全等三角形-辅助线做法讲义

1、全等三角形问题中常见的辅助线的作法巧添辅助线一倍长中线夯实基础】例：AABC中，AD是ZBAC的平分线，且BD=CD，求证AB=AC方法1：作DE丄AB于E,作DF丄AC于F,证明二次全等方法2：辅助线同上，利用面积方法3：倍长中线AD方法精讲】常用辅助线添加方法倍长中线ABC中AD是BC边中线D方式1：延长AD到E,使DE=AD，连接BE方式2：间接倍长DC经典例题】作CF丄AD于F,作BE丄AD的延长线于E连接BE延长MD到N，使DN=MD，连接CD例1：AABC中，AB=5,AC=3，求中线AD的取值范围例2：已知在ABC中，AB=AC，D在AB上,E在AC的延长线上，DE交BC于F,且

2、DF=EF，求证：BD=CE例3：已知在ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F,求证：AF=EF提示：倍长AD至G,连接BG,证明BDGACDA三角形BEG是等腰三角形例4：已知：如图，在AABC中，AB丰AC,D、E在BC上，且DE二EC,过D作DF/BA父AE于点F,DF=AC.求证：AE平分ZBAC提示：方法1：倍长AE至G,连结DG方法2：倍长FE至H,连结CH例5：已知CD=AB求证：ZC=ZBAEZBDA=ZBAD,AE是厶ABD的中线，提示：倍长AE至F,连结DF证明ABEAFDE(SAS)进而证明厶ADF竺AADC(SAS)【融会贯通】

3、CE1、在四边形ABCD中，ABDC,E为BC边的中点，ZBAE=ZEAF,AF与DC的延长线相交于点F。试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论提示：延长AE、DF交于G证明AB=GC、AF=GF所以AB=AF+FC2、如图，AD为AABC的中线，DE平分ZBDA交AB于E,DF平分ZADC交AC于F.求证:CBE+CFEF3、已知：如图，AABC中，ZC=90。，CM丄AB于M,AT平分ZBACACB交CM于D,交BC于T,过D作DE/AB交BC于E,求证：CT=BE.提示：过T作TNIAB于N证明ABTN竺AECD截长补短法引辅助线思路：当已知或求证中涉及到线段a、b、c

4、有下列情况时：，如直接证不出来，可采用截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段；补短法：延长较短线段和较长线段相等，这两种方法放在一起叫截长补短法。通过线段的截长补短，构造全等把分散的条件集中起来。例1.如图，AABC中，ZACB=2ZB,Z1=Z2。求证：AB=AC+CD在厶ABD和AAF。中AF乂Zl=Z2AD=ADABD竺AFD(SAS)ZB=ZFVZACB=2ZBZACB=2ZF而ZACB=ZF+ZFDCZF=ZFDCCD=CF而AF=AC+CFAF=AC+CD在厶AED和厶ACD中AE=ACZl=Z2AD=ADAED竺ACD(SAS)：.DE=DC,ZAED=C:乙AED=乙E

5、+乙总DE,ZAC=2Z5：.2ZB=/月十ZEDB:.=ZEDS:.EB二血二DC.AB=+AC+DCAB=AC+CD例2.如图，在RtAABC中，AB=AC,ZBAC=90,Z1=Z2，CE丄BD交BD的延长线于E,证明：BD=2CE。分析：这是一道证明一条线段等于另一条线段的2倍的问题，可构造线段2CE，转化为证两线段相等的问题，分别延长BA,GE_.1QpCE交于卩，证厶BEFBEC，得，再证ABDACF，得BD=CF。CCBD1、如图，AABC中，AB=2AC，AD平分ABAC，且AD二BD，求证：CD丄AC2、如图,ACBD,EA,EB分别平分ZCAB,ZDBA,CD过点E,求证；

6、AB=AC+BDAAQ3、如图，已知在VABC内，ABAC=60。，ZC=400，P,Q分别在BC，CA上，并且AP，BQ分别是ABAC，ZABC的角平分线。BQ+AQ=AB+BP4、如图，在四边形ABCD中，BCBA,AD=CD，BD平分AABC，求证：AA+AC二1800已知：如图，ABC中，AD平分ZBAC，若ZC=2ZB,证明：AB=AC+CD.已知：如图，AABC中，ZA=60,ZB与ZC的平分线BE,CF交于点I,求证：BC二BF+CE.已知：如图，在正方形ABCD中，E为AD上一点，BF平分ZCBE交CD于F,求证：BE=CF+AE.EDBC与角平分线有关的辅助线角平分线具有两条

7、性质：a、对称性；b、角平分线上的点到角两边的距离相等。对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。从角平分线上一点向两边作垂线；利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形。至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。（1）截取构全等如图1-1,ZAOC二ZBOC,如取OE=OF,并连接DE、DF,则有OEDOFD，从而为我们证明线段、角相等创造了条件。DC图1-2例1.如图1-2,AB/CD,BE平分ZABC,CE平分ZBCD,点E在AD上，求证：BC二AB+CD。简证：在此题中可在长线段BC

8、上截取BF=AB，再证明CF=CD，从而达到证明的目的。这里面用到了角平分线来构造全等三角形。另外一个全等自已证明。此题的证明也可C以延长BE与CD的延长线交于一点来证明。自已试一试。例2.已知：如图1-3,AB=2AC,ZBAD=ZCAD,DA=DB，求证DC丄AC分析：此题还是利用角平分线来构造全等三角形。构造的方法还是截取线段相等。其它问题自已证明。例3已知：如图1-4,在厶ABC中，ZC=2ZB,AD平分ZBAC，求证：AB-AC=CD分析：此题的条件中还有角的平分线,在证明中还要用到构造全等三角形,此题还是证明线段的和差倍分问题。用到的是截取法来证明的,在长的线段上截取短的线段,来证

9、明。练习已知在ABC中，AD平分ZBAC,ZB=2ZC,求证：AB+BD二AC已知：在厶ABC中，ZCAB=2ZB,AE平分ZCAB交BC于E,AB=2AC，求证：AE=2CE已知：在厶ABC中，ABAC,AD为ZBAC的平分线，M为AD上任一点。求证：BM-CMAB-AC已知：。是4ABC的ZBAC的外角的平分线AD上的任一点，连接DB、DC。求证：BD+CDAB2）、角分线上点向角两边作垂线构全等+AC。过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题。例1如图2-1，已知ABAD,ZBAC=ZFAC,CD=BCO求证：ZADC+ZB=180分析：可由C向Z

10、BAD的两边作垂线。近而证ZADC与ZB之和为平角。例2.如图2-2，在ABC中，ZA=90，AB=AC，ZABD=ZCBDO求证：BC=AB+AD的和差倍分问题，从中利用了相当于截取的方法。CMF分析：过D作DE丄BC于E,则AD=DE=CE，则构造出全等三角形，从而得证。此题是证明线段例3已知如图2-3,AABC的角平分线BM、CN相交于点P。求证：ZBAC的平分线也经过点P。分析：连接AP,证AP平分ZBAC即可，也就是证P到AB、AC的距离相等练习：如图2-4ZA0P二ZB0P=15,PC/OA,PD丄0A，如果PC=4,则PD=()A4B3C2D1已知在厶ABC中，ZC=90,AD平

11、分ZCAB,CD=1.5,DB=2.求AC。已知：如图2-5,ZBAC=ZCAD,ABAD,CE丄AB,1AE=2(AB+AD).求证：ZD+ZB=180。已知：如图2-6，在正方形ABCD中，E为CD的中点，F为BC上的点，ZFAE二ZDAE。求证：AF二AD+CF。AD已知：如图2-7,在RtAABC中，ZACB=90,CD丄AB,垂足为D,AE平分ZCAB交CD于F,过F作FH/AB交BC于H。求证CF=BHOB图2-6FDEB3)、作角平分线的垂线构造等腰三角形从角的一边上的一点作角平分线的垂线,使之与角的两边相交,则截得一个等腰三角形,垂足为底边上的中点,该角平分线又成为底边上的中线

12、和高,以利用中位线的性质与等腰三角形的三线合一的性质。(如果题目中有垂直于角平分线的线段,则延长该线段与角的另一边相交)。C例1.已知：如图3-1,ZBAD=ZDAC,ABAC,CD丄AD于D,H是BC中点。求证：DH=2(AB-AC)分析：延长CD交AB于点E,则可得全等三角形。问题可证。C例2.已知：如图3-2,AB=AC,ZBAC=90,AD为ZABC的平分线，CE丄BE.求证：BD=2CE。分析：给出了角平分线给出了边上的一点作角平分线的垂线,可延长此垂线与另外一边相交,近而构造出等腰三角形。例3.已知：如图3-3在厶ABC中，AD、AE分别ZBAC的内、外角平分线，过顶点B作BN垂直

13、EAD，交AD的延长线于F,连结FC并延长交AE于M。求证：AM二ME。分析：由AD、AE是ZBAC内外角平分线，可得EA丄AF，从而有BF/AE，所以想到利用比例线段证相等。例4已知：如图3-4，在厶ABC中，AD平分ZBAC，AD二AB，CM丄AD交AD延长线于M。求证：AM=1(AB+AC)2分析:题设中给出了角平分线AD，自然想到以AD为轴作对称变换,作厶ABD关于AD的对称AED，然后只需证DM二；EC,另外由求证的结2果AM二1(AB+AC)，即2AM=AB+AC，也可尝试作AACM关于CM的对称2FCM,然后只需证DF=CF即可。练习：1.已知：在ABC中，AB=5,AC=3,D

14、是BC中点，AE是ZBAC的平分线，且CE丄AE于E，连接DE，求DE。2已知BE、BF分别是ABC的ZABC的内角与外角的平分线，AF丄BF于F,AE丄BE于E,连接EF分别交AB、AC于M、N,求证MN二*BC(4)、以角分线上一点做角的另一边的平行线E图4-1AHB图4-2CD有角平分线时，常过角平分线上的一点作角的一边的平行线，从而构造等腰三角形。或通过一边上的点作角平分线的平行线与另外一边的反向延长线相交，从而也构造等腰三角形。如图4-1和图4-2所示。例4如图，ABAC,Z1=Z2,求证：ABAOBDCD。B精选文库例5如图，BCBA,BD平分ZABC,且AD二CD,求证：ZA+Z

15、C=180。例6如图，ABCD,AE、DE练习：1.已知，如图，ZC=2ZA，AC=2BC。求证:2已知：如图，AB=2AC，Z1=Z2，DA=DB，3已知CE、人。是4ABC的角平分线，ZB=60，求证：AC=AE+CD囲7精选文库交AC于点D,CE垂直于BD,交BD的延长线于点E。求证：BD=2CE。证明：延长BA,CE交于点F,在ABEF和ABEC中，VZ1=Z2,BE=BE,ZBEF=ZBEC=90,AABEFABEC,.EF=EC，从而CF=2CE。又Z1+ZF=Z3+ZF=90,故Z1=Z3。在AABD和AACF中，TZ1=Z3,AB=AC,ZBAD=ZCAF=90。,AABD竺AACF,BD=CF,BD=2CE。注：此例中BE是等腰ABCF的底边CF的中线。（六）、借助角平分线造全等1：如图，已知在ABC中，ZB=60,AABC的角平分线AD,CE相交