2021-2022学年高二物理竞赛课件：能带理论基础

1、能带理论基础能带理论基础能带理论是目前研究固体中电子运动的主要理论基础，是在上世纪初量子理论确立之后，在用量子力学方法研究金属电导理论过程中开始发展起来的。 最初的成就在于定性地阐明了晶体中电子运动的普遍性特点，例如说明了固体为什么会有导体、绝缘体。 特别值得一提的是，恰好在这个时候半导体开始在技术上应用，能带论正好提供了分析半导体理论问题的基础，有力地推动了半导体技术的发展。 到五六十年代，由于实验工作的重大发展，提供了大量的实验数据，而且由于大型高速计算机的应用，使能带理论的研究从定性的普遍规律发展到对具体材料复杂能带结构的计算。 除Si、Ge第一代半导体外，相继发展了GaAs、InP等第

2、二代半导体和GaN、ZnO等第三代半导体。6.1 能带理论的基本假设固体实际的晶体都是由大量的电子和原子核组成的多粒子体系，而且电子与电子，电子与原子核、原子核与原子核之间存在着相互作用，因此，要获得电子的运动状态，必须求解多粒子体系的薛定谔方程严格求解如此一个多粒子体系的薛定谔方程是不可能的，必须对方程进行简化。一、绝热近似把电子系统与原子核分开考虑的处理方法 由于电子质量m远小于原子核质量，电子速度远大于原子核的速度，因此在考虑电子的运动时，可以认为原子核是不动的。因此，可以认为电子是在原子核产生的，固定不动的势场中运动的粒子。 因为在结合成晶体时，价电子状态的变化最大，而内层电子状态变化

3、最小，所以可以把内层电子和原子核看成一个离子实，离子实总是围绕其平衡位置做微小振动，但在零级近似下，晶格振动的影响可以忽略，价电子可以看做是在固定不动的离子实势场中运动，这样一个多粒子问题就简化为多电子问题。 （是玻恩和奥本海默在讨论分子中电子状态时首先引入的） 方程中的第二项为0，适当选择势能零点，使第四项也等于0，电子系统的的薛定谔方程简化为二、平均场近似多电子系统的薛定谔方程仍不能精确求解，因为每一个电子的运动不仅与其自身的位置有关，而且还与所有其它电子的位置有关。为了进一步简化，可以用一种平均场来代替价电子之间的相互作用。即假定每一个电子所处的势场均相同，从而使每个电子与其它电子之间的

4、相互作用势能仅与该电子的位置有关，而与其它电子的位置无关，引入势能函数函数Ui(ri)代表电子i与其它所有电子的相互作用势能。还可以将电子与核之间的相互作用势能改写为函数ui为第个原子核对第i个电子的作用势能， ui为所有原子核对第i个电子的作用势能。在上述近似下，每个电子都处在同样的势场中运动，用表示第i个电子的哈密顿算符电子系统的薛定谔方程为使一个多电子问题变成一个单电子问题单电子近似由于每个电子都满足同样的薛定谔方程，可略去下脚标i，得其中是离子实对电子的作用势能，具有与晶格相同的周期性，而U(r)代表一种平均势能，是一个恒量，因此V(r)应具有晶格的周期性。6.2 周期性势场中单电子状

5、态的一般性质一、布洛赫定理布洛赫指出，处于周期性势场作用下的电子，其波函数被晶格周期性势场所调制，将变成由一个周期性函数所调制的平面波。布洛赫定理：对于周期性势场则单电子薛定谔方程的本征函数可以写为其中布洛赫波具有晶格周期性由布洛赫定理知说明：处于晶格周期性势场中的电子，在各个原胞中对应点上出现的几率相等。电子可以看作是在整个晶体中自由运动，称为共有化运动。布洛赫定理也可以表示为二、布洛赫定理的证明布洛赫定理也可表示为势场的周期性反映了晶格的平移对称性，即晶格平移任意格矢量时势场是不变的，引入描述这些对称操作的算符T1,T2,T3。它的定义为(1) 对于任意函数f(r)有T1,T2,T3是彼此对易的平移任意晶格