2012ghx第九章非线性控制系统二

1、前期回顾非线性特性的普遍性非线性特性的特殊性：线性叠加原理不适用典型的非线性特性前期回顾：相轨迹和相平面图相平面 f(x,x) 0 x二阶系统平衡点=0,x”=0求一组非全0初始条件 下的时间解x(t)及其变 化率x(t)相轨迹对时间的导数系统的时间解前期回顾：相轨迹的求解和绘制x f(x,x) 0法求相轨迹相轨迹方程相轨迹的绘制斜率方程k(相轨迹的奇点,x)奇点也是平衡点。,x) 0 称P(x在P(x , x )处的斜率k(, x )为奇点。003. 相轨迹的对000 x0据斜x率x0）关于纵轴对称，关于横轴对称，关于原点对称4. 相轨迹的5. 相轨迹通过轴的斜率dx f(x,x)dxx前期

2、回顾：等倾斜绘制相轨迹等倾斜的步骤如下：)1. 按斜率方程，得到等倾线方程： k f(x,x斜率为kA在相平面图上绘制等倾线；在等倾斜线上各点用一个斜率为k的带小箭头的短线画出相轨迹的切线方向；从给定的起始点A开始，按照等等倾线斜率倾线的斜率kA画短斜线，表明相轨迹在该点的；5. 遵照相轨迹的规律，沿A点绘制相轨迹到下一点B，按照等倾的斜率kB画短斜线；线6. 依此类推，绘制完整的相轨迹。前期回顾：线性系统的三种典型相轨迹对x 2x 2x 0研究非全0初始条件下的系统运动如何得到这些相轨迹？特征根为负实部共轭复根特征根为共轭虚根特征根为两个负实根前期回顾：基于奇点（平衡点）特征绘制相轨迹草图奇

3、点（平衡点）附近线性化：f() 0f(x,x) f(目的：方程(没有常数项)xbxax 0s2+bs+a=0说明：不在原点的奇点可坐标平移移到原点。一对实数根：对应相轨迹和渐近线前期回顾：典型相轨迹鞍点：一正、一负实根稳定焦点：负实部共轭复根稳定节点：两个负实根不稳定节点：两个正实根中心点：共轭虚根不稳定焦点：正实部共轭复根从相平面图上如何看稳定？是否收敛于奇点（平衡态）9.2 相平面法2极限环极限环是相平面图中一条孤立的封闭相轨迹，有三种类型：(1) 稳定极限环：极限环内外两侧的相轨迹均呈螺旋状地渐近地趋近极限环，对应于系统的自持振荡。(2) 不稳定极限环：环内外两侧的相轨迹均呈螺旋状地从极

4、限环离开，这种极限环是不稳定的9.2 相平面法xxM(3)半稳定极限环：环内外一侧相轨迹渐近地趋近极限环，而另一侧的相轨迹从极限环离开。0txMxxMt0Mx极限环的稳定和平衡点的稳定不是一个概念9.2 相平面法例9-5试研究如下二阶非线性系统（单摆）的奇点和稳定性。 0(9 - 26)解：x f()令 此时) 0，( x, 0， sinx求奇点 0，（平衡 x i, 即对于所有 i 0,1,2.，有f(i,0) 0点）轴上点(i,0)都为系统奇点。z在(z, ) (0,0)处附近级数展开，z f(z,(z, ) 0 2zzzz 0z 0（2l, 0）均为稳定焦点。z 0z 0情况1：奇点为(

5、2l, 0)，变换z x 2l将方程在 x轴上奇点 (2l, 0)坐标平移到原点，即z f(z, ) 2 sin( z 2l)特征方： 2z 0 p 1 1 81, 22 7 0.5 j2 0.5 j1.32299.2 相平面法仿真图 2z 0z特征方：（(2l+1), 0）均为鞍点。情况2：奇点为(2l 1), 0)，变换z x (2l 1)将方程在 x轴上奇点(2l 1), 0)坐标平移到原点，即z (z, ) 2 sin( z (2l 1)在(z, ) (0,0)处附近级数展开，(z, )z f(z, )z 0 2z zzz 0z 0z 0z 0 p 1 1 8 1 3 11, 222

6、2单摆:d2d小范围：线性系统fllmg Mmldt2dt大范围：非线性系统，出现复杂动力学行为相图表明：？d2dml fl mgsin M dt2dt单摆初态及其后续变化相平面法分析二阶非线性系统大多数非线性控制系统所含非线性特性是分段线性或可用分段线性特性近似。相平面分析法分析系统时,一般采用“分区 衔接”法,根据线性分段情况,用几条分界线(转换线)把相平面分成几个线性区域。导出各区线性微分方程(微分方程转换)。根据初始条件和系统状态变化连续性依次画 出相应区的相平面图。9.2 相平面法9.2.5例9-6非线性控制系统的分区考虑含有饱和非线性特性的控制系统， T0, K0，试分析阶跃输入作

7、用下系统的运动。解：(1) 饱和非线性特性的数学描述：e 1,3,I区II区 III区 3e,e 1,(9 - 27) 3,e 1,(2) 线性环节的微分方Ty y Kx(9 - 28)设阶跃输入为：r(t) R 1(t)r r 0,又由于e r y，将关于x,y的动态方程转换为关于e的动态方程？Tee Kxx Trr 0(9 - 29)e 1,3,I区II区 III区x 3e,9.2 相平面法Tee Kx 0e 1, 3,e 1,分析：I区x 3时，Tee 3K 0当e 3K时，斜率为0，直线；当e 0时，相轨迹垂直通过 e轴；上半平面e 0, 斜率为负关于e的动态方程 4)下半平面e 0,

8、相变量方程：3K e时，斜率为正e 3K时，斜率为负5)相轨迹斜率与 e无关，所有相轨迹都是某一相轨迹水平 移动的结果，形状相同。e e1e T (e 3K)相轨迹方程：3Kde 1e 3K：e 6)等倾斜线方(9 - 32)kT 1edeT系统在I区无奇点e 1,3,I区II区 III区x 3e,9.2 相平面法Tee Kx 0e 1, 3,e 1,相变量方程：II区相轨迹方程：e ex 3e时，1e 3Kede Tee 3Ke 0 1ee T (e 3Ke)deT分析：(1) 标准的线性系统相图， 原点对称，奇点(0,0)f(e, ) f(e, e)3K：e (2) 等倾斜线方e(9 -

9、36)kTT 1： Ts2 s 3K 0(3) 特征方(9 - 37) 1 1 12KT 11p1 12KT1,22T2T2T(a)当KT 1 12 时，两个负实根，相轨以非振荡方式接近于稳 定节点(0,0) (b)当KT 1 / 12时，实部为负的共轭根以振荡方式接近于稳定 焦点(0,0)迹，e 1,3,I区II区 III区x 3e,9.2 相平面法Tee Kx 0e 1, 3,e 1,III区(1) x 3，Tee 3K 0(4) 与I区的相轨迹方程比较：(5) 等倾斜线方3K：de 1e 3Ke kT 1(9 - 42)edeTI区与III区的相轨迹关于原点对称。(2) 相变量方程：e

10、e1e T (e 3K)(3) 相轨迹方程：de 1e 3K(9 - 41)edeT系统在I区无奇点如何看稳、快、准？稳：？e=0?能否回到横轴xx012沿哪条轨迹更快到达纵坐标？x准：？能否回到原点e=0?饱和限幅r(t)=31(t)线性系统r(t)=31(t)用相平面分析法分析二阶系统:初始条件和微分方程转换c(0 ) c ,c(0 ) cC(s)K00,s(Ts X(s)1)TccKxr r01(t)(2)r v0t1(t)t 0 时,r r ,r r 0t 0 时,r v,r 000r(0 ) r ,r(0 ) 0r(0 ) 0,r(0 ) v00初始条件的变化对系统会产生什么影响？e

11、(0 ) e(0 ) r ce(0 ) e(0 ) 0-c000cv -c000e r c v c c v e00e r c c c e r c c c e r c c c eee不改变动态方程(整个系统的相平面图)改变起始点位置可导出e的方程:可导出e的方程:Te e Kx 0Te e Kx v0相轨迹绘制、分析的要点列写线性部分的微分方程和非线性部分的分段线性关系；利用微分方程转换关系，得到转换后的分段线性微分方程，指明各分区的范围；对各分区分别进行奇点、相轨迹类型的分析；依据初始条件，说明从起始到终止各分区的切换情况；说明最终终止的位置及其前提条件，稳态误差情况；说明动态响应变化情况；图

12、的绘制要点：分区，各区奇点及特征线，切换点，重点描绘由初始条件起始的那条线。补充内容bxc0相平面图的八种类型当b 0,c 0: b(x c) 0b令x c ,则bb;有（ bx 0bb(x 0,x 0)bb为奇点，即x c , 0)b为奇点。当b 0时:相平面图的八种类型 bx c 0(7)x ax 0,(c 0), p1 0,p2 a;ax a相迹为斜率 a、互相平行的直线.横轴上任一点均可为奇点(平衡点)。b 0,(8)c 0,相平面图的八种类型 bx c 0 c 0,ax c (a c )线: ca 0时,x c 为相迹和相迹渐近线a特殊二阶线性系统的相轨迹微分方程缺项(x)时，相轨迹

13、有直线是否全是直线，取决于常数项特殊二阶线性性系统的相轨迹特殊二阶线性性系统的相轨迹9.2 相平面法例9-7不灵敏区的存在导致带有死区的饱和非线性特性情况(T0, K0) ，试分析阶跃输入作用下系统的运动。解：系统非线性部分的描述为：e 1 ,3,I区3(e ), e 1 ,II区 e ,0,III区(9 - 43)de1T相轨迹斜率： 3(e ), 1 e ,IV区de系统在III区无奇点，相轨迹均为斜率为-1/T的直线 3,e 1 ,V区I、II、IV和V区的情况分析与例9- 6类似，这里考虑III区的情况.： Te e 0(9 - 44)系统方相轨迹最终沿III区相迹转移到(,)横轴段任

14、一点终止,ess 09.2 相平面法例9-8考虑具有滞环继电器非线性特性的控制系统，T0,K0,d0,试分析斜坡输入作用下系统的运动 .解：系统的非线性部分描述为:e d, e 0,e d, e 0,e d, e 0,e d, e 0,3,I区 3,II区II区 (9 - 47) 3,3,I区按 的取值分区动态方程一样e-e相平面上如何分区？T Kxy线性环节的微分方：(9 - 48)当r vt时，有r v，r 0，且e r - y，Tee Kx Trr v(9 - 49)9.2 相平面法相轨迹方：I区,系统方：de 1e 3K vx=3,Te e 3K v 0edeT分析：当e 3K v时，

15、斜率为 0，水平线；当e 0时，相轨迹垂直通过 e轴；上半平面I区内有e d, 斜率为负下半平面I区内有e d,e (3K v),斜率为正e (3K v),斜率为负5) 相轨迹斜率在I区内与e无关，各相轨迹形状相同。：e 3K v6) 等倾斜线方kT 17) 系统在I区内无奇点9.2 相平面法相轨迹方：II区,x=-3,分析：系统方：de 1e 3K vTe e 3K v 0edeT1) 当e 3K v时，斜率为 0，直线；当e 0时，相轨迹垂直通过上半平面II区内有e d, e 3K v, 斜率为负 e 3K v, 斜率为正下半平面II区内有e d, 斜率为正e轴；5) 相轨迹斜率在 II区

16、内与e无关，各相轨迹形状相同。出现一稳定极限环,系统周期振荡。3K v：e 6) 等倾斜线方kT 17) 系统在II区内无奇点9.2 相平面法9.2.6例9-9利用非线性特性改进控制系统的动态性能考虑控制器含有非线性增益的控制系统，T0,K0，确定k的取值范围，并分析恒值控制和速度随动控制两种情况下系统的运动。解：非线性部分的数学描述为：x 3e,e e0 ,I区II 区(9 - 58)ke,e e ,k0：yT y Kx线性环节的微分方 e r - y，在I区内系统误差方程：Tee 3Ke Trr(9 - 59)在II区内系统误差方程：Tee Kke Trr(9 - 60)（1）e e0时，

17、选择较大的系统增益，为什么？使系统具有较小的阻尼，获得快速性。系统的闭环特征方程： Ts2 s 3K 0(9 - 61)恒值控制情况，设r(t)=R。2 3K T，2 1 T，nn已选定的关系 x 3e应使 112KT 1，对应的奇点(0,0)为稳定焦点；（2）e e0时，选择较小的系统增益，使系统接近临界阻尼，防止过大超 调，要求 k 3.系统的闭环特征方程： Ts2 s Kk 0(9 - 62)2 Kk T，2 1 T，可取k 1 / 4KT, 有 11，4KkTnn趋近于稳定节点 (0,0).特征方程有两个负实根 k 3, k 1 / 4KT，根轨迹以非振荡方式系统稳定吗？稳态误差是多少

18、？9.2 相平面法Tee 3KeTee KkeTrr TrrTee 3Ke Trr9.2 相平面法Tee Kke Trr对于速度随动控制，设r(t)=R1(t)+vt。3Ke v Te e 3K e v Te e 03K x e,e e ，I区0I区相图是以原点为稳定焦点的相图向移v/3K个;Kke v Te e Kk e v Te e 0Kk x ke,e e ，II区0II区相图是以原点为稳定节点移v/Kk个的相图向；系统稳定吗？稳态误差是多少？9.2 相平面法速度随动控制r(t)=R1(t)+vt ，变增益非线性Tee Kke 0, e e，II区vTee 3Ke 0, e e，I区v3

19、K 00Kk两个奇点当v Kke 时， II区0奇点可实现，(v/Kk，0)为稳定节点稳态误差和输入有关当v 3Ke0时，I区奇点可实现，(v/ 3K, 0)为稳定焦点。当Kke0 v 3Ke0时，两个 方程奇点不可实现，相轨迹在I区与II区之间往返并逐渐向转换线与横轴的交点(e0 ,0)点接近。9.3 描述函数法相平面法二阶系统分析？描述函数：用一次谐波响应近似表征非线性元件特性的函数。非线性环节特性的近似线性化。（输出和输入同频率：一次谐波）高次谐波对输出的影响可忽略时。适用于非线性程度较低的对象。描述函数法的目的：分析非线性控制系统的稳定性，特别是系统的自激振荡（周期运动）。1s+19.

20、3 描述函数法9.3.1 描述函数与谐波线性化描述函数：用一次谐波响应近似表征非线性元件特性的函数。 A12(t)=Xsint, 0输入：y(t) cos ktd(t)k(Ak coskt Bk sin kt)1输出：y( B20y(t) sin ktd(t)0kk1 YB2A2 A Y0k1sin(kt )kkkkk arctan AkkBk设非线性特性对称于原点，则A0=0 。一次谐波分量：y1 (t) B1 sin t Y1 sin(t 1 )(9 - 70)非线性元件的描述函数N定义为本章仅考虑不包含储能元件的非线性元件，此时，描述函数只是输入振幅的函数，而与输入信号的频率无关，记为N

21、(X) 。YA2 B2AN 1 11 arctan 1(9 - 71)1B1输出的一次谐波分量：y1 (t) A1 cos t B1 sin t Y1 sin(t 1 )输入：x(t)=Xsint,9.3 描述函数法10G( j) 例9-13图9-33(a)所示的非线性三阶控制系统j( j 1.5)( j 1)要求：1、G(s)具有很强的低通滤波作用。（高阶系统）2、对于该幅值和频率的正弦波，非线性环节放大倍数正好为1/G(j) ， 且不能产生直流分 仅剩量1次。谐波r 0G(s)与非线性环节组合对该特定幅值和频率的正弦波的放大倍数为-1，即此时 c=-e。9.3 描述函数法9.3.1 描述函数与谐波线性化采用描述函数法条件：（ 1）原点对