数学建模第三章线性模型

1、第二章 线性规划模型 线性规划是数学规划中研究较早, 发展较快, 应用广泛的的一个重要分支, 也是数学模型中的一项重要内容. 它在生产安排、物质运输、投资决策、交通运输等现代工农业和经济安排、物质运输、投资决策、交通运输等现代工农业和经济管理等方面都有着广泛的应用. 我们知道, 在经济活动中提高经济效益一般可通过两个途径: 第一是加强技术方面的改造以降低生产过程中对资源的消耗从而降低制造成本; 第二是提高企业的管理, 即合理安排人力及物力，以降低企业的管理成本. 线性规划最早由前苏联数学家康托罗维奇首先提出, 1947年美国数学家丹齐克提出了解决线性规划的普遍算法单纯形方法；1947年美国数学

2、家冯. 诺依曼提出了对偶理论并开创了线性规划的许多新领域; 线性规划的研究成果推动了其他数学规划问题包括整数规划、随机规划和非线性规划的算法研究.一 、线性规划模型 一、模型的建立 我们从下面几个例子引出线性规划的模型. 问题一 某车间为其它部门生产200套钢管三脚架, 每套由长度为2.9、2.1、1.5米的钢管各一根组成. 已知原料钢管的长度为7.4米, 如何确定钢管的切割方案, 能使钢管的利用率最高. 分析 首先对长度为7.4米的钢管要确定合适的切割方案, 并使得每次切割后丢弃的原料尽可能少. 为此建立所有可能的切割方案:1.440080.831070.222061.10305030140

3、.911130.302120.11021余料1.52.12.9编号 以 表示在第 种方案下所使用的原料数, 则一个合适的切割方案表现为而衡量方案好坏的评价指标为在该方案下所丢弃的余料数, 即反映为余料函数由此得到该问题的数学表达式: 问题二 投资决策问题 某基金公司为扩展业务需要招聘部分基金经理. 在业务考试中, 考官提出了这样一个问题. 为公司制定一个五年期的投资计划. 项目可供选择：现已知有四个投资项目A: 于每年的年初可进行投资, 并于次年末完成, 投资收益为6%；项目B: 于第三年的年初进行投资, 并于第五年的年末完成投资, 投资收益为16.5%, 投资额不超过35万；项目C: 于第二

4、年的年初进行投资, 并于第五年的年末完成成投资, 投资收益为21.5%, 投资额不超过40万； 项目D: 于每年的年初可进行投资, 并于当年末完成, 投资收益为2.35%. 该公司现有资金120万, 试为该公司制定投资计划. 模型建立 以 代表年份, 分别表示4个项目, 表示在第 年对项目 的投资额. 显然, 每年的资金必须全部用于某些项目的投资. 由条件所设知每年可行的投资计划为第一年第二年第三年第四年第五年 投资收益函数为 由此得到该问题的数学模型 问题三 运输问题产地的产量分别为对该类物资, 有 个需并设求点, 分别记为 需求量为又从产地 到需求点 的单位运输成本为求相应的运输方案. 设

5、有一种物资, 它有 个产地, 记为 模型建立 设 表示从产地 到需求点 的运输量, 则合适的运输方案表现为对产量的要求对需求量的要求 而相应的目标函数为 由此得到相应的数学模型为 思考 一般情况下, 产销是不平衡的, 此时相应的模型将如何? 在上面例中, 目标函数及约束条件均为线性表达式, 故把这样的模型称为线性规划模型. 定义 如下的一组数学关系式即称为一个线性规划或线性规划模型 求解线性规划的传统解法是单纯形法. 但单纯形方法针 对的是线性规划的标准型, 为此引入标准型（典式）的概念. 定义 具有如下形式的线性规划为线性规划的标准型: 对于非标准形式的线性规划都可以经过适当的转换而化化为相

6、应的标准型.二、线性规划的解法 1.解的概念 设线性规划定义 设是 维实向量, 若 满足,则称 是线性规划的一个解;若解 满足, 则称其为规划的可行解; 可行解的全体称为可行域;使规划达到极值 的可行解称为线性规划的最优解,相应的目标函数值称为最优解值. 2.图解法 线性规划的图解法针对的是具有两个决策变量的线性规划问题. 设线性规划 求解过程建立合适的坐标系统;对约束条件 建立第 条直线 从而确定可行域;对等值线:由规划的类型确定等值线移动方向, 则最优解为等值线在移动过程中与可行域的最后交点. 例 求解规划最后交点移动方向解 由图中可以看到, 可行域为多边形区域 最优解为 最优解值为 3.

7、单纯形方法 设线性规划并进一步假定约束条件系数矩阵中中有 阶单位子矩阵. 单纯形方法解题步骤:1.建立单纯形表, 并保证在该表中基变量的价值系数为0.2.求出当前解, 并判定当前解是否为最优解. （当前解3.若当前解不是最优解, 则进行换基:则检验数行 为新价值系数的相反数行.的定义是基变量取右端的常数项, 非基变量取为零）.判定当前解是否为最优解的条件是确定进基变量 其中 由关系确定.确定出基变量 其中而 为第 行对应的基变量.以 为主元进行迭代, 目标: 主元化为1, 该列的其余4.重新进行判定.元化为零. （只能用行变换）注 线性规划的单纯性表 设线性规划为并且假设在约束条件系数矩阵中前

8、 个列向量为单位向量, 则相应的单纯形表为表中的 行是检验数行, 中的数是将 消为0后, 取负值后所得到的.例2 用单纯形方法求解线性规划.解 由前面讨论知原问题的单纯形表为此时, 当前解为由于 故当前解非最优解. 所以主元主元故最优解为 最优解值为检验数非负二、整数规划 在前面所涉及到的许多线性规划模型中, 很多情况下, 除了对变量有非负要求外, 有时甚至要求其取值为整数型的. 例如在问题一中, 变量 表示在第 种方案下所使用的原料钢管数, 则相应取值为非负整数. 这样的线性规划称为整数规划. 若线性规划中对变量的要求为部分整数型的, 这样的规称为混合型的. 在整数规划中, 舍弃决策变量的整

9、数限制, 所得到的规划称为原规划所对应的松弛问题. 求解整数规划并不能通过求对应的松弛问题的最优解再取其整数部分而求得. 求解整数规划的方法主要有分枝定界法和割平面法. 这里我们仅介绍分枝定界法, 有兴趣的读者可以参阅相应的书籍. 1.整数规划及分枝定界法 求解整数规划的的分枝定界法 设线性规格为整数.求出对应松弛问题的最优解, 若该解为整数解, 则该解也是原规划的最优解, 若该解不是整数解, 则进行分枝;设 不是整数解, 则最优整数解中的 必然满足因此将原问题分解成两个规划 为整数.及为整数.分别求出这两个规划所对应的松弛问题的最优解;若有一个分枝的解为整数解, 而另一个分枝的最优解的函数值

10、小于该整数解的函数值, 则将该枝剪去（定界）并由此得到原问题的最优解;若两个分枝对应的松弛问题的最优解都不是整数解, 则分别进行分枝, 继续求解.例3 求解整数规划且为整数.解 由单纯性方法得到松弛问题的最优解:注意到该解不是整数解, 取 进行分枝, 形成2个规划,规划且为整数.及规划且为整数.这两个规划所对应的松弛问题的最优解分别为 由于规划所对应的松弛问题的最优解值低于规划所对应的松弛问题的最优解值, 且规划所对应的松弛问题的解为整数解, 故规划舍去（定界, 剪枝）, 从而得到原规划的最优解为 2.01规划 整数规划中的一个特殊模型是01规划. 在引入01规划之前先看一个例子. 问题三课程

11、选修方案确定 某学校规定: 运筹学专业的学生毕业时至少学习过两门数学课, 三门运筹学课和两门计算机课. 这些课程的编号、名称、学分和所属类别如下表所示, 则毕业时学生最少可以学习这些课程中的哪些课程？又如果某个学生既希望选修课程的数量少, 而又能获得较多的学分, 那么他该如何确定他的选修课程计划？1,2计算机,运筹学2数学实验95运筹学2自动化控制8计算机4程序设计77计算机,运筹学3汇编语言61,2数学,运筹学3应用统计57数学,计算机3数据结构41,2数学, 运筹学3最优化方法3数学3线性代数2数学5微积分1先修课类别学分课程名称编号 建模 以 表示该学生选修课程号为 的课程, 而则表示未

12、选修该课程. 若希望课程数最少, 则目标函数为至少选修2门数学课的要求表现为关系平行可得其它约束条件, 由此得到关系再考虑对先修课的要求.例如要选最优化方法, 则必须先修微积分与线性代数, 从而有关系其它情况完全类似, 从而有约束条件组由此得到问题对应的数学模型:思考: 若该学生希望能得到较高的学分而课程数尽可能少,又该如何处理？ 在问题三中我们看到, 由于决策变量表示是否选修第门课程, 其取值只有0和1两种情况, 因而相应的规划称为01规划, 在实际问题中, 01规划出现的情况很多. 问题四 背包问题 某人爬山, 可携带的物品有 其重量为 价值为 又携带的物品的总重量不得超过 则该登山人该如

13、何确定其携带方案, 使价值为最高？ 这样的问题称为背包问题. 分析以 表示该登山人携带第 种物品件数, 则有问题的模型为该问题也可用动态规划的方法求解.为正整数.例 某仓库有一台载重为13t的卡车, 现要装运3种货物，问: 这三种货物各装多少,价值最大?这三种货物的重量和价值分别为， 01规划的常用解法称为隐枚举法. 3.指派问题与匈牙利方法 01规划中的一个重要形式是指派问题. 指派问题 设有 项工作, 交给 个人去完成, 各人完成每项工作的代价（成本）为已知的, 设第人完成第项工作的代价为. 规定每人只能完成其中的一项工作, 求相应的指派方案, 使完成这些工作的总代价为最小.（这样的问题就

14、称为指派问题. ）一个比较典型的指派模型为混合接力队员的选拔. 分析 引入变量 第 项工作由第 人去完成;第 项工作由他人完成.注意到每人只能完成其中的一项, 并且每项工作最多只有一人完成, 由此相应的约束条件为及而完成这些工作的总代价为由此得到指派问题的数学模型 指派问题对应的数学模型属于01规划的范畴, 可以用求解01规划的方法进行求解. 但求解相当繁琐, 匈牙利数学家考尼格（Konig）提出了解决该问题的新的算法, 因而该方法称为匈牙利方法. 该矩阵称为指派问题中的代价（成本）矩阵. 又引入矩阵该矩阵称为指派问题中的指派矩阵.为此首先引入矩阵 由指派条件, 矩阵中每行的元素只能有一个是1

15、及每列的元素至多有一个1, 其余元均为0. 这样的矩阵称为指派矩阵,对应的是某个指派方案. 例4 设指派问题中的代价矩阵为则下面的两个矩阵均可视为某个指派方案下的指派矩阵:相应的代价分别为 匈牙利方法 首先我们讨论指派问题中的特殊形式, 即 的情况.行缩减每行减去该行的最小数;列缩减每列减去该列的最小数； 判定是否有个独立的零. 若有，则在指派矩阵中对应独立的零的 取1, 其余的取0, 由此得到最小代价的指派方案;若没有个独立的零, 则进行下面的迭代过程在未被线划去的数中找最小数;未被线划去的所有数都减去该数, 除了两线的交叉点以外, 被线划去的数保持不变, 而交叉点的数再加上该数;继续判定.

16、例5 用匈牙利方法求解指派问题, 其中的代价矩阵为 解 首先进行行列缩减, 由此得到对上面的矩阵, 可以判定没有四个独立的零. 事实上, 用三条线可以将所有的零划去. 此时相应的最小数为2, 继续迭代有该矩阵中有4个独立的零, 因而对应的指派矩阵可取 即对应的指派方案为 而相应的最小代价为注 对 的指派问题, 可以通过增加零行或零列来进行转化.思考 若 且所有工作都必须完成, 同时至多只有一个人完成其中的两项工作, 该如何确定相应的指派方案?四、用Lingo软件求解线性规划 在前面的讨论中我们看到, 用手工算法求解一个线性规划问题, 即使算法再好, 对一个大型的线性规划问题, 也是相当困难的.

17、 这里我们介绍一个借助软件来求解线性规划的方法. 1.用Lingo软件求解线性规划问题 Lingo软件是由美国Lindo公司研制开发的, 用于求解线性规划和非线性规划的应用软件. 在Lingo官方网站上可以得到相应的下载软件, 目前的11.0版本支持Vista平台. 其特点是书写简便, 使用灵活.例6 求解线性规划解 启动Lingo,在主窗口中输入主窗口即注意表达式 执行Lingo菜单下的Solve命令, 得到问题的解 执行Lingo菜单下的Solve命令, 得到问题的解即问题的最优解为 最优解值为结果分析: 对于解代入到约束条件中, 此时条件1与条件3正好取等式, 这样的约束条件称为紧约束条

18、件, 一般相应的影子价格不为0.而变量的意义是该产品的价值不高, 没必要投入生产.例7 求问题一的解 问题一的规划为注意到问题中的变量应取整数, 故在程序中增加相应命令.指定变量为整数型问题的解为最优解值为 在上面的例子中可以发现, 当变量较多时, 这样的输入比较繁琐, 在Lingo中可以通过设置变量来简化输入过程, 我们以下面的简单例子来加以说明其用法.例8 求解线性规划相应的求解程序为运行后得到问题的最优解:例 用Lingo程序求解规划程序为 说明 Set的使用 Set命令是定义Lingo中的初始集, 基本格式为 Sets Setname/number_list :attributs_li

19、st; Endsets 例如下面命令定义了一个学生集：Sets: Students/1. .20/: Sex, Age;Endsets 模型中数据的定义 在Lingo中, 通过命令Data来定义模型中的数据. 其基本格式是Data： Attribute=value_lists；Enddata 数值计算 在Lingo中常用的数值计算函数有: 求和, 最大值, 最小值, 求平均值等. 例如求和命令sum格式 sum(set(set_index_list)|condition_qualified:expr). 其中condition_qualified是个可选参数. 循环 Lingo中的基本循环命令

20、是for. 格式 for(set(set_index_list)|condition_qualified:expr).例9 求解01规划 解 相应的Lingo程序如下运行后得问题的最优解例10 运输问题 有一连锁超市系统, 系统中4个存储站和10个门市部, 仓储站的库存量为196, 187, 179, 176; 10个门市部当前的需求量分别为75, 69, 72, 83, 66, 65, 74, 62, 81, 56, 从仓储站到门市部的运输成本如下表:4475568765478985754663875347694528567896787110987654321求相应的运输方案, 使总运输成本

21、为最小. 分析以 表示第 个仓储站的库存量, 为第 个门市部的需求量, 注意到以 表示第 个仓储站到第 个门市部的运输量. 则模型为并且注意到 为整数变量. 该规划共有40个变量, 可以看到用手工算法是相当困难的. 在Lingo下编制程序: 运行后得到问题的最优解为 最小成本为 即相应的运输方案为下表: 56000045000754000021216572003000734400069020816200018000110987654321例11 求解最小指派问题解 指派问题的数学模型为相应程序如下:求解后得到问题的最优解 最小成本为 五、应 用 应用一 资源分配 某公司安排职员的工作日程安排:

22、 一周中每天都需要一定数量的员工工作, 数量有差异. 每个员工一周连续工作五天, 休息两天. 公司对员工数量要求为下表:14周六19周五16周四15周三16周二18周一12周日所需员工数时间试确定该公司每天应聘用的职员数. 分析以 表示在周 开始工作的人数, 则问题的目标函数为约束条件为对每天员工数量的要求, 即对周一而言有由此得到问题的数学模型: 在Lingo中输入命令 运行后得到问题的最优解为下面这段程序给出了用循环的方式的求解命令. 应用二 货运问题 问题的提出要将7种规格的包装箱 装到两辆平8466978数量10002000400050010003000200064.052.048.7

23、72.061.352.048.7平板车上去, 包装箱的宽度和高度都相同, 但厚度及重量 不同. 下表给出了相应的数据 每辆平板车有 长的地方可以用来装箱（像面包那样排列）, 载重为 由于当地货运的限制, 对 三类包装箱的总数有相应的约束: 所占的空间不得超过试建立相应的数学模型, 将这些箱装到平板车上, 并使浪费的空间为最小. 分析 所有货物的重量之和为 而两辆车的装哉能力为 故货物不能全部装车, 所以应选择一个合适的装运方案, 使货尽可能地多装, 而且浪费的空间为最小. 问题的关键是确定各车的运输方案. 模型建立 记 表示第 辆车装运 种箱的个数以 表示 的厚度, 则目标函数为 约束条件有:

24、 对箱数的约束 对重量的约束:厚度约束: 对 的约束:得到问题的最优解为所占空间为用Lingo软件对该问题进行求解: 问题的求解程序为最优解为注 该问题的解不唯一. 应用三 手术安排问题 某大医院向社会提供各种不同的医疗服务, 为获得最好的社会效益和经济效益, 医院必须优化其资源配置. 如果资源配置不是最好的, 则可能存在有的资源使用率低, 而有的资源使用过度的情况. 以下面提供的外科手术数据为例, 试建建立一个能够帮助医院改善其资源配置, 提高效益的的数学模型.手术类型分为三类: 简称为大手术（例如心脏搭桥手术）, 中手术（例如胃切除手术）和小手术（例如阑尾手术）. 每种手术所需的人数和费用

25、如下表:手术主刀医师麻醉师配合医师器械护士大3112中2111小1101手术巡回护士所需时间平均费用大21天3万中2半天1.6万小15个/天3千资源数据表 现在医院的人员基本情况如下: 高级医师21人, 普通医师44人. 只有高级医师才可以充当1.假定各种外科手术的病人足够多, 如何安排每天的日常手2.若做手术的病人分布不均, 如大手术并不常见, 而小手术大, 中手术的主刀医师. 护士100人, 其中只有60人可以充当器械护士, 麻醉师30人.手术使得其经济效益最高?则可能较多, 要求做小手术的病人在手术完成之前一直占据着医院的床位, 如若床位有限, 小手术要求一周内完成, 3.充分考虑社会效

26、益和经济效益, 如何在原来的计划上作否则病人要求转院. 问如何制定一个医院的每周手术安排计划?尽可能小的调整, 满足急症病人的需要. 问题分析 在第一种情况下, 需要确定各种手术方案, 目标是使得 设 是每天进行的大手术的人数, 是每天进行的中手手术的人数, （为使问题简单, 是实际进行中手术的人数, ） 是进行小手术的人数. 则目标函数为相应的收益达到最大, 而并不考虑实际情况. 因问题假设是有足够多的病人可供选择. 再考虑资源的要求:高级医师: 假设小手术中由高级医师主刀的有 个, 而有普通医师主刀的有 个, 普通医师: 麻醉师: 器械护士: 护士总需要:另外, 所有的 都必须取正整数.

27、由此得到相应的数学模型为为非负整数.由Lingo程序, 得到该问题的解总收益为 单位: 万元.结果分析: 在这样的安排下, 大手术没有安排（想一下原因是什么?） 高级医师进行的都是中手术. 中手术一共完成了20个. 小手术安排了100个, 均是由普通医师主刀的. 此时医师的使用情况是: 高级医师20, 普通医师30, 麻醉师30. 器械护士30, 巡回护士40. 2.在第1种情况下, 没有安排大手术, 这显然不合理. 由于大手术并不多见, 故可以考虑在周末安排一到两个大手术. 如果尽安排一个大手术的情况下, 相应问题的解为:总收益为 单位: 万元. 对小手术的安排, 不妨可以规定: 在需要进行

28、小手术的病人住院后, 5天内一定要安排手术. 对结果的分析, 可以发现, 开刀医生资源并没有充分利用. 造成这一现象的关键原因是麻醉师不够（当然还得考虑病区内有值班医师和护士的存在）. 但如果从增加效益的角度来说, 提高社会效益和医院效益的一个方法是增加法是增加麻醉师.例如当把麻醉师的数量从30增加到35人时, 相应问题的解为总收益为 单位: 万元.不断改变麻醉师的数量, 可以发现当麻醉师数量上升到45总收益为 单位: 万元.人时, 解不再变化. 问题的解为应用四 易拉罐下料问题 问题 某公司采用一套冲压设备生产一种罐装饮料的易拉罐.这种易拉罐是用镀锡板冲压而成的. 易拉罐为圆柱形, 包括罐身

29、、上盖和下底, 罐身高上盖和下底的直径均 为 该公司使用两种不同规格的镀锡板原料: 规格1的镀锡板为正方形, 边长为规格2的镀锡板为长方 形, 长和宽分别为 和 由于生产设备和生产工艺的限制, 对于规格1的镀锡板原料, 只可以按下图中的模式1、模式2和模式3进行冲压; 对于规格2的镀锡板原料, 只能按模式4进行冲压.使用模式 1、2、3、4进行冲压时, 每次所需要的时间分别是 该工厂每周工作每周可供使用的规格1、规格2的原料分别为5万张和2万张.目前每只易拉罐的利润为元, 原料余料损失为 问工厂应如何安排生产?上盖罐身下底 问题分析 本问题的关键是确定每种模式下的余料损失！ 由已知条件得各种模

30、式下的余料损失如下: 模式1 10个盖子的面积 一个罐身的面积 余料损失为 将4种模式下的数据整理如下罐身个数盖的个数余料损失冲压时间模式1110222.61.5模式224183.32模式3016261.81模式445169.53 模型建立 以 表示第 种模式下的冲压次数, 表示一周生产的 易拉罐个数,表示不配套的罐身个数,表示不配套的罐盖个数, 并视这些变量为连续变量.要点！ 目标函数浪费的余料数和面积相乘 约束条件 时间约束 原料约束 配套约束 由此得到规划模型 由于约束条件1,2的常数过大, 所以简化后得到: 在Lingo下求解该规划.输入下面语句:运行后的结果为 即问题的最优解为六、用

31、MatLab求解线性规划 设线性规划为 基本格式例 求解规划解 将问题转化为相应的标准形式, 则有此时输入语句结果为即原问题的最优解为不能省略!也可以简写成例 求解规划解 输入下面语句运行结果为例 求解线性规划解 输入下面语句运行结果为七、非线性规划 在上面诸节中讨论了线性规划和几类特殊的线性规划整数规划及01规划和相应的解法. 所谓线性规划实际上是指数学规划中的目标函数及约束条件表达式均为线性关系. 但实际问题中所对应的数学规划其表达式很可能不是线性关系式. 在微积分课程中我们大量遇到该类问题. 首先我们看两个简单例子.例12 将边长为的正三角形剪去三个全等的四边形（如图所示）, 然后将其折

32、起, 做成一个无盖的正三棱柱, 当图中的 取何值时, 该盒子的容积为最大 解 盒子的高为 底面面积为故相应的体积为求导后并令其为零, 得所以再注意到,即函数在该点取极大值, 又因驻点唯一, 故该点一定是最大值点. 该模型是个非线性规划，一般称为无约束的优化问题.例13 某工厂要用铁板做成一个体积为2的有盖长方体水箱. 问当长, 宽, 高各取多少时, 所使用的原料最省？ 设长方体的三边长分别为则水箱的表面积为此为问题的目标函数. 而相应的约束条件为由此得到问题的数学模型为 这样的问题称为有约束的最优化问题. 一个标准的无约束的优化问题可以写成而有约束的优化问题可以写成 问题 砂石运输问题. 设有

33、 立方米的砂, 石要由甲地运到乙地, 运输前需先装入一个有底无盖并在底部装有滑行器的木箱中. 砂石运到乙地后, 从箱中倒出,在继续用空箱装运. 不论箱子大小, 每装运一箱, 需0.1元, 箱底和两端的材料费为20元/米2, 箱子两侧的材料费为5元/米2, 箱底的两个滑行器与箱子同长, 材料费为2.5元/米. 问木箱的长宽高各为多少米,才能使运费与箱子的成本费的总和为最小. 建模 设木箱的长宽高分别为 运费与成本费的总和为 则目标函数为 若在上述问题中, 箱子的底与两侧使用废料来做, 而废废料只有4平方米, 则问题为:在上面问题中, 目标函数与约束条件中的每一项可表达成 的形式（其中的 为整数）

34、 , 数学上将其称为广义多项式, 相应的规划称为几何规划.当系数为正数时, 规划称为正项几何规划. 非线性规划解法例1 求解非线性规划解1 图解法最优解为解2 用Lingo软件求解最优解为 无约束非线性规划解法简介 无约束非线性规划一般可写成其中 解法 1.求 的梯度 2.令梯度 解出 的驻点3.验证 在该点的Hessian矩阵是否为正（负）定的, 若成立, 则该点为函数的极小（大）值点.例 求函数 的极小点.解 的梯度为令 则驻点为 函数的Hessian阵为注意到该矩阵为正定阵, 因而该点为极小值点. 注意到此方法只有对一些特殊的函数才有效. 一般情况1.给出 的极小点 的一个初始估计值 称为初始2.如果 已求得, 并且不是极小点, 设法选取一个方向（该方向称为搜索方向）, 使目标函数 沿该方下, 要求出函数的驻点是比较困难的. 下面我们简单介绍求解