(整理)拉格朗日中值定理的几种特殊证法

1、届学士学位毕业论文关于拉格朗日中值定理的几种特殊证法学号姓名班级指导教师专业系别完成时间：年月学生诚信承诺书本人郑重声明：所呈交的论文关于拉格朗日中值定理的几种特 殊证法是我个人在导师王建珍指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不 包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得长治学院或 其他教育机构的学位或证书所使用过的材料。所有合作者对本研究所 做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。签名： 日期：论文使用授权说明本人完全了解长治学院有关保留、使用学位论文的规定，即：学 校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；

2、学校可以公 布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存 论文。签名： 日期：指导教师声明书本人声明：该学位论文是本人指导学生完成的研究成果，已经审 阅过论文的全部内容，并能够保证题目、关键词、摘要部分中英文内 容的一致性和准确性。指导教师签名： 时间：摘要拉格朗日中值定理在高等代数和数学分析的一些理论推导中起着重要作用 , 本论文为了更准确的理解拉格朗日中值定理,介绍了其几种特殊的证明方法.首先 本文从分析和几何的角度构造辅助函数对拉格朗日中值定理进行了证明 ,其中在 分析法构造辅助函数中应用了推理法、原函数法、行列式法及弦倾角法 ,在几何 法构造辅助函数中应用了作差构造法、

3、面积构造法和旋转坐标轴法;其次,应用了 区间套定理证明法和巴拿赫不动点定理证明法对拉格朗日中值定理进行了证明 ; 最后,本文为能将拉格朗日中值定理表述更为深刻 ,还将其应用到求极限 ,证明函 数性态等具体问题中.关键词： 拉格朗日中值定理;区间套定理;巴拿赫不动点定理Several Special Proofs on the Lagranges Mean Value Theorem 08404141 ZHAO Xia-yan Mathematics and Applied Mathematics Tutor WANG Jian-zhenAbstractLagranges mean value

4、theorem plays an important role in some theory educations in Higher algebra and Mathematical analysis, this thesis introduces several particular methods proving methods in order to comprehend Lagranges mean value theorem precisely. First of all, applying analysis and geometry with constructing auxil

5、iary function to prove Lagranges mean value theorem, in the aspect of analysis, the methods of constructing auxiliary function include the reasoning method, original function method, the determinant method and chord angle method, In the aspect of geometric, the methods of constructing auxiliary func

6、tions include the poor construction method, area structure method and the rotating coordinate transformation method; secondly, also use the theorem of nested interval proving method and the Banach fixed point theorem to prove it; finally, this article applies Lagranges mean value theorem to the spec

7、ific question in the limit, proving the function of state and other issues.Key Words:Lagranges mean value theorem; The theorem of nested interval; TheBanach fixed point theorem目录 TOC o 1-5 h z 1引言1 HYPERLINK l bookmark10 o Current Document 利用分析法构造辅助函数1 HYPERLINK l bookmark14 o Current Document 利用几何法

8、构造辅助函数4 HYPERLINK l bookmark16 o Current Document 利用区间套定理证明6 HYPERLINK l bookmark26 o Current Document 利用巴拿赫不动点定理证明76拉格朗日中值定理的应用8 HYPERLINK l bookmark40 o Current Document 7. 结语11 HYPERLINK l bookmark42 o Current Document 参考文献12致 谢12关于拉格朗日中值定理的几种特殊证法08404141 赵夏燕 数学与应用数学指导教师 王建珍引言微分中值定理作为微分学中的重要定理,是微

9、分学应用的理论基础,是微分 学的核心理论.微分中值定理,包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定 理,它们是沟通导数值与函数值之间的桥梁 ,是利用导数的局部性质推断函数的 整体性质的工具,其中拉格朗日中值定理是核心 ,从这些定理的条件和结论可以 看出罗尔定理是其特殊情况 ,柯西定理和泰勒定理是其推广 .首先回顾下拉格朗 日中值定理以及它的预备定理罗尔中值定理.定理1.1 (罗尔中值定理) 1 若函数 f 满足如下条件:(i ) f在闭区间a,b上连续；f在开区间(a,b)内可导；f (a) = f (b);则在(a,b)内至少存在一点g ,使得f 崔)=0.定理1.2 (拉格朗日中值定理)

10、 2 若函数 f 满足如下条件:(i ) f在闭区间a,b上连续；(ii) f在开区间(a,b)内可导;则在(a,b)内至少存在一点g，使得f 崔)=.b - a 课本上给出了拉格朗日中值定理的基本证法， 在此基础上， 下面给出了拉格朗日 中值定理的几种特殊证明方法.利用分析法构造辅助函数拉格朗日中值定理中的两个条件与罗尔中值定理中的前两个条件相同 ， 二者 的区别仅仅在于区间端点处的函数值是否相等，基于这种关系，自然想到构造一 个辅助函数，使它满足罗尔中值定理的条件，从而是否由罗尔中值定理的结论导 出拉格朗日中值定理的结论呢 ?事实上解决问题的关键是构造的这个辅助函数 F(x)要在a,b的端

11、点有相同的函数值，即F(a) = F(b),以下将对如何利用分析 法构造辅助函数进行深入的分析.证明方法2.1(推理法)由拉格朗日中值定理结论f ) = ff,可知其右端是一个常数，故 b - a可设 f (b) - f (a) = k，则有 f (b) - f (a) = k(b - a)，即 f (b) - kb = f (a) - ka 仔细观 b-a察其特点，不难发现一个能使F(a) = F(b)的新函数：F(x) = f (x) - kx,故F(x)就 是证明中所要利用的辅助函数.证明过程如下:令F(x) = f (x) - kx，其中k二f (b) - f (a)，由题设可知，F(

12、x)在a,b上连续, b-a在(a,b)内可导，且F(a) = F(b)，即F(x)满足罗尔中值定理，故在(a,b)内至少存 在一点 g，使得 F崔)=f(g) - k = 0，即 f(g) = f (b) - f (a)证毕.b-a证明方法2.2(原函数法) 这种方法是将结论变形并向罗尔定理的结论靠拢，凑出适当的原函数作为辅助函数.由拉格朗日中值定理的变形f (b) - f (a)=也)(b - a)得广忆)(b - a) - f (b) - f (a) = 0，令 g 二 x 得f (x) (b - a) - f (b) - f (a) = 0，两边积分可得 f (x)(b - a) -

13、f (b) - f (a)x + c = 0，取 c 二 0 得f (x)(b - a) - f (b) - f (a)x = 0，若令F (x )= f (x)(b - a) - f (b) - f (a )x，容易验证F(a) = F(b) = bf (a) -af (b)，知F(x)满足罗尔中值定理的条件，所以 F(x)就是所求的辅助函数，证明过程如下：令 F(x)= f (x)(b - a) - f (b) - f (a)x，x e a,b，因为函数在闭区间a,b内 连续，在开区间(a,b)内可导，且F(a) = F(b)，所以至少存在一点g e (a,b)，使得F崔)=0，又F崔)=

14、f(g)(b -a) -f (b) - f (a)，所以即 f(g) = f (b) f()，证 b 一 a毕.证明方法2.3 (行列式法)a f (a) 1 由于想得到F(a) = F(b)，故可根据行列式的性质，设F(x)= b f (b) 1 ,x f (x) 1a f (a) 设 F (x )= b f (b)x f (x)所以可以得到辅助函数并且满足F(a) = F(b) = 0.证明如下： 11 x G a,b，则由行列式的性质可得F(a) = F(b) = 0，所1以F(x)满足罗尔中值定理，因而至少存在一点g g (a,b)，使得F农)=0，又af(a)1a - bf(a) -

15、 f(b)0F(x)=bf(b)1=bf(b)1=f (a) - f (b) + f(x )(b - a)，1f(x)01f(x)0所以 F代)=f (a) - f (b) + f(g )(b - a) = 0，即 f(g) = f (? 一 f (a). b-a证明方法2.4 (弦倾角法)目的是为了得到FC)= F(b),设连接连续曲线L : (x,f (x) I a x b，两端点A和B的弦为AB (图1),其倾倾斜角为9，则兀兀0 ,22tan0sin 0 = f (b) f (a) cos0 b - a也即有f (b)cos0 一 b sin 0 = f (a) cos0 一 a co

16、s0所以令F(x) = f (x)cos0 -xsin0，如此所得到的辅助函数F(x)就能满足要求，证明如下:(J aI)一设 F(x) = f (x)cos0 - xsin0 ,其中曲线L : (x,f (x) I a x b,如上图所示, 且一L0 0，在闭区间a + 8,b-8上构造自映射Ax = x - f，(x) + f (b) - f (a).b-a可以证明A是一个压缩映射，事实上，对于x ,x e a + 8,b-8，不妨设x 0，从而一定存在 21一个数九e (0,1)，使得0 X ( x 2-xi) 广(x 2)-广(xi)，因此|Ax Ax | |x x |(1 -九)，所

17、以A是闭区间a + 8,b 8上的压缩映射，由引 理3得，存在唯一的一点g e (a,b)，使得Ag = g，于是 卑二凹=f，(g )，b-a 故定理得证.6拉格朗日中值定理的应用 拉格朗日中值定理作为中值定理的核心， 有着广泛的应用， 在很多题型中都 起到了化繁为简的作用.求极限由拉格朗日中值定理指出，如果f在a,b连续，在(a,b)可导，则有f(b) - f(a) = f (g)(b - a) a g b ，(1)因此对Vx e (a, b)，有f(x) - f(a) = f (g)(x- a) a g x ，公式(1)表明,求某些差式的极限,可转化为求积式型的极限,以化简极限的计算 或

18、解决某些运算,用别的方法求不出极限式子.当然也要具体情况具体分析，并不 是所有差式型的极限都能适合于运用中值定理,应以简便为原则选用.问题6.1.1 求 limn2 ( 0).ns解 令f (t)二xt，则对任何自然数n , f (t)在，-上满足拉格朗日中n +1 n值定理的条件，而且f(t)二xt lnx是t上的严格单调函数，因而在丄丄上由拉n +1 n格朗日中值定理，得x g ln x， n(n +1)n2 (n匚-n点)二 n2f (丄)-f (厶)=n2f 崔)(丄一厶)二n n +1n n +1 g ，当 n T +8 时,g T 0, n +1n故原极限二 lim- xg ln

19、x = ln x .nT8 n(n +1)证明不等式证明不等式的方法有很多,但对于某些不等式,用初等解法不一定能解得出 来，例如描述函数的增量与自变量增量关系的不等式或者中间一项可以表示成函 数增量形式等的题型.这时如果考虑用拉格朗日中值定理,会比变较容易简单.问题6.2.1证明 |sin x - siny Ix 一 y|证明 设f (x) = sin x,显然f (x)在x, y上满足拉格朗日中值定理条件，所以存在 g e (x, y)，使得 f (x) f (y) = f(g)(x y),即sin x 一 sin y = (x 一 y)cos g ,又因为 |cosg I 1,因此有 |s

20、inx一 sin y| |x一 y|.证明等式 用拉格朗日中值定理证明等式也是其应用中很重要的一项.证明的目标在于 凑出形式类似于拉格朗日中值定理的式子.问题6.3.1证明当 |x| a 时，f(x) 0，求证当 x a 时，f (x) 0.证明 Vx a，由已知得f (x)在a,x 上满足拉格朗日中值定理，11玉 e a,x ,使 f (x ) f (a) = f(g )(x a),因为 f(g ) 0, x a 0，所以1 1 1 1f (x ) = f (g )(x a) 0，所以 Vx a，有 f(x ) 0,即 Vx e (a,+s)，有1 1 1 1f(x) 0.估值问题证明估值问

21、题， 一般情况下选用泰勒公式证明比较简便. 特别是二阶及二阶 以上的导函数估值时.但对于某些积分的估值，可以采用拉格朗日中值定理来证 明.问题6.5.1设f(x)在a,b上连续，且f (a) = f (b) = 0,试证明Jaf(x)|dx 4-max If (x)| -bb a axb证明 若f (x)三0,不等式显然成立.若f (x)不恒等于0,存在c e (a,b),使 max|f (x)| = f (c),在a,c及c,b上分别用拉格朗中值定理，得axb精品文档化i)二兰，化2)二f (c) c - b从而J ：f ”( X)ldX 岁f “ 稠电 f ”(X)昭 f 逆 2)- M

22、=f (c)(b - a)(b - c)(c - a)再由(c-a)(b-c) 0)发散，s = a + a + + a，证明级n n n 1 2 nn =1数无厶(5 0)收敛.si+8n=1 n15证明 作辅助函数f (x)= 一，则f(x)=-，当n 2时，在s , s 上用x 5xi+5n-1 n拉格朗日中值定理， 可得f (s ) f (s ) f 心、(八，、s - snn -1n n TOC o 1-5 h z nn-1于是aa111n n=()， s 1+5g 1+55 s 5s 5nnn-1n由丄(丄-丄)收敛，可得所证.5 s 5 s5n =2 n -1 n7. 结语本文初

23、步探讨了拉格朗日中值定理定理的几种特殊证法，其中给出了分析法 构造辅助函数、几何法构造辅助函数、区间套定理法和巴拿赫不动点定理法. 几 何法是利用图形的特征进行分析 ， 从而构造出需要的辅助函数 ， 与分析法有异曲 同工之妙;区间套定理法和巴拿赫不动点定理法， 它们不需要构造辅助函数， 也可 以证明， 虽说是一种很好的证法， 但是比较抽象难懂. 最后对拉格朗日中值定理在 求极限、证明不等式、证明等式、证明函数性态、估值问题、证明级数敛散性六 方面的应用做了简单的介绍， 从而使我们加深对拉格朗日中值定理的认识.参考文献华东师范大学数学系数学分析（上册）M.第三版北京:高等教育出版社,2001.同济大学应用数学系主编.高等数学（上册）M.第五版.北京:高等教育出版社,2002.北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组编.高等代数M.第三版.北京:高等教 育出版社,2003.9.许在库用区间套定理证明Rolle定理Lagrange定理J.安徽大学学报,2003.27（2）: 1821张恭庆，林源渠.泛函分析讲义:上册M.北京:北京大学出版社,2003.5.周建伟.微分几何M.北京:高等教育出版社,2008.4.程其襄等编.实变函数