现代控制理论最优控制与滤波ocofch

1、最优控制与滤波理论Principle of Optimal Control and Filtering第一章Chapter 1绪论roduction引言最优控制问题的提出最优控制问题的数学描述最优控制问题的分类最优控制问题的研究方法1.1 引言现代控制理论形成的历史背景现代控制理论的诞生与发展最优控制理论概述1.1.1现代控制理论形成的历史背景Background of Emergence of Modern Control Theory控制理论的发展已经走过近百年的历程，控制理论的发展历史可分为三个阶段：？ 19601960 19801980 现在(经典控制理论现代控制理论 现代后控制理论t

2、 modern control theory)1960年第一届全美联合自动控制会议上提出经典与现代1950s后，现代工业、科学技术（尤其是空间技术）的发展推动现代控制理论的形成。被控系统日趋复杂，系统的品质指标（如时间、成本或综合性能指标）取极值或最优的控制方法成为控制理论与工程的关键问题。建立在传递函数、频率特性基础上的经典控制理论日益出它的局限性：经典控制论只适用于集中参数的SISO线性定常系统，且只适应于以解决伺服系统稳定性为主要目标的设计问题，难以适应综合性能指标设计控制系统的要求；在应用经典控制理论设计时，需要凭经验试凑及大量手工计算，难以用来解决复杂问题。 1960s数字计算机的出

3、现，使分析和控制复杂系统成为可能。1.1.2 现代控制理论的诞生与发展Emergence & Development of Modern Control Theory1956年前科学家庞亚金(L.S. Pontryagin)提出极大值原理庞金等人首先把“极大值原理”作为一种猜想提出 来，随后提供了严格证明，并于1958年在爱丁堡召开的国际数学会议上首次宣读。L.S. Pontryagin数学家(R. Bellman)1956年提出了离散多阶段决策的最优性原理，创立了动态规划。其 “最优性原理”。之后，他发展了变分学中的雅可比(Hamilton-Jacobi)理论，为-了最优控制问题的动态规划法

4、。并于1964年用离散多阶段决策的动态规划法解决了连续动态系统的最优控制问题。研究最优控制问题的两种主要方法极大值原理动态规划法Richard Bellman：1920-1984数学家(R.1959年Kalman)等人提出了著名的波器以解决随机最优控制问题。滤提出能控性和能观测1960年性并引入状态空间法提出具有二次型性能指标的线性状态反馈律给出最优调节器的概念。建立在状态空间法(时域法)基础上的现代控制理论诞生 的标志R. Kalman到1960年代初，一套以状态方程作为描述系统的数学模型，以最优控制和滤波为的控制系统分析、设计的新原理和方法基本确定，现代控制理论应运而生。控制理论的组成结构

5、Components of Control Theory时间域理论（状态空间法）多变量频率域理论代数理论几何理论经典控制线性系统理论最优控制最优估计与滤波随机控制系统辨识自适应控制非线性系统理论鲁棒控制理论大系统理论现代控制智能控制（模糊、神经网络、集成控制技术系统、遗传算法）现代后控制网络控制 技术 1.1.3 最优控制理论概述最优控制理论是现代控制理论的重要组成部分。最优控制问题是从大量的实际问题中提炼出来的，其发展与航空、航天、航海的制导、导航和控制技术密不可分，具有重要的应用价值。50多年来，最优控制理论的研究，在深度和广度上都有较大的发展，诸如分布参数系统的最优控制、随机系统的最优控

6、制、大系统的最优控制和微分对策等等。最优控制问题从本质上来说是一个变分学问题。经典变分学只能解决无约束或开集性约束的最优控制问题，而一般实际系统的容许控制属于闭集性约束。寻求求解最优控制问题的新途径。研究最优控制问题的两种主要方法：极大值原理和动态规划法广义最优控制的两个组成部分广义最优控制包括确定性最优控制和随机最优控制1.确定性最优控制 Deterministic OC受控系统特性固定，且系统内不存在随机干扰研究和解决从一切可能的控制方案中寻找最优解：研究被控系统在给定的约束条件和性能指标下，寻求使性能指标达到最佳值的控制规律问题。例如：要求航天器达到预定轨道的时间最短、所消耗的最少等。主

7、要方法：变分法、极大值原理、动态规划等2. 随机最优控制 Stochastic OC实际系统的本身含有未知或不能建模的因素，外部环境亦存在各种扰动，信号或信息的检测与传输中往往不可避免地带有误差和噪音。现代控制理论主要以状态空间模型为基础，反馈采用状态变量，因此，估计不可直接测量的状态变量是实现闭环控制系统重要的一环。随机最优控制是最优控制与状态最优估计的结合。最优估计根据系统的输入输出信息估计出或构造出随机动态系统中不能直接测量的系统状态变量的值。最优估计的早期工作是维纳在1940年代维纳滤波器，较系统完整的工作是在1960年代初滤波器理论。理论基础为概率统计理论、线性系统理论和最优控制理论

8、。本课程包含两个部分：最优控制与最优估计（滤波）教学内容Course Schedule第一章第二章第三章第四章第五章绪论变分法极小值原理线性二次型最优控制离散系统最优控制第六章* 动态规划第七章状态估计与Kalman滤波参考文献Referen最优控制理论与系统，：1.科学1994.12 第二版解学书. 最优控制 理论与应用 .1986年. 第一版：2.3.Michael Ans, and Peter Falb. Optimal Control-Anroduction to the Theory and Its Applications. New York,NY: McGraw Hill, 19

9、66中变分法基础（第2版）社20077：国防工业4.章最优控制理论与应用社20083：机械工业5.，最优控制理论与应用：高等教育6.20061第1版7.Kirk, Donald E. Optimal Control Theory: AnNew York, NY: Dover, 2004roduction.8.J.S Meditch. Stochastic Optimal Linear Estimation andControl. New York : McGraw-Hill, 1969.课件box:Password:2013fall方式半开卷可以将4张正都写满字的A4纸带入考场1.2 最优控制

10、问题的提出控制系统实际运行时需要考虑要求控制过程中消耗的：最少最省控制要求控制过程中消耗的能量最少要求经过的时间最短最小能量控制最短时间控制最小成本控制要求产量达到最高、成本降到最低 上述指标比经典控制理论中的上升时间、最大超调量、过渡过程时间、稳态误差等品质指标更精确。上述问题导致了最优控制理论的产生和发展。上述具体的最优控制问题可以抽象成共同的数学问题。最优控制问题的提法（数学描述）：将通常的最优控制问题抽象成一个数学问题，并用数学语言严格地表述出来。例1.2.1 飞船的月球问题为了使宇宙飞船在月球表面实（即着陆时速度为0），现要寻求着陆过程中发优控制规律，使得推力的最的消耗最少。设飞船的

11、质量为m(t)，离月球表面的高度为h(t)，飞船的垂直速度为v(t)，发推力为u(t)，月球表面的重力加速度为g，设不带的飞船质量为M，初始F。的质量为飞船的运动方程为:h& vu(t)v& u gv(t)m(t)m kum&mgh(t)式中：k0，推力与消耗率的比例系数令x1 hx2 vx3 m x&1 x2 x&ug有：（1.2.1）2x3 x& 3 ku非线性状态方程组飞船初始状态：x1(t0)=h(t0)=h0, x2(t0)= v(t0)=v0,x3(t0)= m(t0)=M+F在末态时刻tf实现控制过程中，推力u(t)： x1(tf)=0,过发x2(tf)=0， x3(tf) M。

12、所能提供的最大推力（1.2.2）0u(t) aa，即控制变量不等式（闭集性约束）控制目的：使消耗量最小最少控制问题，即（1.2.3）飞船在着陆时的质量最大：即为最大。性能指标J(u)= x3(tf) x&1 x20u(t) a（1.2.2） x&ug(1.2.1)2xJ(u)= x3(tf)（1.2.3）3 x& 3 ku数学描述：最少控制问题在系统状态方程(1.2.1)和控制变量不等式(1.2.2)的约束下寻找控制函数u(t)，把系统(1.2.1)从某个初始状态x(t0)转移到所要求的状态x(tf)，且使性能指标(1.2.3)达到最大。可以从另一方面对控制系统提出要求，如要求着陆时间最短，即

13、使J(u)= tf - t0 最小时间最优控制问题例1.2.2人造姿态控制问题A和B是两组斜对称配置的喷嘴，小喷嘴喷出的反作用力可使时产生体旋转并进入要求的姿态。设在t0时刻体偏离要求姿态(t0)角，且以 &(t0 )的角速度继续偏离。F/2Al要求从t 时刻起加上适当的控B0制力，使经过最短的时间质心l基准重新回到要求的姿态。BAF/2&(t f ) 0用 tf 表示终端时间，即要求： (t f ) 0,且使tf - t0最小。设绕质心转动惯量为Jm，每个小喷嘴产生的反作用力为F/2，与质心间的垂直距离为l，则作用于体上的力矩为： F/2l+ F/2l= FlFlJm体的角加速度为：&(t

14、) 控制作用在力矩作用下，u(t ) Fl(1.2.4)令Jm&(t ) u(t )x2 (t ) &(t )为一组状态变量则(1.2.4)变为：(1.2.5)x1(t ) (t ),令得：x&(t ) x(t )12线性状态方程组x& 2 (t ) u(t )写成矩阵-向量形式： x&1 (t ) 01 x1 (t ) 0 u(t ) x&(t )0 x(t )01 2 2即：x& = Ax + Bu(1.2.6)(1.2.7) x1 (t0 ) (t0 )系统初始状态为：x(t x)&(t)0(t200终端状态为： x1 (t f )(1.2.8)0 x(t f ) x) 0(t 2f小喷

15、嘴可以产生的最大反作用力有限，因此控制变量u(t)有um const. 0t f限，即：u(t ) um ,(1.2.9)(1.2.10)这个问题要求：J tt达到最小dtf0t0姿态最优控制问题的性能指标数学描述：时间最优控制问题在系统状态方程(1.2.6)和控制变量不等式(1.2.9)的约束下寻找控制函数u(t)，把系统(1.2.6)从某个初始状态x(t0)转移到所要求的状态x(tf)（状态空间原点），且使性能指标 (1.2.10)达到最小。可以从另一方面对控制系统提出要求，如要求控制过程中消耗最少最少控制问题由于反作用力F由小喷嘴喷射出高速产生，其大小的数量成正比，由于Fu，因此，与时间

16、内喷出时间消耗的也与u(t)成正比。最少问题的性能(1.2.11)t指标为：fJu(t ) dtt0姿态控制问题的数学描述：最少控制问题在系统状态方程(1.2.6)和控制变量不等式(1.2.9)的约束下寻找控制函数u(t)，把系统(1.2.6)从某个初始状态x(t0)转移到状态平面原点，且使性能指标(1.2.11)达到最小。若要求少消耗的同时使时间也尽可能短，则性能指标t u(t ) dtJ f可定义为：(1.2.12)t0其中，权系数 的大小表示消耗对时间的相对重要性。基于性能指标(1.2.12)的最优控制问题时间问题其他例子：库存问题，费投入问题1.3 最优控制问题的数学描述最优控制问题可

17、以抽象成共同的数学问题描述。最优控制问题的描述：将通常的最优控制问题抽象成一个描述的数学问题，并用数学语言严格地表述出来。包括:1.2.3.4.被控系统的数学模型系统初始状态和终止状态容许控制性能指标被控系统的数学模型最优控制问题的数学模型都采用状态空间模型（包括线性或非线性、连续或离散、定常或时变、确定或随机）时间连续控制系统的状态空间模型:x& fx, u, t （非线性时变连续系统)一般：(1.3.1)其中：x(t)Rn,u(t)Rm,tt0，tf (一般为时间变量)f(x,u,t)=f1(x,u,t)f2(x,u,t) fn(x,u,t)Tx& (t ) fx, u非线性定常连续系统非

18、线性函数fi中不显含时间t，即系统的结构和参数不随时间变化而变化。x& (t ) A(t )x(t ) B(t )u(t )线性时变连续系统x& (t ) Ax(t ) Bu(t )线性定常连续系统简记符线性时变系统: (A(t), B(t)线性定常系统: (A, B)时间离散控制系统的状态空间模型x(tk 1 ) fx(tk ), u(tk ), tk (tk kT ,T 采样周期）x(k 1) Gx(k) Hu(k)非线性时变系统线性定常系统系统初始状态和终止状态动态系统在控制u(t)的作用下，从一个状态转移到另一个状态状态空间的一个点（即状态）的运动。在最优控制问题中：系统的初始状态(初

19、态)通常已知：x(t0)=x0最终状态(末态、终态)要求达到的目标（因问题而异）末态举例：1.飞船月球问题要求：x1(tf)=0，x2(tf)=0，x3(tf) M 状态空间中的一个线段姿态控制问题要求：x1(tf)=0,2.x2(tf)=0一个固定点末态约束条件末态约束条件（对末态的要求）一般表达式：g1(x(tf), tf)=0等式约束不等式约束g2(x(tf), tf)0式中，g1(x(tf),tf)和g2(x(tf),tf)为关于末态时刻tf和末态x(tf)的非线性向量函数。定义：满足末态约束的状态集合称为目标集，表述为：=x(tf):x(tf) Rn , g1(x(tf), tf)=

20、0，g2(x(tf), tf)0 若末态不受任何限制，则为整个状态空间Rn 。没有规定末态约束(目标集)，并不表示对末态没有要求，控制目标体现在性能指标中。终端时间可分为固定的和固定终端时间问题的：终端时间问题容许控制 Admissible Control实际系统中，控制向量u(t)(m1)的各个分量ui(t) 只能在一定范围内取值控制约束条件飞船控制系统中控制量有大小范围的限制；在控制量为开关量的控制系统中，输入仅能取有限的几个值，如-1，+1。u(t)的取值范围对应于m维控制空间m 中的一个集合 m， u(t)的每一个取值对应于集合中的一个元素。若u(t) ，则称u(t)为容许控制。定义：

21、由控制约束条件所规定的点集称为控制域 。凡在闭区间t0，tf上有定义，且在控制域内取值的每一个控制函数u(t)称为容许控制，u(t)两类容许控制：开集和闭集u(t ) um闭集：控制量只能取值于一定范围，如开集：控制量取值不受限制，是整个m 空间。控制域为开集或闭集的两类控制问题的处理方法有很大差别，闭集的处理较难，结果也很复杂。通常假定容许控制u(t)是一个有界连续函数或者是分段连续函数。性能指标从给定初态x(t0)到目标集的转移存在不同的控制律u(t)，为了从所有容许控制中找出一种效果最好的控制，需要一个评价控制效果或控制品质优劣的性能指标函数。性能指标的选择取决于所要解决的主要。例1.2

22、.1飞船控制系统的两种要求：J(u)= x3(tf)J(u)= tf - t0最少控制问题时间最优控制问题性能指标的选择很灵活：理论知识、实践经验和技巧。确定性最优控制的性能指标一般形式(复合型性能指标)：t ftJ S (x(t), t) L(x(t ), u(t ), t )dtff0末态性能指标积分性能指标末态性能指标：末值型性能指标，体现了对末态的要求积分性能指标：体现了对系统状态变化过程中的状态x(t)和控制u(t)的要求。可将各种不同的性能指标视为一般形式的性能指标的一种特例。例1.2.1飞船最少控制问题的性能指标J(u)= x3(tf) 可视为复合性能指标的一个特例，其中S(x(

23、tf), tf)=x3 (tf)L(x, u, t)=0末值型性能指标：接近目标集程度，即末态控制精度的度量；积分性能指标：反映控制过程偏差在某种意义上的平均或控制过程的的快速性，同时反映或能量的消耗。综合性指标：扎Bolza问题；t ft S (x(t) J), tL(x(t ), u(t ), t )dtff0终端指标：尔Mayer问题；J S(x(t f ), t f )日Lagrange问题积分指标：tJ fL(x(t ), u(t ), t )dtt0 x& (t ) fx, ut ftJ S(x(t), t ) L(x(t ), u(t ), t )dtff0给定一个容许控制函数u

24、(t)，由状态方程可确定对应的状态轨线x(t)和相应的末态x(tf)，由此确定J中的末态指标S。 u(t)不同，J也不同。性能指标 J 的值依赖于整个控制过程所施加的控制函数u(t)和x(t)，而不仅仅依赖某个时刻的u(t) 和x(t) 。因此，性能指标为一泛函(functional)。性能指标函数又称为指标泛函performancefunctional 、目标函数、代价函数cost function或评价函数等。最优控制问题的描述最优控制问题用数学模型、目标集、容许控制以及性能指标可描述为:已知被控系统的状态方程及给定的初态为：x& (t ) f (x(t ), u(t ), t ),规定的目标集为：x(t0 ) x0=x(tf ): x(tf )Rn,g1(x(tf ), tf )=0, g2(