居民屋顶保温层厚度

1、摘要本文通过题目给出的条件，建立居民屋顶保温层厚度的数学模型， 得出珍珠岩保温层的最佳厚度为8.8 cm。这样一来，既能保证舒适的 室温又能保证经济性最好。同时进行模型的改进，分析了其它几种保温 层材料及其最佳厚度。对于保温层厚度的得出，首先对传热原理进行了分析，并给出了热 损失的计算式。然后，引入采暖费用和建造费用，建立了关于采暖总费 用与厚度关系的数学模型。通过分析可知，随着保温层厚度的增加，采 暖费用会随之降低，而建造费用却随之增加。因而从经济和节能两方面 对厚度加以限制，并最终算得了最佳保温层厚度。对结果进行分析，发现随着保温层厚度的增加，年采暖总费用呈现 先减小后增大的趋势。对此，利

2、用MATLAB软件做出了总费用与厚度 的关系曲线图。由图可知，当费用最小时，相对应的厚度即为最佳保温 层厚度。对模型进行实际应用时，通过变换材料的导热系数，得出了不同材 料的最佳厚度（如表1所示），同时对不同材料的保温性能做了简要分 析。表1几种首选保温材料及其最佳厚度保温层材料名称最佳厚度cm年采暖总费用元加3聚氨酯泡沫7.52303.1珍珠岩保温层22.6791.2聚氨酯保温板12.091457.1硅酸盐保温板7.82012.4复合建筑节能保温板6.92474.1又经过一系列标准得到，最适合的保温材料是聚氨酯保温板，其最 佳厚度是3.84cm。在文章的最后，结合当前社会的发展状况，从节约能

3、源等角度分析 了模型的改进方向，并对模型的优缺点做出了评价。关键词：导热系数；最佳厚度；采暖费用1 .标题：居民楼屋顶保温问题提出：目前，城市居民楼很多都是简单的平屋顶，假设屋顶由里向外的结 构是0.1(cm)涂料，1.5(cm)水泥砂浆20(cm)楼板，2(cm)水泥砂浆，珍 珠岩保温层，2(cm)水泥砂浆，1(cm)三毡四油防水材料。北方地区这样的屋顶，夏季太阳日照下的表面温度最高可以达到摄 氏75度，冬季为摄氏零下40度。为了保持室内有较好的舒适温度，又 不造成浪费，保温层厚度应该多厚为好？如果更换保温层成其它保温材料，你认为那种好，其厚度是 多少？3.1模型假设假设传导过程无热量损失。

4、假设无其他外界的条件影响，即是不考虑人为破坏材料有 问题等。假设室内有较好的舒适温度。屋顶结构体及保温层材料均匀，热传导系数是常数。3.2符号说明Q单位面积的透过屋顶损失的(W s)/ m2热量K围护结构的传热系数，W/ (m2 K)；A T室内外温差，；CQ,年采暖耗热量，；J/m2AHDD采暖度日数，Cd；CDD空调度日数，Cd；R单位面积由里到外各结构材m2 K/W (i = 1,2,)；i料的传热阻，R单位面积保温层的热阻m2 K/W；d由里到外屋顶结构材料的厚m (i = 1,2,)；i度d保温层的厚度m；力单位面积各结构材料的导热W/(K m )i系数，(i = 1,2,)；力单位

5、面积保温层的导热系数W/(K m )；w单位面积年采暖总费用/ m2；w单位面积保温层的投资费用/ m2；inw单位面积年采暖耗热费用/ m2；h w单位面积采暖年运行费用/ m2；ePWF贴现系数；W单位体积保温材料的造价/ m3；oC单位重量的煤价/kg；a C单位时间的电价/h ；bH单位重量煤的发热量kJ/kg；aH空调单位面积单位时间的发J/h；b热量n冬季采暖系统的总效率an b夏季制冷系统的总效率模型的建立:4.1相关概念及公式1.导热系数与热阻在传热学中，用导热系数人来表征物质的导热能力，在数值上它等于 单位导热面积、单位温度梯度在单位时间内的导热量，单位为W/(m K)。热阻

6、是反映阻止热量传递能力的综合参量。根据传热学公式，物质 的热阻与导热系数满足关系：R M力其中，d为材料的厚度，人为材料的导热系数。2.采暖度日数HDD与空调度日数CDD根据夏热冬冷地区居住建筑节能设计标准中的规定，一年中， 当某天室外日平均温度低于18C时，将低于18C的度数乘以l天，并将 此乘积累加得到的累积度数为采暖度日数（HDD）。同样，将日平均温度高于26C的累积度数称为空调度日数（CDD）。取使室内达到适宜温度时最高温差的一半作为采暖时间内的平均 温差，得到采暖（空调）度日数的计算公式为HDD（CDD） = AT2 x V式中，AT为屋顶外表面的最低温度（最高温度）与室内冬季（夏季

7、） 适宜温度的差值；V为采暖（降暖）总日数。本题中，设屋顶外表面冬季最低温度为T（C），夏季最高温度为 T（C），采暖日数为V，降暖日数为V，则有212HDD = （18 - T）/2 x VCDD& = （T - 26）. 2 x 匕4.2热损失计算和推导在日照情况下，考虑屋顶表面温度不同地方温差不是很大，可看做 垂直照射屋顶。单位面积的热损失由传热学理论可知，单位面积的换热量Q与AT成正比，即Q = K AT式中，Q为单位面积的耗热量；AT为介质两侧的温差；K为传热系数。在本题中，围护结构的传热系数 K为K =G = 1,2,）R + Z Ri式中，人,为围护结构建筑材料的传热阻；R为保温

8、层的传热阻。2.单位面积年热损失单位面积年热损失用采暖（空调）度日数计算，一年分冬、夏两个 季节，可得公式Qa = t x HDD x K = t x （HDD 8 + CDD6） x K其中，Q为年采暖耗热量；t为时间；HDD和CDD分别代表冬、夏两 季室内最适宜温度为18C和26C时的采暖8(空调乎6度日数。(根据相 关标准，也把18C与26C分别作为室内冬、夏两季的最适宜温度。)对于t的计算t = 24 x 3600 = 86400 (秒/天)因此得到QA = 86400 x (HDD18 + CDD 6) x K4.3单位面积年采暖总费用的计算贴现系数PWF的确定贴现系数(PWF)是指

9、把今后某一日期收到或支付的款项，折算为当 今的现值。贴现系数的确定方法为若 g = j, PWF = (1 + j)-1 ；若 g j，则 I = (g - j)(1+ j)；则有 PWF = 1 - (1 +1)-n I .式中，j为银行利率；g为通货膨胀率(%)； N为使用年限；I为贴现 率。单位面积年采暖总费用年采暖总费用等于保温层的投资费用和采暖耗热费用之和，即W = W + W式中，W为单位面积年采暖总费用；w为单位面积保温层的投资费用；W为单位面积年采暖耗热费用。”3.保温层的投资费用W = W x d式中，W为单位体积保温材料的造价0； d为保温层的厚度。采暖所用耗热量的费用W

10、= PWF x W式中，吧为单位面积采暖年运行费用。采暖年运行费用考虑实际情况，北方的冬季通常用锅炉供暖，夏季用空调降温，按 一年冬、夏两种季节分别计算。冬季一一利用煤价计算(2)w - q x C _ 86400 X C X HDD18 x K式中，c为单位重量的煤价?丑为单位重%煤的发热量；门为冬季采 暖系统的总效率.对于门的计算：式中，门为室外管网输送效率；：为1 锅炉的运行效率。通过查阅资料取 12门=0.9，门=0.68 1(3)夏季一一利用电价计算w _ q x C _ 86400 x C x CDD26 x K e 2 H x门门x H式中，C为单位时间的电价;bH为空调单位面积

11、单位时间的发热量；门b 一、bb为夏季采暖系统的总效率。4.4最佳厚度的计算式综合上述各式，整理得到：w - w + w - w x d + PWF x 瓯4 澄 x (HDD1 乂 C + CDD26 x R)(1)in h 0d +AxS R H x门Hb x气i -1通过问题的分析可知，建筑米暖总费用w存在一个最小值，其对应的厚度值即为最佳厚度d。因此对总费用函数求导 竺-0，得最佳厚度 dd的计算式为：(2)86.4 xXx PwF x (HDD18 x C + CDD26x C)d -v心心_/ RwiT0i-1模型求解（算法设计和计算机实现）：5.1珍珠岩保温层最佳厚度题中给出夏季

12、屋顶表面最高温度为摄氏75度，冬季表面最低温度 为摄氏零下40度。（1）冬季参数：通过上网查阅今年辽宁煤炭价格,2012年辽宁地区煤价：600-750 元/吨;发热量：20.925.1MJ/Kg。因此取定：C =600 元/ 吨；aH =30 MJ/Kg；门 af =0.68x0.9=0.612.（2） 夏季参数：1 2经查阅,2P空调的制冷功率约为3.5 KW,耗电功率约为800W。假 设选用2P空调，经换算得单位时间单位面积的发热量为 H =2500 x 3600=9000 （KJ）。根据有关数据，一般供热系统的效率为：60% 65%。2009年辽宁地区电价：0299元/千瓦时.因此取定：

13、C = 0.299元/千瓦时；H =9000 KJ；=60%.（3）相关银行利率：依据2009年央行公布的信息，得到如下数据：贷款利率i = 5.94% ；通货膨胀率g=4.5%；设定使用年限N=10；贴现率/=1.03%。经计算可得：贴现系数PWF=3.216。（4）采暖度日数、认为年采暖日数为4个月，降暖日数为2个月，即有匕=120,匕=60HDD =118 -（-40） 2 x 120 = 3480 （C天） 18CDD = （75-26）；2x60=1470（ C天）（5）结构6材料的相关参数由里到外屋顶结构材料的传热阻和厚度列表（如表2所示）：表2各种结构材料的厚度与导热系数结构材料

14、厚度cm导热系数W/ (K m )传热阻m2 K/W涂料0.10.0410.024水泥砂浆1.50.9300.016楼板200.7060.283水泥砂浆20.9300.021珍珠岩保温层0.058水泥砂浆20.9300.021三毡四油防水材 料10.0620.1615.2其它保温材料的最佳厚度比较分析5.2.1其他保温材料最佳厚度的模型建立通过查阅相关资料，得知各种常见保温材料的导热系数及单位造价 （见表3）。表3 :不同保温材料的导热系数单位造价及环保性能保温层材料 名称导热系数W/（K m）单位造价（x）Y/m3环保性能聚氨酯泡沫0.020580二级珍珠岩保温 层0.058185二级苯板0

15、.047300五级挤塑板0.025430五级聚氨酯保温 板0.028320一级聚乙烯PEF0.038320四级EPS聚苯乙烯泡沫板0.038260四级酚醛泡沫保 温板0.022750三级硅酸盐保温 板0.040860三级复合建筑节 能保温板0.020670二级利用上述求解最佳厚度的公式，代入不同的导热系数，可得不同 材料的最佳厚度及采暖总费用。,86400 x 人 x 9.281 -3480 x 0.71470 x 0.8 x 0.399).八 *d =ix + 人 x 0.528185125.1 x 106 x 0.6122500 x 3600 )5.2.2模型的求解：将不同保温材料的导热系

16、数代入上述求解最佳厚度的公式中， 得到不同材料的最佳厚度及采暖费用如表4所示。表4：不同保温材料的最佳厚度及采暖费用保温层材料 名称导热系数 人 /(K m)单位造价 (x)/ma最佳厚度(d)cm年米暖总费 用(舫元加3聚氨酯泡沫0.0205802.622303.1珍珠岩保温 层0.0581858.8791.2苯板0.0473005.491107.2挤塑板0.0254309.71781.9聚氨酯保温 板0.0283203.391457.1聚乙烯PEF0.0383204.821261.7EPS聚苯乙烯泡沫板0.0382605.431137.8酚醛泡沫保 温板0.0227502.342501.3

17、硅酸盐保温 板0.0408602.732012.4复合建筑节 能保温板0.0206702.332474.15.2.3对所得结果的分析:从上表可以看出珍珠岩保温层的厚度最大，但是最经济，费用最少， 然而其体积最大，对建筑物的负荷也最大；酚醛泡沫保温板、聚氨酯泡 沫、硅酸盐保温板、复合建筑节能保温板等虽然价格比较高，但是其需 求的厚度较小（即其体积最小）。如果从减少建筑物负荷的角度来说这 四种材料的保温层是比较适合的。5.3利用其他材料的保温方式5.3.1定量分析其他材料最佳保温方式模型的建立究竟哪种材料是最合适的，由此进行了一系列的定量分析。根据 材料成本和年采暖费用的数据，求最小经济成本即最便

18、宜的保温方式。 由于体积过大会造成建筑施工的难度，影响美观，所以 将体积乘以系 数2000，以平衡定量分析的结果。定量分析的公式如下：z = 20 x d x % + W5.3.2模型的求解按照上述方法进行处理后可得如下结果：表5：不同保温材料总成本（衡量值）的比较保温层材料 名称总成本（衡量 值）单位造价（x）Y/m3最佳厚度（刁）cm年米暖总费 用（舫元加3聚氨酯泡沫32695.15802.622303.1珍珠岩保温 层33351.21858.8791.2苯板34047.23005.491107.2挤塑板85201.94309.71781.9聚氨酯保温 板23153.13203.39145

19、7.1聚乙烯PEF32109.73204.821261.7EPS聚苯乙烯泡沫板29373.82605.431137.8酚醛泡沫保 温板37601.37502.342501.3硅酸盐保温 板48968.48602.732012.4复合建筑节能保温板33696.16702.332474.1由此可见，聚氨酯保温板和EPS聚苯乙烯泡沫板是最合适的材料， 其外观的经济性成本都能达到较低。5.4模型的改进（环保材料）为了响应可持续发展建设和谐社会的要求，决定将材料的环保性 能考虑在内。由此，在上题的模型基础上进行改进。5.4. 1模型的建立为了能将环保性能与总成本联系起来，将环保性能的级数乘以系 数500

20、0，得到新的衡量值，衡量值越小，表示其越适合做保温材料。Z = n X 5000 + z5.4.2模型的求解按照上述方法进行处理后得到如下结果：表6：最佳的保温材料比较保温层材料 名称总衡量 值环保性能总成本（衡量 值）最佳厚度（d） cm年米暖总费用 （舫元加3聚氨酯泡沫42695.1二级89303.12.622303.1珍珠岩保温 层43351.2二级84411.28.8791.2苯板59047.2五级95307.25.491107.2挤塑板110201.9五级85201.99.71781.9聚氨酯保温 板28153.1一级78833.13.391457.1聚乙烯PEF52109.7四级8

21、9581.74.821261.7EPS聚苯乙烯泡沫板49373.8四级81893.85.431137.8酚醛泡沫保 温板52601.3三级103001.32.342501.3硅酸盐保温 板63968.4三级136172.42.732012.4复合建筑节能保温板43696.1二级94934.12.332474.1由上表可知，总衡量值最小的为聚氨酯保温板。即聚氨酯保温板为 最适合的保温材料，且其最佳厚度是3.39cm。6 .结果（数据、图形）采用珍珠岩保温层，查阅相关资料可知，其导热系数在0.0580.064 （单位：W/（Km ）之间，现在的市场价格为：185元/立方米。总热阻：26 R = 0

22、.528 m2 - K / Wii=1利用公式（1）计算总费用：W = W0 x d + PWF X86400 x 人d+人x2 RiHDD18 x CX (ah xnCDD26 x C、+b)Hb xnbi=1=185 x d + 3.216 x86400 x 0.058 (3480 x 0.61470 x 0.8 x 0.299)d + 0.058 x 0.528 25.1 x 106 x 0.612 +3500 x 3600 /=185 x d +2.64d + 0.029利用公式（2）计算最佳厚度:d = i1,86.4xXx PWFx (HDD18XC + CDD26X C)34-/

23、 RWi0i=1)86400 x 0.058 x 3.216X1853480 x 0.61470 x 0.8 x 0.299 )二+二二V 25.1 x 106 x 0.6123500 x 3600 )-0.058 x 0.528=0.088（m）综上所述，珍珠岩的最佳保温层厚度d=8.8cm;最小费用为w = 38.84 元/m2。利用MATLAB软件做图，得到珍珠岩保温层厚度d与采暖总费用 W的关系，结果如图所示。图：保温层厚度d与采暖总费用W的关系由上图可知，随着保温层厚度d的增加，年采暖总费用W呈现先减 小后增大的趋势。在建筑采暖过程中，实际上保温层的投资费用w随保 温层厚度d的增加呈

24、线性增大的趋势，而年采暖（降暖）所用耗热费用 w与保温层厚度d之间是非线性关系：开始随d增大而迅速降低，当d 送到一定值时，w变得平缓，从而导致单位面积年采暖总费用w随着d 的增加，先是减小而后增长.7.结果分析和检验（如误差分析、统计检验、灵敏性检验）：7.1误差分析在分析题日时将冬季夏季每天的温度看做一恒定值，但实际问题中， 每天的气温大致呈正态分布。用定值表示每天的气温，导致温度没有浮 动性，同时便造成了误差。.优缺点，改进方向：8.1模型的优点在求解采暖年运行费用时，采用冬季采暖用煤，夏季降暖用空 调的方法，符合北方居民住房的实际情况；经过检验，在保温材料不同的情况下，由本模型计算出的

25、结果 与实际数值比较接近，说明模型具有较好的稳定性，可应用于实际；从考虑材料之间的导热关系入手，在大量查阅相关数据的基础上，给出了结果的表达式，具有一定的应用价值；参考了民用建筑节能设计标准、夏热冬冷地区居住建筑节 能设计标准等多项建筑标准和规定，使结果更加准确，增强了模型的 可行性。8.2模型的缺点没有考虑随机因素（如某年气温的异常）的影响；在计算费用的过程中，模型没有考虑节能环保方面的问题。8.3改进方向（1）计算通过围护结构的负荷时，普遍使用室外平均计算温度， 然而实际上热流随着外界气候、环境、时间等因素时刻发生变化。为此， 应建立动态负荷和保温层厚度之间的关系式。（2）本文是着重从经济学的角度来确定最佳保温层厚度，然而实 际上保温层厚度的选择不仅关系到节约能源问题，同时也关系到环境保 护问题，环境污染的现状使得环保观念在国内乃至全世界都显得十分重 要和必须。倘若在围护保温层材料的选择上考虑其对环境的影响，以及 对其所需消耗热源燃料产生