圆锥曲线与平面向量综合

1、2.3.4.5.6.7.8.给出九=MP，等于已知MP是ZAMB的平分线/圆锥曲线与平面向量的综合1）解析几何是研究方程与曲线的一门学科，是用代数的方法研究曲线的性质，而平面向量既具有代数形式又具有几何形式，因此平面向量与解析几何的结合是顺理成章的事情，在解决解析几何问题时，平面向量的出现不仅可以很明确地反映几何特征，而且又方便计算，把解析几何与平面向量综合在一起命制考题可以有效地考查考生的数形结合思想，解析几何的基本思想以及数学联结能力等数学思想和数学能力。在2004年的试卷中，向量与解析几何综合的解答题有：全国卷1（文，理），全国卷11（理），天津卷（文，理），湖南卷（文，理），江苏卷，辽

2、宁卷等.在2005年的试卷中，向量与解析几何综合的解答题有：全国卷1（文，理），全国卷11（文，理），天津卷（文，理），福建卷（文，理），重庆卷（文，理），湖南卷（文，理），辽宁卷等.这表明在全国2004年的25套试卷中有9套占36%，在2005年的29套试卷中，就有13套，占45%.）解析几何与向量综合的题目，可能出现的向量内容：1.给出直线的方向向量u=（L,k）或u=（m,n）,等于已知直线的斜率k或；m给出OA+OB与AB相交，等于已知OA+OB过AB的中点；给出PM+PN=0（等于已知丫是MN的中点；给出AP+AQ=九BP+BQ等于已知P,Q与AB的中点三点共线；给出以下情形之一AB

3、/AC,存在实数九,使aB=九aC,若存在实数3,卩,且a+卩=1,使OC=aOA+卩OB,等于已知A,B,C三点共线.oA+九OB给出OP=，等于已知P是AB的定比分点，九为定比，即AP=九PB1+入给出MA-MB=0，等于已知MA丄MB，即ZAMB是直角潍出MA-mB=m0,等于已知ZAMB是锐角，在平行四边形abcd中，给出（AB+AD）-（AB-AD）=0，等于已知abcd是菱形;在平行四边形abcd中，给出AB+AD=AB-AD，等于已知ABCD是矩形；11.在AABC中，给出OA2=OB2=OC2，等于已知O是AABC的外心;在AABC中，给出OA+OB+OC=0,等于已知O是AA

4、BC的重心；在aabc中，给出OA-OB=OB-OC=OC-OA，等于已知o是aabc的垂心;14.在AABC中，给出OP=OA+X(ABAC岡+岡）（XGR+）等于已知AP通过AABC的内心;在AABC中，给出a-OA+b-OB+cfC-0,等于已知O是AABC的内心；_1()在AABC中，给出AD-B+AC等于已知AD是AABC中BC边的中线；17.给出mA-MB-mcotZAMB，等于已知AAMB的面积(三)综合题举例【例1】(2005年辽宁卷21)x2y2已知椭圆一+1-1(ab0)的左、右焦点分别是F(c,0)、F(c,0),Q是椭圆外的动点,a2b212c设x为点P的横坐标，证明I

5、FPI=a+x；1a满足IFQI-2a.点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点T在线段FQ上并且满足PTTF-0,ITF?圧0.求点T的轨迹C的方程；试问：在点T的轨迹C上，是否存在点M使F1MF2的面积S=b2.若存在，求zFMF2的正(I)(II)切值；若不存在，请说明理由.解：(I)证法一：设点P的坐标为(X,y).由p(x,y)在椭圆上，得IIFP1=：(x+c)2+y2=(x+c)2+b2一x2TOC o 1-5 h z1a2-(a+x)2.acc由xa,知a+x-c+a0，所以IFPI-a+x.a1a证法二：设点P的坐标为(x,y).记IFPI-r,IFPI-r,i.1122则-七(x

6、+c)2+y2,r-(x+c)2+y2.c由r+r-2a,r2-r2-4cx,得IFPI-r-a+x.121211ac证法三：设点P的坐标为(x,y).椭圆的左准线方程为a+x-0.a由椭圆第二定义得Ff=，1a2aIx+Ic即丨FPI=Ix+竺I=Ia+-xI.1acac所以IFP1=a+x.1ac由x-a,知a+x-c+a0,a(II)解法一：设点T的坐标为(x,y).当IPTI=0时，点(a,0)和点(一a,0)在轨迹上.当IPTI工0且ITF圧0时，由IPTI-1TF1=0，得PT丄TF.一222又IPQI=IPFI，所以T为线段F2Q的中点.1在厶QF卫中，IOTI=IFQI=a，所

7、以有x2+y2=a2.1221综上所述，点T的轨迹C的方程是x2+y2=a2.解法二：设点T的坐标为(x,y).当IPT1=0时，点（a,0）和点（一a,0）在轨迹上.当IPTIh0且ITF圧0时，由PT-TF=0，得PT丄TF.r222又IPQI=IPFI，所以T为线段F2Q的中点.设点Q的坐标为（x,y），x=2则y=因此卩=2X-c1y=2y.由IFQI=2a得(x+c)2+y2=4a2.1将代入，可得x2+y2=a2.综上所述，点T的轨迹C的方程是x2+y2=a2.(Ill)解法一：C上存在点M(x,y)使S=b2的充要条件是00 x2+y2=a2,0012cIyI=b2.120由得I

8、y0匕a，由得Iy所以，当a竺时，存在点M,使S=b2；c当a竺时，MF=(cx，-y),MF=(c-x，-y),100200由MFMF=x2-c2+y2=a2-c21200MFMF=IMFIIMFIcosZFMF，121212S=丄丨MFIIMFIsinZFMF=b2,得tanZFMF=2.2121212解法二：C上存在点M(x,y)使S=b2的充要条件是00 x2+y2=a2,00S1-2cIyI=b2.120由得IyI-上式代入得x2=a2-=(a-)(a+)0.0c0c2cc于是，当a竺时，存在点M,使S=b2；c当a时，记k=k=-0,k=k=-0，c1F1Mx+c2F2Mx-c00

9、由IFFI2a,知ZFMF90。，贝y1212kktanZFMF=111=2.121+kk12【例2】(2005年重庆卷理21)x2已知椭圆C的方程为+y2=1，双曲线C2的左、右焦点分别为C的左、右顶点，而C2的左、右14212顶点分别是q的左、右焦点.求双曲线C2的方程；若直线l:y=kx+41与椭圆C及双曲线C2都恒有两个不同的交点，且l与C的两个交点A和B满足OA-OB0,1即k2.4将y=kx+y：2代入*y2=1得(13k2)x26J2kx9=0.由直线l与双曲线C2恒有两个不同的交点A,B得213k2丰0,0.V2即k2丰1且k21.6迈k,x-x13k2AB913k23设人(x

10、,y),B(x,y),则x+xAABBAB由OA-OB6得xx+yy6,而ABABxx+yy=xx+(kx+、；2)(kxABABABA_B=(k2+1)xx+2k(x+x)+2ABAB96y2k.=(k2+1)+2k+213k213k2=3k2+7-3k21*3k2+715k213于是0.解此不等式得3k213k21k213或k2153由、得-k2-或13k2b0),F(c,O),a2b2x2y2则直线AB的方程为y=xc,代入+=1a2b2化简得(a2+b2)x22a2cx+a2c2a2b2=0.令A(x,y),B(x,y),11222a2ca2c2a2b2贝yx+x=,xx=.12a2+

11、b212a2+b2*-由OA+OB=(x+x,y+y),a=(3,-1),OA+OB与a共线，得12123(y+y)+(x+x)=0.1212又y=xc,y=xc,11223(x+x一2c)+(x+x)=0,12123cTOC o 1-5 h z.x+x=.122叱=3c,所以a2=3b2.a2+b226ac=；a2b2=,3故离心率e=.a3x2y2(II)证明：由(I)知a2=3b2,所以椭圆+1=1可化为x2+3y2=3b2a2b2设OM=(x,y),由已知得x,y)=九(x,y)+p(x,y),1122fx=Xx+px,.12Iy=Xy+py.12M(x,y)在椭圆上，.(Xx+px)2+3(Xy+py)2=3b2.1212即X2(x2+3y2)+p2(x2+3y2)+2Xp(xx+3yy)=3b2.11221212TOC o 1-5 h