郑州会计培训学校：2013年重点高中数学考试公式大全

1、高中数学常用公式1.一元二次方程的实根分布依照：假定f(m)f(n)0，那么方程f(x)0在区间(m,n)内至多有一个实根.f(x)xpxq，那么2设2p4q01方程f(x)0在区间(m,)内有根的充要条件为f(m)0或；p2mf(m)0f(n)02方程f(x)0在区间(m,n)内有根的充要条件为f(m)f(n)0或2p4q0pmn2f(m)0f(n)0；af(m)0或或af(n)02p4q03方程f(x)0在区间(,n)内有根的充要条件为f(m)0或.pm211.定区间上含参数的二次不等式恒成破的条件依照(1)在给定区间(,)的子区间L形如,，,，,差异上含参数的二次不等式f(x,t)0(为

2、参数)恒成破的充要条件是tf(x,t)min0(xL).f(x,t)0t(2)在给定区间(,)的子区间上含参数的二次不等式(为参数)恒成破fxt的充要条件是(,)man0(xL).a0a042(3)()fxaxbxc0恒成破的充要条件是b0或c0.2b4ac012.真值表非或且真真真假真假假真真真假假假真真假假假真假13.稀有结论的否定方法原结论是反设词原结论反设词不是至多有一个至多有一个一个也不至多有两个全然上大年夜于小于不全然上不大年夜于不小于至多有至多有n个n个至多有n1个至多有n1个对所有x，存在某x，成破不成破pq或p且p或qq对任何不成破x，存在某成破x，且pq14.四种命题的互相

3、关系原命题假定那么互互逆逆命题假定那么互互否为为逆互否逆否否否命题逆否命题假定非那么非互逆假定非那么非15.充要条件1充分条件：假定pq，那么p是q充分条件.p，那么pqq2需要条件：假定是需要条件.p，那么p是q充要条件.3充要条件：假定pq，且q注：假定甲是乙的充分条件，那么乙是甲的需要条件；反之亦然.16.函数的单调性(1)设xxa,b,xx那么2121f(x)f(x2)1在f(x)a,b上是增函数；(xx)f(x)f(x)001212x1x2f(x)f(x2)1(xx)f(x)f(x)00f(x)在a,b上是减函数.1212x1x2(2)设函数yf(x)在某个区间内可导，假定f(x)0

4、，那么f(x)为增函数；假定f(x)0，那么f(x)为减函数.17.假定函数f(x)跟g(x)全然上减函数,那么在大年夜众定义域内,跟函数f(x)g(x)也是减函数;假定函数yf(u)跟ug(x)在其对应的定义域上全然上减函数,那么复合函数yfg(x)是增函数.18奇偶函数的图象特色奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，假定一个函数的图象关于原点对称，那么谁人函数是奇函数；假定一个函数的图象关于数是偶函数y轴对称，那么谁人函19.假定函数yf(x)是偶函数，那么f(xa)f(xa)；假定函数yf(xa)是偶函数，那么f(xa)f(xa).20.关于函数yf(x)(xR),

5、f(xa)f(bx)恒成破,那么函数f(x)的对称轴是ab;两个函数yf(xa)yf(bx)ab2函数xx与的图象关于直线对称.2a21.假定f(x)f(xa),那么函数yf(x)的图象关于点(,0)对称;假定2f(x)f(xa),那么函数yf(x)为周期为2a的周期函数.22多项式函数P(x)axaxn1na的奇偶性0nn1多项式函数P(x)是奇函数P(x)的偶次项(即奇数项)的系数全为零.P(x)的奇次项(即偶数项)的系数全为零.多项式函数P(x)是偶函数23.函数yf(x)的图象的对称性(1)函数yf(x)的图象关于直线f(2ax)f(x).xa对称f(ax)f(ax)ab(2)函数yf

6、(x)的图象关于直线x对称f(amx)f(bmx)2f(abmx)f(mx).24.两个函数图象的对称性(1)函数yf(x)与函数yf(x)的图象关于直线x0(即y轴)对称.ab(2)函数yf(mxa)与函数yf(bmx)的图象关于直线x对称.2m1(3)函数yf(x)跟yf(x)的图象关于直线y=x对称.25.假定将函数yf(x)的图象右移象；假定将曲线f(x,y)0的图象右移象.a、上移b个单位，掉丢掉函数yf(xa)b的图a、上移个单位，掉丢掉曲线bf(xa,yb)0的图26互为反函数的两个函数的关系1f(b)a.f(a)b11f(x)b,并不是27.假定函数yf(kxb)存在反函数,那

7、么其反函数为yk111kyf(kxb),而函数yf(kxb)是yf(x)b的反函数.28.多少多个稀有的函数方程(1)正比例函数f(x)cx,f(xy)f(x)f(y),f(1)c.xf(x)a,f(xy)f(x)f(y),f(1)a0.(2)指数函数fx(3)对数函数()logaxf(xy)f(x)f(y),f(a)1(a0,a1).,f(x)xf(xy)f(x)f(y),f(1)(4)幂函数,.(5)余弦函数f(x)cosx,正弦函数g(x)sinx，f(xy)f(x)f(y)g(x)g(y)，g(x)f(0)1,lim1.x0 x29.多少多个函数方程的周期(约定a0)1f(x)f(xa

8、)，那么f(x)的周期T=a；2f(x)f(xa)0，1或f(xa)(f(x)0)，(f(x)0),f(x)1或f(xa)f(x)12或f(x)f(x)f(xa),(f(x)0,1),那么f(x)的周期T=2a；21f(xa)(3)f(x)1(f(x)0)，那么f(x)的周期T=3a；f(x)f(x2)1(4)f(xx2)1f(a)1(f(x)f(x)1,0|xx|2a)，那么1212且1f(x)f(x2)1f(x)的周期T=4a；(5)f(x)f(xa)f(x2a)f(x3a)f(x4a)f(x)f(xa)f(x2a)f(x3a)f(x4a),那么f(x)的周期T=5a；(6)f(xa)f(

9、x)f(xa)，那么f(x)的周期T=6a.30.分数指数幂m1(1)a(2)ana0,m,nN，且n1.nammn1ma0,m,nN，且n1.an31根式的性质n(na)a.1nnn2当为奇数时，aa；a,a0a,a0nna|a|n当为偶数时，.32有理指数幂的运算性质rsrsaaa(a0,r,sQ).(1)(2)(3)r(a)a(a0,r,sQ).srsrrr(ab)ab(a0,b0,rQ).p注：假定a0，p是一个在理数，那么a表示一个判定的实数上述有理指数幂的运算性质，关于在理数指数幂都有用.33.指数式与对数式的互化式blogNbaN(a0,a1,N0).a34.对数的换底公式log

10、NmlogNa(a0,且a1,m0,且m1,N0).logamn推论logbnlogb(a0,a1,m,n0,m1,n1,N0).且且amam35对数的四那么运算法那么假定a0，a1，M0，N0，那么(1)log(MN)logMlogN;aaaM(2)logalogMlogN;aaNnlogMnlogM(nR).(3)aa2f(x)log(axbxc)(a0),记mb24ac.假定f(x)的定义域为36.设函数R,那么a0，且单独检验.0;假定f(x)的值域为R,那么a0，且0.关于a0的状况,需要37.对数换底不等式及其履行1a假定a0,b0,x0,x,那么函数ylog(bx)ax11(1)

11、当ab时,在(0,)跟(,)ylog(bx)为增函数.上axa1a1(2)当ab时,在(0,)跟(,)ylog(bx)为减函数.上，axaa推论:设nm1，p0，a0，且a1，那么log(np)logn.1mpm2mn22logmlognloga.aa38.平均添加率的征询题假定原本产值的基础数为N，平均添加率为p，那么关于时辰x的总产值y，有yN(1p)x.39.数列的同项公式与前n项的跟的关系s1,n1an(数列a的前n项的跟为saa2a).nnn1sns,n2n140.等差数列的通项公式*aa(n1)ddnad(nN)；n11其前n项跟公式为n(aa)n(n1)d21nsnna12d21

12、22n(a1d)n.41.等比数列的通项公式a1aaqn1q(nN)；n*n1q其前n项的跟公式为a(1qn)1,q1sn1qna,q11a1aqn,q1.或sn1qna,q1142.等比差数列aan1qad,ab(q0)的通项公式为:nn1b(n1)d,q1bq(db)qn1d,q1；nanq1其前n项跟公式为nbn(n1)d,(q1)d1qn)dsn.n,(q1)(b111q43.分期付款(按揭存款)ab(1b)n每次还款xan元(存款元,次还清,每期利率为b).n(1b)144稀有三角不等式1假定x(0,)，那么sinxxtanx.2(2)假定x(0,)，那么1sinxcosx22.(3

13、)|sinx|cosx|1.45.同角三角函数的全然关系式sinsin2cos21，tan=，tancot1.cos46.正弦、余弦的诱惑公式n2(1)sin,sin(n2(n为偶数)n12(1)cos,(n为奇数)(n为偶数)n(12cos(n)(n为奇数)2n1(1)47.跟角与差角公式sin()sincoscossin;sinsin;cos()coscostantantan().1tantansin()sin()sin2)cos2sin2(平梗直弦公式);cos()cos(sin2.22asinbcosabsin()(辅助角(a,b)的象限决=所在象限由点ba定,tan).48.二倍角公

14、式sin2cos2sincoscos22tan1tan2.sin22cos2112sin2.tan2.49.三倍角公式sin3cos33sin4sin33cos4sinsin()sin().334cos34coscos()cos().333tantan313tan2tan3tantan()tan().3350.三角函数的周期公式函数ysin(x)，xR及函数ycos(x)，xR(A,为常数，且A0，20)的周期T；函数ytan(x)，xk,kZ(A,为常数，且A20，0)的周期T51.正弦定理.abc2R.sinAsinBsinC52.余弦定理222abc2bccosA;222bca2caco

15、sB;222cab2abcosC.53.面积定理112121S2S(3)SOABahabhbchh、h、h分不表示a、b、c边上的高.cabc21112absinCbcsinA2casinB.21(|OA|OB|)(OAOB)22.254.三角形内角跟定理在ABC中，有ABCC(AB)CAB22C22(AB).2255.庞杂的三角方程的通解ksinxaxk(1)arcsina(kZ,|a|1).cosxax2kxkarccosa(kZ,|a|1).arctana(kZ,aR).tanxa特不地,有kk(1)(kZ).sinsincoscos2k(kZ).tantank(kZ).56.最庞杂的三

16、角不等式及其解集sinxa(|a|1)x(2karcsina,2karcsina),kZ.sinxa(|a|1)cosxa(|a|1)x(2kx(2karcsina,2karccosa,2karccosa,2karcsina),kZ.arccosa),kZ.cosxa(|a|1)x(2k2arccosa),kZ.tan(xaaR)x(karctana,k),kZ.2tanxa(aR)x(k,karctana),kZ.257.实数与向量的积的运算律设、为实数，那么(1)结合律：(a)=()a;(2)第一分配律：(+)a=a+a;(3)第二分配律：(a+b)=a+b.58.向量的数量积的运算律：(

17、1)ab=ba交换律;(2)ab=ab=ab=ab;(3)a+bc=ac+bc.59.立体向量全然定理假定e、e是一致立体内的两个不共线向量，那么关于这一立体内的任一向量，有且12只需一对实数、，使得a=e+e222111不共线的向量e、e叫做表示这一立体内所有向量的一组基底1260向量平行的坐标表示设a=(x,y),b=(x,y)xyxy0.，且b0，那么ab(b0)1122122153.a与b的数量积(或内积)ab=|a|b|cos61.ab的多少多何意思数量积ab等于a的长度|a|与b在a的倾向上的投影|b|cos的乘积62.立体向量的坐标运算(1)设a=(x,y),b=(x,y)，那么

18、a+b=(xx,yy).11221212(2)设a=(x,y),b=(x,y)，那么a-b=(xx,yy).11221212(3)设A(x,y)(x,y),那么ABOBOA(xx,yy).，B11222121(4)设a=(x,y),R，那么a=(x,y).(5)设a=(x,y),b=(x,y)，那么ab=(xxyy).1122121263.两向量的夹角公式x1xyy221cos(a=(x,y),b=(x,y).1122x12y12xy222264.立体两点间的距离公式d=|AB|A,BABAB(xx)(yy)2(x,y)，B(x,y).2(A2121112265.向量的平行与垂直设a=(x,y

19、),b=(x,y)，且b0，那么1122A|bb=axyxy0.1221ab(a0)ab=0 xxyy0.121266.线段的定比分公式设P(x,y)P(x,y)P(x,y)是线段PPPP1PP，那么2，的分点,是实数，且11122212x1x2xyOP1OP21OPy1y21111OPtOP(1t)OPt.1267.三角形的重心坐标公式ABC三个顶点的坐标分不为A(x,y)、B(x,y)、C(x,y),那么ABC的重心的坐112233x1xxyyy3).2312标是G(,3368.点的平移公式xxhxxhOPOPPP.yykyyk注:图形F上的任意一点P(x，y)在平移后图形FP(x,y)，

20、且PP的坐上的对应点为标为(h,k).69.“按向量平移的多少多个结论1点P(x,y)按向量a=(h,k)平移后掉丢掉点P(xh,yk).(2)函数yf(x)的图象C按向量a=(h,k)平移后掉丢掉图象C为yf(xh)k.C的函数分析式,那么(3)图象C按向量a=(h,k)平移后掉丢掉图象C,假定C的分析式yf(x),那么C的函数分析式为yf(xh)k.(4)曲线C:f(x,y)0按向量a=(h,k)平移后掉丢掉图象CC的方程为,那么f(xh,yk)0.(5)向量m=(x,y)按向量a=(h,k)平移后掉丢掉的向量仍然为m=(x,y).70.三角形五“心向量方法的充要条件设O为ABC所在立体上

21、一点，角A,B,C所对边长分不为a,b,c，那么2221O为ABC的外心2O为ABC的重心3O为ABC的垂心OAOBOC.OAOBOC0.OAOBOBOCOCOA.aOAbOBcOC0.4O为ABC的心田5O为ABC的A的旁心aOAbOBcOC.71.常用不等式：2ab22ab(当且仅当a,bR1ab时取“号=)aba,bR2ab(当且仅当ab时取“号=)23333abc3abc(a0,b0,c0).4柯西不等式22222(ab)(cd)(acbd),a,b,c,dR.5ababab.72.极值定理曾经明白x,y全然上正数，那么有1假定积xy是定值p，那么当xy时跟xy有最小值2p；12xy是

22、定值，那么当sxy2假定跟时积xy有最大年夜值s.422履行曾经明白x,yR，那么有(xy)(xy)2xy1假定积xy是定值,那么当|xy|最大年夜时,|xy|最大年夜；当|xy|最小时,|xy|最小.2假定跟|xy|是定值,那么当当|xy|最小时,|xy|最大年夜.|xy|最大年夜时,|xy|最小；2273.一元二次不等式axbxc0(或0)(a0,b4ac0)，假定a与22axbxc同号，那么其解集在两根之外；假定a与axbxc异号，那么其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.x1xx2(xx)(xx)0(xx)；1212xx,或xx21(xx)(xx)0(xx).12127

23、4.含有绝对值的不等式当a0时，有2xaxax2aaxa.xa22或xaxa.75.在理不等式f(x)0g(x)01f(x)g(x).f(x)g(x)f(x)0g(x)0f(x)0g(x)02f(x)g(x)或.f(x)g(x)2f(x)0f(x)g(x)g(x)03.f(x)g(x)276.指数不等式与对数不等式(1)当a1时,af(x)ag(x)f(x)g(x);f(x)0logf(x)logg(x)g(x)0.aaf(x)g(x)(2)当0a1时,af(x)ag(x)f(x)g(x);f(x)0logf(x)logg(x)g(x)0aaf(x)g(x)77.歪率公式yy12P1(x,y)

24、、P(x,y).k11222xx1278.直线的五种方程1点歪式yyk(xx)(直线过点P1(x,y)，且歪率为k)11l112歪截式ykxb(b为直线l在y轴上的截距).yy1y2y1x2x1xyabxx13两点式(yy)(P(x,y)P(x,y)(xx).、1211122212(4)截距式1a、b分不为直线的横、纵截距，a、b0)(5一般式AxByC0(其中A、B差异时为0).79.两条直线的平行跟垂直(1)假定l:ykxb，l:ykxb211122l1|l2l1l2k1k,bb;212kk121.(2)假定l:AxByC0,l:AxByC0,且A、A、B、B都不为零,1212111122

25、22A1BC1；A2BC22l|l211AABB0；l1l2121280.夹角公式k2k1|.|1kk(1)tan21(l:ykxb，l:ykxb,k1k21)111222A1BAB1|.|AABB22(2)tan1212(l:AxByC0l:AxByC0,AABB0).121211112222直线ll1l1与l的夹角是2时，直线2.281.l到l的角公式12kk1.2(1)tan1kk21(l:ykxb，l:ykxb,k1k21)111222ABAB1.122(2)tanAABB2121(l:AxByC0l:AxByC0,AABB0).121211112222直线ll1l1到l的角是2时，直

26、线2.282四种常用直线系方程(1)定点直线系方程：经过定点P0(x,y)的直线系方程为yyk(xx)(除直线0000 xx),其中k是待定的系数;经过定点P(x,y)的直线系方程为0000A(xx)B(yy)0,其中A,B是待定的系数00(2)共点直线系方程：经过两直线l:AxByC0l:AxByC0的交点,11112222的直线系方程为(AxByC)(AxByC)0(l)，其中是待定的系数除1112222(3)平行直线系方程：直线ykxb中当歪率k肯定而b变卦时，表示平行直线AxByC0平行的直线系方程是AxBy0(0)，是系方程与直线参变量(4)垂直直线系方程：与直线AxByC0(A0，

27、B0)垂直的直线系方程是BxAy0,是参变量83.点到直线的距离|Ax0ByC|0d(点P(x,y),直线l：AxByC0).002AB284.AxByC0或0所表示的立体地域设直线l:AxByC0，那么AxByC0或0所表示的立体地域是：假定B0，当B与AxByC同号时，表示直线l的上方的地域；当B与AxByC异号时，表示直线l的下方的地域.简言之,同号在上,异号不才.假定B0，当A与AxByC同号时，表示直线l的右方的地域；当A与AxByC异号时，表示直线l的左方的地域.简言之,同号在右,异号在左.85.(AxByC)(AxByC)0或0所表示的立体地域111222设曲线C:(AxByC)

28、(AxByC)0AABB0，那么1112221212(AxByC)(AxByC)0或0所表示的立体地域是：111222(AxByC)(AxByC)0所表示的立体地域上下两部分；111222(AxByC)(AxByC)0所表示的立体地域上下两部分.11122286.圆的四种方程1圆的标准方程(xa)(yb)r2.222圆的一般方程xyDxEyF0(D2E4F0).222xarcos3圆的参数方程.ybrsin4圆的直径式方程(xx)(xx)(yy)(yy)0(圆的直径的端点是1212A(x,y)B(x,y).、112287.圆系方程A(x,y)B(x,y)的圆系方程是(1)过点,1122(xx)

29、(xx)(yy)(yy)(xx)(yy)(yy)(xx)01212112112(xx)(xx)(yy)(yy)(axbyc)0,其中axbyc0是直线1212AB的方程,是待定的系数22(2)过直线l:AxByC0与圆C:xyDxEyF0的交点的圆系方程22是xyDxEyF(AxByC)0,是待定的系数2222(3)过圆CxyDxEyF0与圆CxyDxEyF0的交:111122222222点的圆系方程是xyDxEyF1(xyDxEyF)0,是待定的11222系数88.点与圆的位置关系点P(x,y)与圆(xa)(yb)r222的位置关系有三种00(ax)(by)22，那么00假定ddrP在圆外;

30、drP点在圆上;drP在圆内.点点89.直线与圆的位置关系直线AxByC0与圆(xa)(yb)r222的位置关系有三种:drdrdr相离相切0;0;0.订交AaBbC其中d.2AB290.两圆位置关系的判定方法OO2设两圆圆心分不为O，O，半径分不为r，r，12d121drr21外离4条公切线;drr21外切3条公切线;r1r2drr21订交2条公切线;drr2内切内含1条公切线;10drr21无公切线.91.圆的切线方程22(1)曾经明白圆xyDxEyF0(x,y)在圆上，那么切线只需一条，其方程是假定曾经明白切点00D(xx)E(yy)00 x0 xyy0F0.22D(xx)E(yy)00

31、(x,y)xxyyF0表示过两个切点当,圆外时000022的切点弦方程过圆外一点的切线方程可设为yyk(xx)，再使用相切条件求k，这时必00有两条切线，留心不要脱漏平行于y轴的切线歪率为k的切线方程可设为ykxb，再使用相切条件求b，必有两条切线(2)曾经明白圆xyr222过圆上的P(x,y)点的切线方程为xxyyr2;000002歪率为k的圆的切线方程为ykxr1k.x2y2a2b2xacos.ybsin92.椭圆1(ab0)的参数方程是x2y293.椭圆1(ab0)焦半径公式a2b2a22PF1e(x)，PF2e(ax).cc94椭圆的的内外部x2y22020 xy1点P(x,y)在椭圆

32、1(ab0)的内部1(ab0)的内部1.1.00a22b2a22b2222点P(x,y)在椭圆xyx0y000a2b2a2b295.椭圆的切线方程22xyx0 xyy01(ab0)上一点P(x,y)处的切线方程是1.(1)椭圆00a2b2a2b2x2y22过椭圆1(ab0)外一点P(x,y)所引两条切线的切点弦方程是a2b200 x0 xyy01.a2b2x2y2a2b23椭圆1(ab0)AxByC0与直线相切的条件是AaBbc2.222222xy96.双曲线1(a0,b0)的焦半径公式a2b2a2ca2cPF|e(x1)|，PF|e(2x)|.97.双曲线的内外部x2y2x0y022(1)点

33、P(x,y)在双曲线1(a0,b0)的内部1(a0,b0)的内部1.00a2b2a2b22x2y22x0y0(2)点P(x,y)在双曲线1.00a2b2a2b298.双曲线的方程与渐近线方程的关系x2y2x2y2a2b2ba(1假定双曲线方程为10yx.渐近线方程：a2b2xyabx2y2a2b2bxa(2)假定渐近线方程为0.y双曲线可设为x2a2b2y2x2y2a2b2(3)假定双曲线与1有大年夜众渐近线，可设为0，中心在x轴上，0，中心在y轴上.99.双曲线的切线方程x2y2ab2xxyy00(1)双曲线1(a0,b0)上一点P(x,y)处的切线方程是1.200a2b2x2y2ab22过

34、双曲线1(a0,b0)外一点P(x,y)所引两条切线的切点弦方程是002x0 xyy01.a2b2x2y2ab23双曲线1(a0,b0)与直线AxByC0相切的条件是2AaBbc22222.2y2px的焦半径公式100.抛物线p22抛物线y2px(p0)焦半径CFx0.p2p2过中心弦长CDx1x2x1x2p.2y2px上的动点可设为P(y,y)P(2pt,2pt)或(x,y)，其中22101.抛物线或P2py22px.b)24acb22102.二次函数yaxbxca(x(a0)的图象是抛物线：1顶2a4ab4acb2b4acb1)2点坐标为(,)(,；2中心的坐标为；3准线方程是2a4a2a

35、4a24acb1y.4a103.抛物线的内外部22y2px(p0).(1)点P(x,y)在抛物线y2px(p0)的内部00点P(x,y)在抛物线y22px(p0)的内部2y2px(p0).00(2)点P(x,y)在抛物线y2y22px(p0).2px(p0).2px(p0)的内部2px(p0)的内部00点P(x,y)在抛物线y2y20022(3)点P(x,y)在抛物线x2py(p0)的内部x2py(p0).x22py(p0).00点P(x,y)在抛物线x22py(p0)的内部0022(4)点P(x,y)在抛物线x2py(p0)的内部x2py(p0).00点P(x,y)在抛物线x2x22py(p

36、0)的内部2py(p0).00104.抛物线的切线方程2y2px上一点P(x,y)处的切线方程是y0yp(xx).(1)抛物线00022过抛物线y2px外一点P(x,y)所引两条切线的切点弦方程是y0yp(xx).000223抛物线y2px(p0)与直线AxByC0相切的条件是pB2AC.105.两个稀有的曲线系方程(1)过曲线f(x,y)0f(x,y)0的交点的曲线系方程是,12f1(x,y)f(x,y)0(为参数).2x2y2(2)共中心的有心圆锥曲线系方程1,其中kmaxa,b2.当222akbk222222kmina,b时,表示椭圆;当mina,bkmaxa,b时,表示双曲线.(xx)

37、(yy)22或106.直线与圆锥曲线订交的弦长公式AB12122222AB(1k)(xx)|xx|1tan|yy|1cot弦端点211212ykxbF(x,y)02A(x,y),B(x,y)，由方程0，0,消去y掉丢掉axbxc为直线1122AB的倾歪角，k为直线的歪率.107.圆锥曲线的两类对称征询题1曲线F(x,y)0关于点P(x,y)成中心对称的曲线是F(2x-x,2yy)0.00002曲线F(x,y)0关于直线AxByC0成轴对称的曲线是2A(AxByC),y2B(AxByC)0.F(x2222ABAB108.“四线一方程关于一般的二次曲线AxBxyCyDxEyF0，用xxx222代，

38、yyy20代，用0 x0yxy0代xy，用xxyy00 x代，用代即得方程y用222xyxy0 xxyy000AxxBCyyDEF0，曲线的切线，切点弦，中点002弦，弦中点方程均是此方程掉丢掉22.109证明直线与直线的平行的思索路途1转化为判定共面二直线无交点；2转化为二直线同与第三条直线平行；3转化为线面平行；4转化为线面垂直；5转化为面面平行.110证明直线与立体的平行的思索路途1转化为直线与立体无大年夜众点；2转化为线线平行；3转化为面面平行.111证明立体与立体平行的思索路途1转化为判定二立体无大年夜众点；2转化为线面平行；3转化为线面垂直.112证明直线与直线的垂直的思索路途1转

39、化为订交垂直；2转化为线面垂直；3转化为线与另一线的射影垂直；4转化为线与形成射影的歪线垂直113证明直线与立体垂直的思索路途.1转化为该直线与立体内任不时线垂直；2转化为该直线与立体内订交二直线垂直；3转化为该直线与立体的一条垂线平行；4转化为该直线垂直于另一个平行立体；5转化为该直线与两个垂直立体的交线垂直.114证明立体与立体的垂直的思索路途1转化为揣摸二面角是直二面角；2转化为线面垂直.115.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律(1)加法交换律：ab=ba(2)加法结合律：(ab)c=a(bc)(3)数乘分配律：(ab)=ab116.立体向量加法的平行四边形法那么向空间的履行始点一样

40、且不在一致个立体内的三个向量之跟，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以大年夜众始点为始点的对角线所表示的向量.117.共线向量定理对空间任意两个向量a、b(b0)，ab存在实数使a=bP、A、B三点共线AP|ABAPtABOP(1t)OAtOB.AB、CD共线且AB、CD不共线ABtCDAB、CD不共线.且AB|CD118.共面向量定理向量p与两个不共线的向量a、b共面的存在实数对x,y,使paxby推论空间一点P位于立体MAB内的存在有序实数对x,y,使MPxMAyMB，或对空间任肯定点O，有序实数对x,y，使OPOMxMAyMB.119.对空间任一点O跟不共线的三点A、B、C，称心OPxO

41、AyOBzOCxyzk，那么当k1时，关于空间任一点O，总有P、A、B、C四点共面；当k1OO时，假定面立体ABC，那么P、A、B、C四点共面；假定立体ABC，那么P、A、B、C四点不共A、B、C、D四点共面、AD与ABAC共面ADxAByACOD(1xy)OAxOByOCO立体ABC.120.空间向量全然定理假定三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量y，z，使pxaybzcp，存在一个唯一的有序实数组x，P，都存在唯一的三个有序实推论设O、A、B、C是不共面的四点，那么对空间任一点数x，y，z，使OPxOAyOBzOC.121.射影公式=跟轴，e是上与同倾向的单位向量.作A点在上的射影

42、AABallll曾经明白向量，作B点在l上的射影B，那么AB|AB|cosaa，e=e122.向量的直角坐标运算设a(a,a,a)b(b,b,b)那么，123123(1)ab(ab,ab,ab)；112233(2)ab(ab,ab,ab)；112233(3)a(a,a,a)(R)；123(4)abababab；331122123.设A(x,y,z)，B(x,y,z)，那么111222ABOBOA=(xx,yy,zz).212121124空间的线线平行或垂直rr设a(x,y,z)，b(x,y,z)，那么111222xx21rraPbrrrrab(b0)y1y2；zz21rrabrrab0 x1x

43、2yyzz0.1212125.夹角公式设a(a,a,a)(b,b,b)，那么，b123123a1b1aba3b322cosa，b=.a1aabbb322222223122222222推论(ababab)(aaa)(bbb)，此即三维柯西不等式.112233123123126.周围体的对棱所成的角周围体ABCD中,AC与BD所成的角为,那么2222|(ABCD)(BCDA)|.2ACBDcos127异面直线所成角rrcos|cosa,b|rr=|rabr|xxyyzz|121212x12y12z2x22y22z22rr|a|b|1o90为异面直线a,b所成角，a,b分不表示异面直线a,b的倾向向

44、量其中0o128.直线AB与立体所成角ABmarcsin(m为立体的法向量).|AB|m|129.假定ABC所在立体假定与过假定AB的立体成的角,另单方AC,BC与立体成的角分不是、,A、B为ABC的两个内角，那么12sin2sin2(sinAsinB)sin222.12特不地,当ACB90时,有sin2sin2sin2.12130.假定ABC所在立体假定与过假定AB的立体成的角,另单方AC,BC与立体,A、B成的角分不是ABO的两个内角，那么1、为2tan2tan2(sinAsinB)tan222.12特不地,当AOB90时,有sin2sin2sin2.12131.二面角l的立体角arcco

45、smn|m|n|arccosmn|m|n|或，为立体mn，的法向量.132.三余弦定理设AC是内的任一条直线，且BCAC，垂足为C，又设AO与AB所成的角为AC所成的角为，AB与1coscoscos，AO与AC所成的角为那么.221133.三射线定理假定夹在立体角为的二面角间的线段与二面角的两个半立体所成的角是,与二面212角的棱所成的角是，那么有sinsin2sin2sin22sinsincos;1212|180(1)(当且仅当290时等号成破).12134.空间两点间的距离公式假定A(x,y,z)B(x,y,z)，那么，111222222d=|AB|A,BABAB(xx)(yy)(zz).

46、212121135.点Q到直线l距离122h(|a|b|)(ab)(点P在直线l上，直线l的倾向向量a=PA，向量|a|b=PQ).136.异面直线间的距离|CDn|d(l,l是两异面直线，其公垂向量为n，C、D分不是l,l上任一点，d为1212|n|l1,l间的距离).2B137.点到立体的距离|ABn|d为立体nAB是经过面A的法向量，的一条歪线，.|n|138.异面直线上两点距离公式222hmn2mncos.dd222hmn2mncosEA,AF.222EAAF.dhmn2mncos(两条异面直线a、b所成的角为，其公垂线段AA的长度为h.在直线a、b上分不取两点E、F，AEm,AFn,

47、EFd).139.三个向量跟的平方公式2222(abc)abc2ab2bc2ca222abc2|a|b|cosa,b2|b|c|cosb,c2|c|a|cosc,a140.长度为l的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分不为l1、l、l，夹角分231、2不为,那么有32222222cos1sin2sin2sin23llllcoscos2.12312312立体多少多何中长方体对角线长的公式是其特例.141.面积射影定理SS.cos(立体多边形及其射影的面积分不是142.歪棱柱的直截面S、S，它们所在立体所成锐二面角的为).曾经明白歪棱柱的侧棱长是l,正面积跟体积分不是S歪棱柱侧跟V歪棱柱,它的

48、直截面的周长跟cS面积分不是,那么1跟1S歪棱柱侧c1l.V歪棱柱Sl.1143作截面的依照三个立体两两订交，有三条交线，那么这三条交线交于一点或互相平行.144棱锥的平行截面的性质假定棱锥被平行于底面的立体所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积对应角相当，对应边对应成比例的多边形是相的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比似多边形，相似多边形面积的比等于对应边的比的平方比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比145.欧拉定理(欧拉公式)；呼应小棱锥与小棱锥的正面积的VFE2(庞杂多面体的顶点数V、棱数E跟面数F).1E=各面多边形边数跟的一半.特不地,假定每个面的边数为n的多边形，那么

49、面数F1与棱数E的关系：EnF；212假定每个顶点引出的棱数为m，那么顶点数V与棱数E的关系：EmV.2146.球的半径是R，那么4R3,其体积V3其表面积S4R2147.球的组合体(1)球与长方体的组合体:长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长(2)球与正方体的组合体:.正方体的内切球的直径是正方体的棱长,正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长,正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.(3)球与正周围体的组合体:a的正周围体的内切球的半径为66a.4棱长为a,外接球的半径为12148柱体、锥体的体积1ShS是柱体的底面积、h是柱体的高.ShS是锥体的底面积、h是锥体的高.V柱体V锥体3

50、13149.分类计数情理加法情理Nmm21mn.150.分步计数情理乘法情理Nmm21m.n151.摆设数公式n！mn*.(n，mN，且mn)A=n(n1)(nm1)=(nm)！注:规那么0!1.152.摆设恒等式(1A(nm1)Anm1m;nn2AnmA;mn1nmmm13AnA;nn1nnn1nn4nAAA;n1m5Amn1AmAm1.nn(6)1!22!33!nn!(n1)!1.153.组合数公式mnAn(n1)(nm1)=n！mnN，mN，且mn).*C=(nmA12mm！(nm)！m154.组合数的两特征子CCnnmmn(1);=mm1m(2)CCn=C.+nn10C1.注:规那么n

51、155.组合恒等式1Cnmnm1Cnm1;mn2CnmC;mn1nmnC3Cnmm1n1;mn4C=2n;rnr05CCrrrrr1CC.nn1Crr1r2(6)CCCn201rCnn2nC.nnn(7)CCCn513CCCn4022n1.nnnn(8)C2C3Cn31n2nnCnnn2n1.(9)CCCCn1r0r10rrrCCC.mnmnmmn(C)(C)(C)202122(C)Cn2n(10).nnnn2n156.摆设数与组合数的关系mmAm！C.nn157单条件摆设以下各条的大年夜条件是从n个元素中取m个元素的摆设.1“在位与“不在位某特元必在某位有Anm11mnm1n1种；某特元不在

52、某位有AA补集思想1m1m1m1AA着眼元素种.m1n1AA着眼位置An1n1n12紧贴与插空即相邻与不相邻kkmk种.定位紧贴：k(kmn)个元在结实位的摆设有AAnknk1kA种.注：此类征询题k浮动紧贴：n个元素的全摆设把k个元排在一起的排法有Ank1常用捆绑法；插空：两组元素分不有k、h个kh1，把它们合在一起来作全摆设，k个的一hkAA种.hh1组互不克不迭挨近的所有摆设数有3两组元素各一样的插空m个大年夜球n个小球排成一列，小球必分开，征询有多少多种排法？nAm1nnC当nm1时，无解；当nm1时，有种排法.m1AnnC4两组一样元素的摆设：两组元素有m个跟n个，各组元素分纷歧样的

53、摆设数为.mn158分配征询题mnm集团，各得n件，其分配、个物件中分给1(平均分组有归属征询题)将相异的(mn)!(n!)mnmnnmnnnmn2nCCnnn2n方法数共有NCCC.mn个物体中分为无灯号或无次第的m堆，其2(平均分组无归属征询题)将相异的分配方法数共有nnn.CCnnnCCC(mn)!.mnmnnmn2n2nNm!m!(n!)m3(非平均分组有归属征询题)将相异的P(P=n+n+n)个物体分给m集团，物件12m必须被分完，分不掉丢掉nnnmnnnm个数互相不相当，那么，件，且，这1212m其分配方法数共有NCnp1n2pnp!m!.n!n!.nm!C.Cnmm!n1m124

54、(非完好平均分组有归属征询题)将相异的P(P=n+n+n)个物体分给m集团，12m物件必须被分完，分不掉丢掉nnnnnnm个数中分不有a、，件，且，这1b、c、个相当，那么其分配方法数有5(非平均分组无归属征询题2m12mCpnn2pn1.Cnp!m!1Cmm!nmN.a!b!c!.n1!n!.n!(a!b!c!.)m2P(P=n+n+n)个物体分为任意的n，1)将相异的12mn，n件无灯号的m堆，且n，n，n这m个数互相不相当，那么其分配方法数2m12mp!有N.n1!n!.nm!2P(P=n+n+n)个物体分为任意的n，16(非完好平均分组无归属征询题)将相异的12mn，n件无灯号的m堆，

55、且n，n，n这m个数中分不有a、b、c、个相当，2m12mp!n1!n!.n!(a!b!c!.)那么其分配方法数有N.2m7(限度分组有归属征询题)将相异的ppnn+n个物体分给甲、乙、丙，12m等m集团，物体必须被分完，假定指定甲得n1件，乙得n2n3n件，时，那么不论，1件，丙得n2nm个数是否全相异或不全相异其分配方法数恒有等m，p!NCnp1Cn2pn1.Cnn.mmn1!n!.nm!2159“错位征询题及其履行贝努利装错笺征询题:信封信与n个信封全部错位的组合数为nf(n)n!1112!3!4!(1)n1.n!履行:n个元素与n个位置,其中至多有m个元素错位的差异组合总数为1m2m3

56、m4mf(n,m)n!C(n1)!C(n2)!C(n3)!C(n4)!ppmm(1)C(np)!(1)C(nm)!mm1234CmpAnpmmAnmCCCCCm1m2mm(1)p(1)mn!1.AAAn2An4nn160不定方程xx+xnm的解的个数12n1Cm1(1)方程xx+xnmn,mN的正整数解有个.12n1Cnm1(2)方程xx+nxmn,mN的非负整数解有个.12(3)方程xx+xnmn,mN称心条件xik(kN,2in1)12n1的非负整数解有C个.(n2)(k1)m1x1+x+xmn,mNxkkN2in1)(4)方程称心条件(,2ni的正整数解有Cn1CC1n12n1n2n2n

57、1(1)CCn2m1(n2)kCC个.nm1n2mnk2n2mn2k3161.二项式定理(ab)CaCabCab2n0nn1nn12nn2CabrrnnrCb;nnn二项展开式的通项公式rnrrTr1Cab(r0，1，2，n).n162.等可以性状况的概率mP(A).n163.互斥状况A，B分不发生的概率的跟P(AB)=P(A)P(B)164.n个互斥状况分不发生的概率的跟P(AAA)=P(A)P(A)P(A)12n12n165.独破状况A，B同时发生的概率P(AB)=P(A)P(B).166.n个独破状况同时发生的概率P(AAA)=P(A)P(A)P(A)12n12n167.n次独破重复试验

58、中某状况偏偏发生k次的概率Pn(k)CP(1P)nk.kkn168.团聚型随机变量的分布列的两特征子Pi0(i1,2,);12P1P21.169.数学期望Ex1P1xP22xnPn170.数学期望的性质1E(ab)aE()b.2假定B(n,p),那么Enp.1pk1假定遵从多少多何分布,且P(k)g(k,p)qp，那么E(3).171.方差222pnDx1Ep1x2Ep2xnE172.标准差=D.173.方差的性质2(1)DabaD；(2假定B(n,p)，那么Dnp(1p).qk1(3)假定遵从多少多何分布,且P(k)g(k,p)qp，那么D.p2174.方差与期望的关系22DEE.175.正态分布密度函数2x1262fxe,x,，式中的实数，0是参数，分不表26示个人的平均数与标准差.176.标准正态分布密度函数x21fxe2,x,.26177.关于N(,2)，取值小于x的概率xFx.Pxxx2Pxx2Pxx110Fx2Fx1x2x1.178.回归直线方程yabx，其中179.相关系数nnxixyyxiynxyiii1i1bnn2.xnx22xixii1i1aybxnnxixyyixixyyii1i1r.nnnn(xx)2(yy)2(xnx)(yny2)222iiiii1i1i1i1|r|1，且|r|越濒临于1，相关程度越大年夜；|