1) 阶极点；而在C外仅有 z=4(一阶)这个极点，且分母比分子的Z的阶数至少高2:返回2.2第26页，共98页，2022年，5月20日，5点27分，星期二2.部分分式法 有理式：数字和字符经有限次加、减、乘、除运算 所得的式子。 有理分式：含字符的式子做分母的有理式，或两个多项 式的商。分子的次数低于分母时称为真分式。 部分分式：把x的一个实系数的真分式分解成几个分式 的和，使各分式具有 或 的形式 ，其中x2+Ax+B是实数范围内的不可约 多项式，而且k是正整数。这时称各分式为原分 式的“部分分式”。返回2.2第27页，共98页，2022年，5月20日，5点27分

8、，星期二 通常，X(z)可表成有理分式形式： 因此，X(z)可以展成以下部分分式形式其中，MN时，才存在Bn；Zk为X(z)的各单极点，Zi为X(z)的一个r阶极点。而系数Ak，Ck分别为： 返回2.2第28页，共98页，2022年，5月20日，5点27分，星期二的z反变换。例2-5利用部分分式法，求解： 分别求出各部分分式的z反变换（可查 P54表2-1），然后相加即得X(z)的z反变换。返回2.2第29页，共98页，2022年，5月20日，5点27分，星期二返回2.2第30页，共98页，2022年，5月20日，5点27分，星期二3.幂级数展开法(长除法) 因为 x(n) 的Z变换为Z-1

9、的幂级数，即 所以在给定的收敛域内，把X(z)展为幂级数，其系数就是序列x(n)。 如收敛域为|z|Rx+， x(n)为因果序列，则X(z)展成Z的负幂级数。 若 收敛域|Z|Rx-, x(n)必为左边序列，主要展成 Z的正幂级数。 返回2.2第31页，共98页，2022年，5月20日，5点27分，星期二例2-6 试用长除法求的z反变换。解:收敛域为环状，极点z=1/4对应因果序 列，极点z=4对应左边序列(双边序列)*双边序列可分解为因果序列和左边序列。*应先展成部分分式再做除法。返回2.2第32页，共98页，2022年，5月20日，5点27分，星期二返回2.2第33页，共98页，2022年

10、，5月20日，5点27分，星期二返回2.2第34页，共98页，2022年，5月20日，5点27分，星期二 4-Z) 4Z+Z + Z + Z + Z +241311645164.16 Z16 Z - 4 Z 24 Z 4 Z - Z Z Z - Z Z Z - Z Z 2233314141444411655116.返回2.2第35页，共98页，2022年，5月20日，5点27分，星期二 Z- ) Z141+ Z + Z + Z 14-1116-2164-3.Z- 141414- Z116-1 Z116-1 Z116-1- Z164-2 Z164-2 Z164-2- Z1256-3 Z1256-

11、3.返回2.2第36页，共98页，2022年，5月20日，5点27分，星期二返回2.2本节结束第37页，共98页，2022年，5月20日，5点27分，星期二2-3 Z变换的基本性质和定理共有线性、移位、Z域尺度、 Z域求导等12条性质返回2第38页，共98页，2022年，5月20日，5点27分，星期二如果则有：*即满足均匀性与叠加性；*收敛域为两者重叠部分。1.线性返回2.3第39页，共98页，2022年，5月20日，5点27分，星期二例2-7已知 ,求其z变换。解：返回2.3第40页，共98页，2022年，5月20日，5点27分，星期二2. 序列的移位如果则有：例2-8 求序列x(n)=u(

12、n)-u(n-3)的z变换。返回2.3第41页，共98页，2022年，5月20日，5点27分，星期二3. Z域尺度变换(乘以指数序列)如果，则证明：返回2.3第42页，共98页，2022年，5月20日，5点27分，星期二4. 序列的线性加权(Z域求导数)如果，则证明：返回2.3第43页，共98页，2022年，5月20日，5点27分，星期二5. 共轭序列如果，则证明：返回2.3第44页，共98页，2022年，5月20日，5点27分，星期二6. 翻褶序列如果，则证明：返回2.3第45页，共98页，2022年，5月20日，5点27分，星期二7. 初值定理证明：返回2.3第46页，共98页，2022年

13、，5月20日，5点27分，星期二8. 终值定理证明：返回2.3第47页，共98页，2022年，5月20日，5点27分，星期二 又由于只允许X(z)在z=1处可能有一阶极点，故因子（z-1)将抵消这一极点，因此(z-1)X(z)在上收敛。所以可取z 1的极限。返回2.3第48页，共98页，2022年，5月20日，5点27分，星期二9. 有限项累加特性证明：返回2.3第49页，共98页，2022年，5月20日，5点27分，星期二返回2.3第50页，共98页，2022年，5月20日，5点27分，星期二10.序列的卷积和(时域卷积定理) 返回2.3第51页，共98页，2022年，5月20日，5点27分

14、，星期二证明：返回2.3第52页，共98页，2022年，5月20日，5点27分，星期二例2-9解：返回2.3第53页，共98页，2022年，5月20日，5点27分，星期二11.序列相乘(Z域卷积定理)其中,C是在变量V平面上，X(z/v),H(v)公共收敛域内环原点的一条逆时针单封闭围线。 （证明从略）返回2.3第54页，共98页，2022年，5月20日，5点27分，星期二例2-10解：返回2.3第55页，共98页，2022年，5月20日，5点27分，星期二返回2.3第56页，共98页，2022年，5月20日，5点27分，星期二 12.帕塞瓦定理(parseval)其中“*”表示复共轭，闭合积

15、分围线C在公共收敛域内。 （证明从略）如果则有:返回2.3第57页，共98页，2022年，5月20日，5点27分，星期二*几点说明：本节结束返回2.3第58页，共98页，2022年，5月20日，5点27分，星期二2-4 序列的Z变换与拉氏变换、傅氏变换的关系 一.Z变换与拉氏变换的关系二.Z变换和傅氏变换的关系三.序列的傅氏变换返回2第59页，共98页，2022年，5月20日，5点27分，星期二1.理想抽样信号的拉氏变换设 为连续信号， 为其理想抽样信号，则一.Z变换与拉氏变换的关系返回2.4！复习回顾：连续信号的FT与LT关系Go！第60页，共98页，2022年，5月20日，5点27分，星期

16、二 序列 的z变换为 ，考虑到 ,显然，当 时，序列 的 z 变换就等于理想抽样信号的拉氏变换。返回2.4又因 与原连续信号 的拉氏有如下关系则 与 的关系为：解释第61页，共98页，2022年，5月20日，5点27分，星期二2.Z变换与拉氏变换的关系( S、Z平面映射关系） S平面用直角坐标表示为： Z平面用极坐标表示为： 又由于 所以有：因此， ;这就是说， Z的模只与S的实部相对应, Z的相角只与S虚部相对应。返回2.4第62页，共98页，2022年，5月20日，5点27分，星期二 =0,即S平面的虚轴 r=1,即Z平面单位圆； 0,即S的左半平面 r0, 即S的右半平面 r1,即Z的单

17、位圆外 。j00(1).r与的关系返回2.4第63页，共98页，2022年，5月20日，5点27分，星期二= 0，S平面的实轴， = 0，Z平面正实轴；=0(常数)，S:平行实轴的直线， = 0T,Z:始于 原点的射线； S:宽 的水平条带， 整个z平面.(2).与的关系（=T）返回2.40jImZReZ第64页，共98页，2022年，5月20日，5点27分，星期二二.Z变换和傅氏变换的关系 连续信号经理想抽样后,其频谱产生周期延拓， 即 我们知道,傅氏变换是拉氏变换在虚轴S=j 的特例,因而映射到Z平面上为单位圆。因此, 这就是说,（抽样）序列在单位圆 上的Z变换,就等于理想抽样信号傅氏变换

18、。 用数字频率作为Z平面的单位圆的参数， 表示Z平面的辐角，且 。返回2.4第65页，共98页，2022年，5月20日，5点27分，星期二所以，序列在单位圆上的Z变换为序列的傅氏变换。返回2.4第66页，共98页，2022年，5月20日，5点27分，星期二三.序列的傅氏变换1.正变换:2.反变换:返回2.4本节结束第67页，共98页，2022年，5月20日，5点27分，星期二2-5 傅氏变换的一些对称性质一、共轭对称序列与共轭反对称序列 1.共轭对称序列 设一复序列，如果满足xe(n)=xe*(-n)则称序列为共轭对称序列。下面分析它们的对称关系。 设序列 其中 分别表示的实部和虚部。对其两边

19、取共轭，则再将-n代入，则根据定义，则 这说明共轭对称序列的实部是偶对称序列（偶函数），而虚部是奇对称序列（奇函数）。*特殊地，如是实序列，共轭对称序列就是偶对称序列。返回2第68页，共98页，2022年，5月20日，5点27分，星期二2.共轭反对称序列 设一复序列，如果满足xo(n)=-xo*(-n) 则称序列为共轭反对称序列。同样有：根据定义，则 这说明共轭反对称序列的实部是奇对称序列（奇函数），而虚部是偶对称序列（偶函数）。 *特殊地，如是实序列，共轭反对称序列就是奇对称序列。返回2.5第69页，共98页，2022年，5月20日，5点27分，星期二 二、任一序列可表为共轭对称序列与共轭反

20、对称序列之和返回2.5第70页，共98页，2022年，5月20日，5点27分，星期二返回2.5第71页，共98页，2022年，5月20日，5点27分，星期二三、序列的傅氏变换可表为共轭对称分量 与共轭反对称分量之和其中，返回2.5第72页，共98页，2022年，5月20日，5点27分，星期二四、两个基本性质证明：返回2.5第73页，共98页，2022年，5月20日，5点27分，星期二证明：返回2.5第74页，共98页，2022年，5月20日，5点27分，星期二五、序列的实、虚部与其傅氏变换偶、奇部的关系1.序列的实部的傅氏变换等于其傅氏变换的偶部证明：返回2.5第75页，共98页，2022年，

21、5月20日，5点27分，星期二2.序列的j倍虚部的傅氏变换等于其傅氏变换的奇部证明：返回2.5第76页，共98页，2022年，5月20日，5点27分，星期二六、序列的偶、奇部与其傅氏变换的实、虚部的关系1.序列的偶部的傅氏变换等于其傅氏变换的实部证明：返回2.5第77页，共98页，2022年，5月20日，5点27分，星期二2.序列的奇部的傅氏变换等于其傅氏变换的虚部 再乘以j。证明：返回2.5第78页，共98页，2022年，5月20日，5点27分，星期二七、序列为实序列的情况返回2.5第79页，共98页，2022年，5月20日，5点27分，星期二返回2.5第80页，共98页，2022年，5月2

22、0日，5点27分，星期二返回2.5第81页，共98页，2022年，5月20日，5点27分，星期二8.实序列也有如下性质：返回2.5本节结束第82页，共98页，2022年，5月20日，5点27分，星期二2-6 离散系统的系统函数及频率响应一.系统函数二.因果稳定系统三.系统函数和差分方程的关系四.系统的频率响应的意义 五.频率响应的几何确定六.IIR系统和FIR系统返回2第83页，共98页，2022年，5月20日，5点27分，星期二线性移不变系统 h(n)为单位抽样响应h(n)x(n) (n) H(z)称作线性移不变系统的系统函数，而且在单位圆 上的系统函数就是系统的频率响应。一.系统函数:返回

23、2.6第84页，共98页，2022年，5月20日，5点27分，星期二 我们知道,一线性移不变系统稳定的充要条件是h(n)必须满足绝对可和：|h(n)|。 z变换H(z)的收敛域由满足|h(n)z-n|的那些z值确定。如单位圆上收敛，此时则有|h(n)| ，即系统稳定；也就是说，收敛域包括单位圆的系统是稳定的。 因果系统的单位抽样响应为因果序列， 其收敛域为R+|z|；而因果稳定系统的系统函数收敛域为 1|z|，也就是说,其全部极点必须在单位圆内。与充要条件|h(n)|是等价的二.因果稳定系统返回2.6第85页，共98页，2022年，5月20日，5点27分，星期二三.系统函数和差分方程的关系线性

24、移不变系统常用差分方程表示：取z变换得：对上式因式分解,令得：返回2.6第86页，共98页，2022年，5月20日，5点27分，星期二四.系统的频率响应 的意义 考察系统对不同频谱成分的传输能力：均匀传送或衰减 系统的单位抽样响应h(n)的傅氏变换也即单位上的变换称作系统频率响应。 也就是说，其输出序列的傅氏变换等于输入序列的傅氏变换与频率响应的乘积。对于线性移不变系统：返回2.6第87页，共98页，2022年，5月20日，5点27分，星期二 五.频率响应的几何确定1.频率响应的零极点表达式返回2.6第88页，共98页，2022年，5月20日，5点27分，星期二模：相角：返回2.6第89页，共98页，2022年，5月20日，5点27分，星期二2.几点说明 (1). 表示原点处零极点，它到单位圆 的距离恒为1，故对幅度响应不起作用只 是给出线性相移分量(N-M)。 (2).单位圆附近的零点对幅度响应的谷点的 位置与深度有明显影响，当零点位于单 位圆上时，谷点为零。零点可在单位圆外。 (3).单位圆附近的极点对幅度响应的峰点位 置和高度有明显影响