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1、粒子在二维势场2粒子在二维势场中运动，其中 为粒子质量，求能量的本征值和本征函数。关键：两维问题，消去相互作用 ，用一维方法求解分析：（1）写出哈密顿量（2）做变量代换（3）写出新的哈密顿量3其中（4）给出体系的本征能量（5）给出体系的本征函数其中4（6）换成原变量的本征函数其中5求解粒子能量本征值和本征函数； 质量为 的粒子被约束在半径为 的圆周 上运动。 (1)设立路障，进一步限制粒子在 的一段圆弧上运动，m提示：模型圆周运动的一维无限深势阱 写出无障时任意时刻的波函数利用初始条件 理解粒子的状态变化是个渐变过程(2)设粒子处于情况(1)的基态，求突然撤去路障 后粒子仍然处于最低能量态的几

2、率。0(2) 0 2(0) 6简解：0(2) 0 2(0) （1）在路障内，在路障外，定态方程为类比于一维无限深势阱（宽度为 ）其归一化解为相应本征能量为7（2）求粒子仍然处于最低能量态的几率此最低能量态必定是新体系的最低能量态。此新体系是什么体系？平面转子！其定态能量和波函数为由此写出任意时刻波函数利用初条件 求出展开系数，从而得到处于基态的几率 8 质量为 的粒子处于一维谐振子势场 的基态 ，某时刻弹性系数 突然变为 , 即势场变为 。求此时刻粒子处于新势 场 的基态 的几率。m简解：思路同上题。写出新体系任意时刻的波函数，其初时刻的波函数就是 ，求相应展开系数即可。分析：对于一维谐振子，

3、新体系任意时刻波函数用 表示利用初条件，得出9由此得出所以故粒子仍然处于基态的几率为其中10要具有确定的宇称，必有如何确定c值？利用正交关系得故如何求能级E1，E2之差？看S-方程从而有11化简后，有将最后所得波函数代入上式，可得12关键：等效方法 将长度变量变为角度变量 会使用相应函数的跃变条件 一质量为 的粒子在一圆周（周长为 ）上 运动。如果还存在 函数势 请求出系统的所有能级和相应的归一化波函数。解：圆周运动的定态方程为 关键是 如何表示。 13由题目所给条件 考虑如何 已经知道x是弧长，显然有 ，但 而我们知道 代入圆周运动的定态方程，有 如何求解？ 0（2）0（2）2（0）借助势垒问题，分区求解比较容易。 140（2）2（0）充分利用波函数的边界条件和波函数导数的跃变条件求出上述系数。在 处，波函数连续，波函数导数跃变 在 处，波函数导数连续 可分别得到系数ABCD满足的三个方程 15从而得到 B=-A

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