三重积分概念及其计算

1、5三重积分教学目的掌握三重积分的定义和性质教学内容三重积分的定义和性质；三重积分的积分换元法;柱面坐标变换；球面坐标变换.基本要求掌握三重积分的定义和性质，熟练掌握化三重积分为累次积分，及用柱面坐标变换和球面坐标变换计算三重积分的方法教学建议(1)要求学生必须掌握三重积分的定义和性质，知道有界闭区域上的连续函数必可积.由于三重积分的定义与性质及充要条件与二重积分类似，可作扼要叙述与比较.(2)对较好学生可布置这节的广义极坐标的习题.一、三重积分的概念背景：求某非均匀密度的曲顶柱体的质量时，通过“分割、近似，求和、取极限”的步骤，利用求柱体的质量方法来得到结果.一类大量的“非均匀问题都采用类似的

2、方法，从而归结出下面一类积分的定义.定义1设fy,是定义在三维空间可求体积的有界闭区域V上的函数，J是一个确定的数，若对任给的正数e，总存在某个正数5，使对于V的任何分割T，当它的细度时，属于T的所有积分和都有兰f（匚,匚jag.J则称f,y,z在V上可积，数J称为函数f,y,z在V上的三重积分，记作其中f,y,称为三重积分的被积函数，x,y,z称为积分变量，称为V积分区域.可积函数类有界闭区域V上的连续函数必可积。有界闭区域V上的有界函数fy,的间断点集中在有限多个零体积的曲面上，则f(x,y,z)必在V上可积。二、化三重积分为累次积分定理21。15若函数f(x,y,z)在长方体V-k灯XL

3、d上的三重积分存在，且对Bbl二重积分I(x)J!f(x,y,zydz一D存在，其中D-匸dxL,f,则积分fdxf(x,y,z)dcD(1)JJJf(x,y,z)dxdydzfdxJJf(x,y,z)d也存在，且Vyy(x)axb2为了方便有时也可采用其他的计算顺序若简单区域V由集合V=仁y,z)z(x,y)zz(x,y)y(x)1121所确定，V在xy平面上的投影区域为D一匕,y昭(x)f(x,y,z)在上连续，zi是一个x型区域，设yy(x)axb2C,y)z(,y)在d上连续,y】O,y?O上灯连续，则JJJf(x,y,z)dxdydzJJdxdyJf(x,y,z九JdxfdyJf(x

4、,y,z九-Dz(x,y)-ay(x)z(x,y)其他简单区域类似.一般区域V上的三重积分，常将区域分解为有限个简单区域上的积分的和来计算.JJJdxdydz例1计算vx2+y2，其中V为由V=V平面x二1,x二2,z二0,y二x,z=y所围的区域。/、X2y2z2+-a2b2c2丿+dxdydz，其中V为X2y2z2+1。a2b2c2例3改变下列累次积分顺序J1dxjidyjx-yf（x,y,z）dz000三、三重积分换元法设变换T:X=X（U，V，,y二y（U，V，WZ二乙,V，把叫空间中的区域V一对一地映成xyz空间中的区域V，并设函数x=XC，v,w）,y=yC,v,w）,z=zC,v

5、,w）及它的偏导数在区域V内连续且行列式OxQxQxQuQvQwoyQuQyQvQyQwQzQzQzQuQvQw丰0,J(u,v,w)=C,v,w)eVJ(r0,z)=COS0sin00JJJf(X,y,z)dxdydzJJJf(x(u,v,w)yC,v,w)zC,v,w)J(u则V其中f(x,y,在V上可积.(一)、柱面坐标变换：如下图所示x=rcos0,0t+8y=rsin0,002兀z=z,-rsin0rcos00按（4）式JJJf(x,y,z)dxdydzJJJf(rcos0,rsin0,z)Tdrd0dzV这里V为V在柱面坐标变换下的原象.在柱面坐标中：r=常数，是以z轴为中心轴的圆

6、柱面；0=常数，是过z轴的半平面;z=常数，是垂直于z轴的平面.若V在平面上的投影区域D,即V=仁y，6必zJZ2G“Gy)GD时BIf(x,y,z)dxdydzJ!dxdyf(x,y,z=Dz】(x,y)其中二重积分部分应用极坐标计算.例4计算v2V是由曲面2+y2Lz与z=4为界面的区域.例5计算fflzdxdydz,V由x2+y2+z2=4和抛物面Vx2+y2二3z围成.例6计算fflx2+y2dxdydz,V由x2+y2=z2和z二1围V成.(二)、球坐标变换x=rsin申cos0,0ty=rsin申sin0,002兀变换T:z=rcosp,0p兀sinpcos0-rcospcos0-

7、rsinpsin0sinpsin0rcospsin0rsinpcos0J(r,p,0)cosp-rsinp0=r2sinp变换公式为：JJJf(x,y,z)dxdydzV=JJJf(rsinpcos0,rsinpsin0,rcos2sinpdrdpd0在球面坐标中:r=常数，是以原点为中心的球面0=常数，是过z轴的半平面.rr,9)990P)212时,9=常数，是以原点为顶点，以z轴为中心轴的圆锥面.当,9，0)riG,0)0为常数.解球面方程x2+y2+二a2在球坐标系下表示为丫二2acos9，圆锥面z=2+y2cotP在球坐标系下表示为9卩,r2aCOS9,09P,002兀V=LUdv于对M；