广义切比雪夫滤波器的标准综合技术

1、广义切比雪夫滤波器的标准综合技术滤波器的设计方法有很多种，现代滤波器设计多采用网络综合法。图 1给 出了网络综合法设计滤波器的流程图，网络综合法以网络的衰减以及相移函数 为基础，利用网络综合理论，先求出集总元件低通原型电路(再由频率变换函 数，可变换为带通滤波器电路)，然后将集总元件原型电路中的各元件用微波 结构来实现，本文介绍的是滤波函数选择广义切比雪夫滤波函数的网络综合 法。图1:网络综合法设计滤波器流程图所谓分析(Analysis )就是由具体的电路结构求出其结果的过程，所谓综 合(Synthesis )就是由结果反推至电路结构的过程。工程上滤波器都是要根据 客户给的指标来设计的，所谓的

2、指标主要是指衰减指标( Attenuation )。所以 在设计滤波器的过程中，往往需要先根据指标确定结果(通常指的是S参数的模值)，然后根据所求得的满足指标的S参数结果确定电路结构，此过程称为滤波器的综合。对于广义切比雪夫滤波器，其滤波函数使用的是广义切比雪夫 滤波函数(Generalized Chebyshev Filtering Function ), 一般可以通过改 变滤波器的阶数N以及传输零点(Transmission Zero , Tz)的位置来使得滤波 器的响应满足指标，也就是说广义切比雪夫滤波器的阶数与传输零点确定了， 其响应也就确定了。如何由指标确定阶数与传输零点，现在通常使

3、用手工确定 然后在优化调整的方法，工程上一般在客户给出的指标的基础上加5dB的余量，然后通过改变阶数与传输零点的数量和位置来使得滤波器的响应(即 S参 数)满足加有余量之后的指标，最后再由该响应综合得出微波电路的物理参 数。在滤波器综合的过程中主要分为三步：由指标综合出阶数与传输零点的数 量、位置(手工加优化确定，此时确定的是归一化低通原型频率的传输零点位 置)；由阶数与传输零点的数量、位置综合出S参数(特征多项式的综合)；第1页共21页最后由特征多项式综合出耦合矩阵(耦合矩阵的综合)；最后由耦合矩阵综合 出具体的滤波器物理参数。耦合矩阵的综合过程需要使用导纳参数 Y作为桥梁，即使用电路模型得

4、出 一个导纳参数 Y,再根据所得到的特征多项式(S参数)得到另一个导纳参数 Y,最后令两者相等得出耦合矩阵，这样就求得了具有所需要响应的电路模型， 然后再根据电路模型指导设计实际滤波器结构。滤波器综合过程中最重要的一 步就是耦合矩阵的综合，虽然耦合矩阵是由电路模型得出来的，但是它可以和 实际的微波结构一一对应上，耦合矩阵有助于快速设计以及调试滤波器。一、滤波器的特征多项式滤波器是一个无耗的互易的二端口网络，其必满足无耗互易二端口网络具 有的特性。在信号与系统中，通常使用的是复频变量(7，这样做更具有普遍性。虽然我们习惯使用复频变量s，但是在实际中我们看到的往往是 TOC o 1-5 h z ，

5、在 工 8之间变化。对于一个负载终端网络(图 2),其内部 含有电感、电容两种器件，那么策动点函数输入阻抗将可以表示为两个关于sF(s)E(s)的多项式之比的形式：z(s)=n(s)/d(s),对于S参数我们知道Si表示的是端口 1的反射系数，通过传输线理论可知，反射系数与输入阻抗有如下关系 ：S (s) _ 4s) - 1 _ n(s) - d(s)11z(s)1n(s)d(s)于是，S1也可以表示成为两个多项式之比的形式。根据能量守恒公式_ _ * _ _ *G1(s)1(s)S21(s) S21(s)= 1可得:S2/s)Ps) _ *E(s) E(s)* *=F(s) F(s) Ps)

6、 Ps)此时得到了滤波器的三个特征多项式E、F、P,确定任意两个可以通过能量守恒公式确定第三个。确定了这三个特征多项式，S参数也就确定下来了。需要注意的是，为保证网络可以实现，E(s)必须为严格的赫尔维茨(Huruitz )多项式，其根必须分布在s的左半开平面内。图2:负载终端滤波网络I owiess (I CTransmissionINeiwortt第2页共21页对于广义切比雪夫滤波器，我们定义:F( s) / ；RP( s) /S#s): S21(s):E(s)21E(s)由能量守恒:*9*9P(s)P(s) / ； = E(s)旦s) 一 F(s)F(s) / ；R阳与二用于归一化F、P

7、,是实常数。名用于归一化滤波器通带内的最大幅 值，可以在特定的s下由P/E计算得出。大用于归一化多项式F、E使其为首1 多项式（最高次项系数为 1） o通常特征多项式可写成由根组成的因式相连乘 确定的多项式，如此构成的多项式满足此条件，当 nfz小于N的时候，由 S11（s）S11（s） +S21（s）S21（s） = 1可以得出在s趋于无穷的时候（假设 F、E是首 1多项式）=1。当nfz等于N的时候，同样可得在s趋于无穷的时候（假设 F、E、P是首 1 多项式），名R=/J?二11。由于无源滤波网络无耗，E应为N阶（相同于滤波器阶数）严格的赫尔维 茨多项式（由无源滤波网络决定的），其复系数

8、为a、e、.、eN, F为N阶多项式，其复系数为f0、f1、.、fN, P为nfz阶多项式，nfz小于等于N,否 侧当频率趋于无穷的时候 S21趋于无穷，这是不可能的。多项式根的个数等于其 阶数，对于广义切比雪夫滤波器而言，F的N个根（S1=0）全落在虚轴上（这是由广义切比雪夫函数决定的），表示的是传输极点；P的nfz个根（&1=0）必须落在虚轴上或者是关于虚轴成对出现（这是由无耗互易网络决定的），表 示的是传输零点。传输零点定义为 &1=0的点，分为两类：.无穷远的：由于P的阶数比E的阶数少而产生的传输零点，由于 P为nfz阶多项式 E为N阶多项式，当s =产的时候，&1=0,此时6=好处有

9、N-nfz个传输零 点。（不可见）.有限位置的：P关于虚轴对称的一对复零点或位于实轴上的一对零点。（不可见）P位于虚轴上的传输零点。（可见）广义切比雪夫滤波器相对于传统切比雪夫滤波器而言最大的优势在于其引 入了有限位置传输零点，切比雪夫滤波器无论广义还是传统都有N个传输零点，传统切比雪夫滤波器的 P=1, nfz=0,具有N个无穷远的传输零点，而广义 切比雪夫滤波器引入有限位置处的传输零点，无论是关于中心频率对称还是非 对称分布，是位于虚轴上还是关于虚轴成对出现，图 3展示了广义切比雪夫滤 波器有限传输零点的可能分布状况（虚轴上的有限位置传输零点有助于提高带 外抑制，实轴上的或是复数的关于虚轴

10、对称的传输零点有助于改善群时延）。图3:有限位置传输零点的可能分布状况第3页共21页下面推导满足无耗互易条件的二端口滤波网络其特征多项式应满足什么条 件。二端口网络的S参数定义如下(a、b是归一化的入射、反射电压波)：1 s12i a1b2 -.S21 S22 -a2 _对于无耗网络，S参数满足幺正性，能量守恒方程：Si(s)Si(s)S2i(s)S2i(s) = 1一 一 一一 - .* 一 一 一一Sz/ss)Si/s)Si2(s)=1以及唯一正交方程：SlOSijS)S21(S)S22(S)= 0对于互易网络Sl2=S21,因此有：Sii(s)Sii(s)S2i(s)S2i(s) - 1

11、一 ，、-，、* . ，、-，、* Sz2(s)S22(s)S21Szi(s) = 1S1i(s)S21(s)S21(s)S22(s)= 0S参数写成幅度相位的形式(S1i=S1ieHl,S2i =S2iejdl)S22=S22eja2),由能量守恒公式可得到1sli =S221，|Si|2+|S2i|2=i,由唯一正交公式可得到：S11 ej 电，S21 e，. + |S21 ej g. S11 e402 = 0S11 S21(ej 佃4)+ ej(&)= 0即:-1)由于S参数可写成特征多项式之比的形式:第4页共21页S#s)=”s)=Fii(s)/；RP(s) / S2i( s)二 TO

12、C o 1-5 h z E(s)2iE(s)P(s)/； a-F22(s)/ ；R S22(s)二E(s)22E(s)并且它们都拥有共同是分母E(s),将E(s)的相位设为a(s), Fii(s)、F22(s)的相位设为8nii(s)、en22(s) , P(s)的相位设为&2i(s),有：$s)- %2i(s) - R(s),口i(s)- ii(s) q(s)%(s)-22(s)-n(s)- 71n 2i( s )，nii(s),册 223)2=j(2k . i)此时有：不管s如何变化，特征多项式的相角必须满足上式，这就有了限制条件：i.对于频率由负无穷变化至正无穷的过程中(s在虚轴任意位置

13、)，要求 Bn2i(s)的相角为2/兀整数倍，故P的零点要么位于虚轴上，要么关于虚 轴对称成对出现。2.对于频率由负无穷变化至正无穷的过程中，9nii(s)+6n22(s)/2的相角为2/冗整数倍，故Fii(s)的零点与F22(s)的零点关于虚轴对称分布。由限制条件2可得Fii(s)与F22(s)根的关系：s22i = -siii TOC o 1-5 h z NN而 F22(s) = (s -s22i ), Fii(s) = (s - siii )，可得(s = j 切)： i曰i WNF22(s ) = s s22iNN*NN 一 ，、*-JI. I is - siii=(-i) III ;

14、s - siii =(-i) Fii(s)图4:无耗互易网络的特征多项式相角限制条件第5页共2i页当N为奇数的时候，可得：0n22（S）= -0nii（S）+ Nn由公式：.s）J2”2八1）N此时Bn2i（S）满足公式：-0n2i（S）+万=5（2 k 1）由于S21的有限传输零点个数为nfz,而且这些零点要么位于虚轴上，要么 关于虚轴对称成对出现。故0n21（s）满足公式：.,、 nfz 二,入21（s） = 2k1二由上述两个公式可得:nfz 二 1N 二 k1 -：二(2 k _ 1)2122nTCN - nfz -(二=-(2k . 1)不难发现，当N-nfz为奇数的时候上式左边与右

15、侧相同，但是当N-nfz为偶数的时候，为了满足无耗互易网络的特征多项式相角限制条件，“21（s）必须加上2/n ,等同于此时P要乘以j （在由根的因式连乘表示出之后乘以j）。N 为偶数的时候可得出相同的结论。二、广义切比雪夫滤波器特征多项式的综合广义切比雪夫滤波器特征多项式的综合指的是根据广义切比雪夫滤波器的 阶数N以及传输零点的位置（数量为 ND确定特征多项式E、P、F的过程。先 nfz由阶数N以及传输零点个数及位置确定 P =口 f）,再由广义切比雪 n=1夫滤波函数确定F,最后由能量守恒定律确定 E。应注意：在进行特征多项式综 合的过程中，我们往往是先得出这几个多项式的根，再由这些根来构

16、造多项式 的，故三个特征多项式可写成如下的形式（它们都是首 1多项式）：P(s)=1s - sp,1s-sp,2 s - sp,Nz, ：- = 1或jF(s) = :is -sf ,1 s - sf,2 . s -sf,NE(s)is-se,1 s-se,2 .s -se,N前文知滤波器的S参数可表示为多项式之比的形式:F()/ ；RE()邑（）P( ) / ;E()1. 10RL/1 - 1P()F( ) /假设多项式都为首1多项式，定义滤波函数:第6页共21页F( ；：j )Cn( J S ( )S (、*P( JR ).-T.一 Cn9) I1 + J Cn9)名R21( )21( )

17、；2e( ,)e(.)* y1 -j滤波函数是广义切比雪夫函数的滤波器称为广义切比雪夫函数滤波器。广 义切比雪夫函数定义为：NCn( ) = cosh 、,1- 1 / n8sh-，匚f其中，霜是传输零点的位置，若N个传输零点都在无穷远处，2侬)=6 , 此时广义切比雪夫滤波函数退化为切比雪夫滤波函数：Cn( -)=cosh |N cosh j( )归纳特征多项式的综合步骤如下:nfz第一步：由R6)= 口侬 % ),n 1R (在nfz小于N的时为1)、110RL/10-1 F(s) / Wr求出P、 口1(需注意N-nfz为偶数的时候P应乘以J)第二步：由 Cn(c)=誉，Cn(b) =

18、cosh cosh，(xn(。)求出 P( 1)|l_n A,J第三步：求出P、F、.、名后由能量守恒:P(s)P(s) /= E(s)日s) F(s)F(s) / -确定E的根(取左半开平面 内的)。现简要介绍第二步，根据恒等式:cosh1 x = ln( x + 4x2 - 1), cosh x1x . x、=-(e e )2化简广义切比雪夫函数Cn(。)：取an1=xn9)、bn = (x?8)T ,得 a/ - bn2 = 1 ,有:1 NNCn(=-n+bn )+-bn )，再将 X/C =8 - 1 / 8n 代入 an与 bn1 - - / - .n中，计算可得:第7页共21页C

19、n(：.-；)= 一2）f（s）丽其中 cn =(6 1 / con 卜 dn = 6“1 _ 1 / s； 其中6 Mo2-1 ,取 Cn(。)的 分子：1Num Cn( ) = ； Gn( -) Gn(-)Gn( )N=Jll(cnn 1 -Un( )Vn( .)Gn( )=Un( )Vn( .)采用是否含有纯的变量6来定义Un()、Vn(0)：Un( ) = u0u1 u2 2 HI uN N2NVn( ) 7 No . vr. V2 HI Vn-然后进行递归计算，先由叫计算,由G9）分离变量0、/得出“切、MM再由眄、外、8n依次递归计算出G0）、G（M、.、8）从而 计算出 （。卜

20、山即、.、un（m以及v）、巾0）、.、vn（m此过程可交由 计算机处理（ 1999,参考文献1）,注意：6之变量是纯的缶变量。最终：一 _-|1一_，-11 一，Num9） = - Gn（即 +6（切）1 =万 Un（o） + Un（o） +Vn（co） +Vn（co） = UJo） 可得：特征多项式F的根与Un（M的根相同，然后由这些根可构造出特征多 项式F （我们构建特征多项式的时候都是根据根来确定的，这样做可以使得特 征多项式为首1多项式）。应注意此时综合出来的 S参数是低通原型频率的 S 参数，其中心频率为0,起始频率（start frequency ）与终止频率（stopfrequ

21、ency ）分别为-1与+1。这是因为我们在进行特征多项式综合的时候最先 得到的零点位置（也就是 P的根，是得出P的关键）是使用低通原型频率表示 的，将来还需要进行频率变换得出实际的带通滤波器的S参数响应。使用低通原型频率表示的S参数更具有普适性（适用于任何中心频率及带宽的带通滤波 器）。在综合有限Q值滤波器的传输、反射响应的时候，s = j co不再是仅在虚轴 上变化了，而是应该引入一个正实因子仃使得s + j 0。此时当频率由负无穷变化至正无穷的时候，s不再位于虚轴上了。这样导致的结果是使得S参数波形的拐角由尖锐变得圆滑，特别是在边带下降快速的地方尤为明显。由于第8页共21页有限Q值的影响

22、，可能会使得边频处的带内插入损耗过大，从而满足不了指 标，工程上解决的办法是适当的拓展带宽（特别是在实零点个数多、离通带近的 那一侧）。图5:有限Q值对S参数带来的影响40II.WO11 MO 11 I ZOOT T2.02012,0 1ZMCFig wcr(M珥o D 36io11.曲 ll.ftTD H.gBO 11gMQ 1000 1JJ5W 12- 1?jO3O i工ZO Frsquoncy (MH*由卜一f01.Qi，卅,+，皿上4 口口 生=BW Q （仃的计算公式，Qu为无载Q值，f0为带通滤波器中心频 率，BW为绝对带宽） 三、广义切比雪夫滤波器耦合矩阵的综合耦合矩阵的重要性在

23、于它是连接理想 LC滤波电路模型与实际微波滤波结构 的桥梁，具有明显的物理意义（理想 LC滤波电路之所以无法运用在微波频段主 要是由于在微波频段无法找出集总的电容电感）。耦合矩阵可以直接与微波滤 波器（无论是同轴、微带还是波导等结构的滤波器）的物理结构一一对用上（如图6）,可以指导我们设计调试滤波器。由第二节广义切比雪夫滤波器特征多项式所求得的S参数是关于低通原型频率的，需要频率变化至带通。公式如下：s - j其中 =而总 为带通滤波器的中心频率（注意：中心频率不是在通带的正中间，在带宽宽的时候偏离正中间更明显），以为起始频率,。2为终止频第9页共21页率，物为起始频率。将上节求出的 S参数中

24、的s使用上式代替就可的得出实际 的带通S参数。低通原型频率到带通频率的转换公式为：0 带通中心频率带通频率0 带通中心频率 I仍低通原型频率=g带通终止频率一 &带通起始频率|_切带通中心频率&带通频率此公式亦可将低通原型频率的零点位置（可见的虚轴上的P、F的根）转换至实际频率处。下面先介绍综合N阶耦合矩阵的步骤（1999,参考文献1）,然后介绍现在 工程上常用的耦合矩阵综合的步骤（2003,参考文献2）,图7展现了由特征 多项式综合N+2阶耦合矩阵的过程（N阶耦合矩阵类似）。N阶耦合矩阵（仅存 在交叉耦合）最多可产生 N-2个有限位置传输零点，N+2阶耦合矩阵（还存在 源/负载耦合）最多可产

25、生N个有限位置传输零点（有限位置传输零点的最大个 数）。图6: N+2阶耦合矩阵与波导滤波器物理结构的对应关系5*MN*&11陶鬻n只Manlnt oolc ingFukJwJ 5 couptong mfiiblji 即Mheais LCrass-coupfing (negdllvE j峰 Woutpuit F = m加gX XX痴融附惘GHWtjf tkrirnji ofiwtTRecortfigjrakan d / oou0llngi matrii图7: N+2阶耦合矩阵的综合过程第10页共21页B(s)RsRl产RC(s):As) B(s) I _qs)qs)下面介绍N阶与N+2阶耦合矩

26、阵综合通用第一步：由特征多项式得出 Y参 数。这里要使用ABCD巨阵作为桥梁，先通过 S参数得出对应的ABC辱数再由 ABC或数确定与其对应的Y参数。若二口滤波网络（图1）端接未归一化的电阻，则其 ABCD巨阵可表示为：-iABCD )jP(s)/ ;如果端接电阻归一化:r -1ABCD =其中，由第一节确定的二口滤波网络的S矩阵与ABCD巨阵的关系为:Si2(s)=S2i(s)P(s) / ； _ 2P(s) / ；E(s); As)B(s)C(s)D(s)Sn(s)F(s)/ ；rE(s)A(s)B(s) - C(s) 一 Rs)A(s)B(s)C(s)D(s)S22(s)(-1) F(S

27、) / ；REsiD(s) B(s) 一 C(s) A(s)As) B(s) C(s) D(s)接下来要确立 A(s)、B(s)、C(s)、D(s)与特征多项式的关系，需要区分奇 偶阶因为在N为奇数或偶数的时候 A(s)、B(s)、C(s)、D(s)的系数的虚实性(指的是常数项是纯虚数还是纯实数)不一样。N为偶数的时候：2NA(s)= j Im e0 f0Ree13sj Im e2 f2s |jIm6nTns2222llN NB(s)= Re efojIme13sRe e2f2 s|ReeN TnsC(s)= Re e -fjIm号-3sRee? -f? s2|ReeNnsN2ND(s)= j

28、 Im e0fReefsj Im e2f2s |jImeN - TnsN为奇数的时候：A(s) = Re efojIme1fsRe e2f 2 s2|j1meNf nsNB(s) = j Im e0f0Ree1f 1sj Im e2 f2 s2|lReeNf nsN2NC(s) = j Im e0- fRee-fsj Im e2- f2 s IIIReeN-f nsD(s) = Re e -fjIme-fsRe e2 -f2 s2|jImeN-TnsN第11页共21页jP(s)/ e与fi为特征多项式E、F /曲的复系数。这些多项式不但满足前文给出的 二口滤波网络的S矩阵与ABCD巨阵的关系还

29、满足第一节推导出的无耗互易网络 的关系。该二端口滤波网络的Y参数可表示为:Yli(s) Yi2(s)I _1-yi1n(s)Yl2n(s)I721(S)y22(S)jYd(S)了21n(S) 丫22n(S)j根据ABCD巨阵与Y矩阵的关系可得出Y矩阵与特征多项式之间的直接联 系：Yii(s) yi2(s) I _1 Yiin(s)了21(S) y221yd 卜21nyi2n(S)y 22n( S) jJg)B(sj l-P(s)-AabcHs) IZAs)对于互易网络ABCD巨阵行歹1式为 式的关系：1,最终得出二端口的 Y参数与特征多项yd(s) = B(s)yiin(s) = Ds)y 2

30、2n(s) = As)P(s)y21n(s) = yi2n(s)=Z可以发现二口滤波网络的四个 Y参数也都可以写成多项式的形式。至此， 耦合矩阵综合第一步结束，无论是 N阶矩阵还是N+2阶矩阵以上第一步都是相 同的。接下来是根据电路结构再一次确定Y矩阵，然后令其第一步得出的 Y矩阵相等即可得出初始的耦合矩阵，初始的N阶耦合矩阵几乎所有地方的值都非零,初始的N+2阶矩阵给出了全规范形式的耦合矩阵(谐振腔间无耦合，源 /负 载与任意谐振腔间都存在耦合，源与负载直接耦合)。N阶N合矩阵综合第二步：由全耦合电路模型求得对应的 Y矩阵。图7给出 了串联形式的全耦合低通原型电路模型，并联形式与串联形式是对

31、偶的，它们 的结果是相同的。我们通过图 8所示的电路，运用基尔霍夫环路定律来求得 n 个环路电压与电流的关系，通过最外围的(输入端与输出端)电压电流关系可 以得出该网络的Y参数(丫参数定义为端口电流与电压的关系)。图8:全耦合低通原型滤波器模型及其内部 N阶电路(串联形式)第12页共21页图8所示的内部电路中可以使用两条归一准则：可以使得N个L/C全为1,然后使得N-1个变换器的值不为1,也可以使得N-1个变换器的值为1, N个 L/C不为1,这两种方法导致的电气性能都是一样的。在耦合矩阵的综合过程中 我们一般取N个L/C全为1,然后使得N-1个变换器的值不为1。由基尔霍夫环路定律（环路电压降

32、为 0）:t-teg1,0,0, . ,0t =R+sI +jM| -1/2/3,，iN I其中:一 Rs000R=.j00 1，sI =0R.0一 jB1 jM12 . jM jM1,N |jM12jB2jM=.Mn,1jBN,jMN,NJMn,1. jMN,NjBN jM是N阶耦合矩阵。其中 B=M指的是FIR （阻抗不随频率变化的元 件），FIR元件导致不对称响应，导致特征多项式的系数为复数而不是实数（同步调谐，对称响应的特征多项式的系数为实数），仅在频率变换至带通或带阻滤波器的时候才可以通过改变各个谐振腔的各自的谐振频率来实现。M指的是腔间耦合，这里指的是不同网络节点之间的耦合值。通常

33、R和R不为1.则需要使用在源与负载处分别加入阻抗值为 用与JRL的阻抗变换器（电压源阻抗为 0,电流源阻抗无穷大）类似于变压器实现的阻 抗变换，此时终端阻抗转化为终端导纳。图7:全耦合N+2阶低通原型滤波器模型（并联形式）第13页共21页对于上述网络：eg1,0,0, . ,0t =R + sI +jM UJs，. Jn,找出电压与电流的关系:区-Rsi iI 00 -RNi N -|s +jMi,ijMi2 jMN,1：jMN,ijMi2s jM,2jMi,N_ijMi,N-ii 1i2i3s jMN,NjMN,N_i取vi =es - Rsii, Vn = -RJn,得出阻抗矩阵:ii2Z

34、. i3 ,取逆求出导纳矩阵:I JnjMN,Ns +jMN,N_N -vj0丫1 0 N 一仅取丫矩阵四个角的元素，得出二口网络输入输出电压电流的关系（二口 网络的丫矩阵）：F = y yiN11Vli此式即为通过电路模型得出的Y矩阵。i N y Ni y NN V NN阶耦合矩阵综合第三步：令使用耦合矩阵求出的 特征多项式求得的Y矩阵相等求出耦合矩阵。丫矩阵与前文讲过的通过由特征多项式得出的丫矩阵:yii（s） yi2（s）I = i yiin（s）ly2i（s） y22（s）_| yd（s） Ly2in（s）yi2n（s）l iD（s）丫22n”）Rs）-Rs）-P（s）1zAs）第i4

35、页共2i页Rs)=D(s)=A(s)22y21 yII. J1 2V V -sdy-y y-sn11s/121yn 2 2yYd(s)=Yl1n(s) y22n(s)y 21n(S)由电路模型得出的Y矩阵:由于耦合矩阵是实对称矩阵，可以酉对角分解为：-M = T A Tt , T为正交矩阵（N行为M的N个正交的特征向量），A为 对角矩阵（对角线上为 M的N个特征值）。我们只利用yi2与y22 （使用其他两个也有相同效果）： TOC o 1-5 h z 11y2i = -j t A V - l1N, y22 = j j -a ,Tt -i lNN上式可以发现，如果耦合矩阵的特征值特征向量不变则其

36、进行相似变换的 时前后响应不变，这给耦合矩阵的化简带来了思路。上式右边可化为：T A Tt - I=32/ ,j = 1,nk W 1 k于是:丫2仆）=y22(s)二y 21n(s)ydy 22n(s)yd(s)-j.N或k - kNT2、TNkk 1一k第15页共21页而上述两个Y参数可表示成为多项式的形式，运用部分分式展开法对上述两个多项式进行展开（比较两式可见凡可通过yd（s）求得，下面介绍如何求T):丫2小）y21n(s)ydN2ksy22n(s)Nd(s)其中r为多项式的留数，比较上述两个式子可得:丁业=%Tikr ,1 21k由于源端与终端负载一般不为 1,在加入了源/负载的阻抗

37、变换器之后（相当于加入变压器进行阻抗变换）,变换后的 Y参数与变换前对比有:MSiyii变换前叭叫12变换前JMSiMNlLyZi 变换前MU 22变换前于是此时:Tk =Tik / KE 工/ M求出T矩阵的第一行与最后一行后，使用施密特正交化求出其他行，至此求得所有特征值与特征向量，即可通过 M=TF求出N阶耦合矩阵M 通过这种方法求出的耦合矩阵M 一般所有的值都非零，难以化简，而且未包含 足够的外部耦合的信息，故现在所使用的大都是改进过后的 N+2阶耦合矩阵, 下面介绍N+2阶耦合矩阵的综合步骤。N+2阶耦合矩阵综合第二步：通过特征多项式构建Y矩阵。2003年Cameron提出了广义切比

38、雪夫滤波器的横向N+2阶阵列模型结构（图8）,大大简化了耦合矩阵的综合过程，通过这种方法，不需要使用施密 特正交化就可得出N+2阶耦合矩阵，简化了耦合矩阵综合过程中的数学运算。图7:横向N+2阶阵列模型结构及其第k个并联低通谐振器的内部结构第16页共21页由第二节知，二口滤波网络的S参数可写成多项式之比的形式:S11(s)F(s)/ ；rE(s)S2/s)P(s) / 二 一 1- 4 c RL/10E(s)V10P(s)_1 F(s)/ 而s = 1j当nfz小于N的时候飞 = 1 ,当nfz等于N的时候aR = w / Jw2 1由耦合矩阵综合的第一步知：Yn(s) y/s).21(s)

39、y22(s)_1y11n(s)y12n(s) Iyd(s) y21n(s)y22 n一1 jus)Rs) |-P(s)-AabcdP(s) IZAs)N为偶数的时候: TOC o 1-5 h z As) = j Im e0f Ree1f 1sj Im e2 f2 s2 川jImeNf nsN2NB(s) = Re e0f0jIme1f1sRe e2f2 s川ReeN fNsC(s)= Re e。-f。jIme1-fsRe e2 -f? s2川ReeN- f nsNDs)= j Im e0foRee1-f1sj Im e2-f2 s2 川jImeN - fNsNN为奇数的时候：As), Re e

40、0f0 j Im e13 sRe e2f2 s2 川 jIm eNf n sNRs) = j Im e0 f0 Re e13 sj Im e2 f 2 s2 川Re eNf n sN2NC(s) = j Im e0 - f 0 L Re e1 - f 1 s j Im e2 - f 2 s 川 Re eN - f n sD(s)= Re eg -fg j Im e1-f s Re e2 - f 2 s2 川 j Im eN将上式整理如下:第17页共21页(N为偶数)(N为奇数)丫2仆)=y21n(s) / Yd(s) = (P(s) / ；) / nq(s) y2/s) = y2n(s) /

41、yd(s) = ni(s) / mi(s)丫2仆)=y21n(s) / yd(s) =(P(s)/ ；) / ni(s) y22(s) = y22n(s) / yd(s) = m(s)/ n1(s)2m(s) = Re e0fo j Im e1fls Re e2 f2 s2Ms); j Im e0 foRe e1fls j Im e2 f2 se与fi为特征多项式E、F /跖的复系数。与N阶耦合矩阵的综合方法类似，我们只需要两个Y参数y21与y22就可以综合出N+2阶的耦合矩阵。对于y21与y22的分子多项式，可以使用留数法进行部 分因式展开，通过公共的分母多项式 yd可以求出耦合矩阵的N个特

42、征值。此时整个网络的Y矩阵使用留数的矩阵形式表示为：Yii(S)yds)1Y11n(s) y12n(s)1_j -0 叼十. 1711k r12k :y21(s) y22yd了 21n y22n0 j 二s-32水 底心其中r为多项式的留数。当nfz (有限位置传输零点个数)小于 N的时候，K丈为0;当nfz等于N的时候(全规范滤波器)，由于 y21(s)的分子多项式 y21n(s)与公共的分母多项式yd(s)阶数相同在求解r21k之前，需要提出一个实常 数K望, 使y21n(s)的阶数减小1次，由于全规范滤波器的N-nfz=0是偶数，那么 为了满足无耗互易网络的幺正性，P必须要乘以j。实常数K/是不随频率变换的，我们令频率等于无穷大来求出实常数 K*,由 于在构造分母多项式yd(s)的过程中，结果使得其最高次项的系数为 1 +1 /标 由于三个特征多项式都是先归一成为首 1多项式，那么可求出实常数KjKydsodjP(s)/ ；yd(s)K.-1_ ；R 111 / ；R 一 ；R1然后新的 丫21n(S1 =y21n(S) -jKjd(S)N+2阶耦合矩阵综合第三步:通过全规范横向拓扑网络构建Y矩阵。分析图7所示的全规范横向拓扑网络也可以得到一个 Y矩阵