基本定理奇解包络

1、第三讲奇解与包络(4课时)目的要求：了解包络和奇解的定义，掌握包络和奇解的之间的关系，掌握奇解的求法。 重点：包络和奇解的求法。难点：奇解及其求法。教学方法：讲练结合法、启发式与提问式相结合教学法。教学手段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。教学过程：本节讨论常微分方程的奇解以及奇解的求法。2.4.1奇解在本章节的例 2中，我们已经看到方程 曳 3/的通解是y(x C)3,还有一解dxy 0,除解y 0外，其余解都满足唯一性，只有解 y 0所对应的积分曲线上的点的唯一性都被破坏.这样的解在许多方程中存在.例1求方程dydx的所有解.解该方程的通解是y sin(x C)此外还有两个特解y 1和

2、y 1。由于该方程右端函数的根号前只取 +号，故积分曲线如图2-13所示，图 2-13显然解y 1和y 1所对应的积分曲线上每一点，解的唯一性均被破坏本节主要讨论一阶隐式方程F(x,y,y) 0 和一阶显式方程dyf(x,y)dx的解唯一性受到破坏的情形，显然这样的解只能存在于方程不满足解的存在唯一性定理 条件的区域内。对于方程，由定理，这样的区域可用-L无界去检验，而对于隐式方程，一般来说，若y能解出几个显式方程dy rfi(x, y),i 1,2,L ,kdx那么对每一个方程，应用定理即可。其次对于方程，如果函数 F(x,y,y )对所有变量连续且有连续偏导数，并且在 (x0, y0, y

3、0)的邻域内有F(x0,y0,y0) 0Fy (%, y, y) 0成立，那么应用数学分析中的隐函数定理，可解得y f(x, y)其中函数f(x,y)是连续的且有连续偏导数，特别有_! 且y Fy这样一来，对方程初值解的存在唯一性定理的条件也就清楚了。因此，我们可以就方程或给出奇解的定义。定义 如果方程存在某一解，在它所对应的积分曲线上每点处，解的唯一性都被破 坏，则称此解为微分方程的 奇解。奇解对应的积分曲线称为 奇积分曲线。由上述定义，可见节例2中的解y 0是方程 立 3y3的奇解，而例1中的解y 1 dx和y 1是方程出 Ji y2的奇解。dx2.4.2不存在奇解的判别法假设方程的右端函

4、数 f(x,y)在区域D R2上有定义，如果f(x, y)在D上连续且fy(x, y)在D上有界(或连续)，那么由本章定理，方程的任一解是唯一的，从而在 D内 一定不存在奇解。如果存在唯一性定理条件不是在整个f (x, y)有定义的区域D内成立，那么奇解只能存在于不满足解的存在唯一性定理条件的区域上.进一步如果再能表明在这样的区域上不存在方程的解，那么我们也可以断定该方程无奇解。例2判断下列方程dy x2 y2色小2 dxdx是否存在奇解。解（1）方程右端函数f （x, y） x2 y2,fy 2y,均在全平面上连续，故方程 （1）在 全平面上无奇解。（2）方程右端函数f（x, y） 小 2在

5、区域y x上有定义且连续，11fv 在丫 x上有定义且连续，故不满足解的存在唯一性定理条件的点集只有y 2 . y x yy = x,即若方程（2）有奇解必定是y = x,然而y = x不是方程的解，从而方程（2）无奇解。2.4.3包络线及奇解的求法下面，我们从几何的角度给出一个由一阶方程或的通积分（x, y,C） 0求它奇解的方法当任意常数C变化时，通积分（x, y,C） 0给出了一个单参数曲线族（C）,其中C为参数，我们来定义（C）的包络线定义 设给定单参数曲线族（C）： （x,y,C） 0其中C为参数，力对所有变量连续可微.如果存在连续可微曲线 L,其上任一点均有（C） 中某一曲线与L相

6、切，且在L上不同点，L与（C）中不同曲线相切，那么称此曲线 L为曲 线族（C）的包络线或简称包络。见图2-14图 2-14定理 方程的积分曲线族（C）的包络线L是的奇积分曲线。证明 只须证明（C）的包络线L是方程的积分曲线即可。设p（x,y）为L上任一点，由包络线定义，必有 （。中一曲线l过p点，且与L相切, 即l与L在p点有公共切线。由于l是积分曲线，它在p点的切线应与方程所定义的线 素场在该点的方向一致，所以 L在p点的切线也就与方程在该点的方向一致了。这就表 明L在其上任一点的切线与方程的线素场的方向一致，从而L是的积分曲线。证毕。有了这个定理之后，求方程的奇解问题就化为求的积分曲线族的

7、包络线的问题了下面我们给出曲线族包络线的求法。定理 若L是曲线族的包络线，则它满足如下的C判别式(x, y,C) 0c(x,y,C) 0反之，若从解得连续可微曲线:x (C),y(C)且满足：2(C)2(C) 0和；(C), (C),C)；( (C), (C),C) 0,(称为非退化条件)，则是曲线族的包络线.证明 对L上任取一点p(x,y),由包络线定义，有(C)中一条曲线l在p点与L相切， 设l所对应的参数为 C,故L上的点坐标x和y均是C的连续可微函数，设为x x(C),y y(C)又因为p(x,y)在l上，故有恒等式(x(C),y(C),C) 0L在p点的切线斜率为 l在p点的切线斜率

8、为kix(x(C),y(C),C)y(x(C), y(C),C)因为l与L在p点相切，故有klkL,即有关系式x(x(C), y(C),C)x(C) y(x(C),y(C),C)y (C) 0另一方面，在式两端对 C求导得x(x(C), y(C),C)x(C) y(x(C), y(C),C)y(C) c(x(C), y(C),C) 0此式与比较，无论是在 x (C), y (C)和x, y同时为零，或不同时为零的情况下均有下 式c(x(C), y(C),C) 0成立。即包络线满足C判别式.反之，在上任取一点q(C)=(C), U。),则有(C), (C),C) 0c( (C), (C),C)

9、0成立.因为 x， y不同时为零，所以对在 q点利用隐函数定理可确定一条连续可微曲线:y h(x)(或x k(y),它在q点的斜率为x( (C), (C),C)y( (C), (C),C)另一方面，r在q点的斜率为(C) (C)现在，由的第一式对 C求导得x( (C), (C),C) (C) y( (C), (C),C) (C) c( (C), (C),C) 0再利用的第二式推出x( (C), (C),C) (C) y( (C), (C),C) (C) 0因为(C), (C)和x, y分别不同时为零，所以，由、和推出 上r=0,即曲线族中有 曲线丫在q点与曲线r相切.因此，r是曲线族的包络线。

10、例3求业3y3的奇解.dx解 在本章节已解得方程通解为y (x C)3由C-判别式y (x C)320 3(x C)2解得y 0.由于y 1 0, (C)1 0,所以y 0为原方程的奇解例4求方程的奇解。解由上面的例1,该方程的通解为y sin(x C),由C-判别式y sin(x C)0 cos(x C)的第二式解出x C k -,k 0, 1, 2,L2代入第一式，得到y 1。因为1 0, (C)1 0,故 y1为方程的奇解例5求克莱洛方程y xy (y) TOC o 1-5 h z 的奇解，其中是二次可微函数且0。解由第1章节的例2可知该方程的通解为yCx(C)C判别式为yCx(C)0 x(C)因为y 1 0, (C)(C) 0,故由所确定的曲线必定是克莱洛方程的奇解.即克莱洛方程总有奇解。本节要点：.奇解的定义。.不存在奇解的判别方法。(1)全平面上解唯一 ：不存在奇解。(2)不满足解唯一的区域上没有方程的解无奇解。.求奇解的包络线求法。包络线 满足C一判别式。在非蜕化条