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1、柯西证明均值不等式的方法byzhangyuong(数学之家)本文主要介绍柯西对证明均值不等式的一种方法，这种方法极其重要。一般的均值不等式我们通常考虑的是AG:nn一些大家都知道的条件我就不写了x+x+.+x12nnxx.xn12n我曾经在几个重要不等式的证明中介绍过柯西的这个方法，现在再次提出二维已证，四维时：a+b+c+d，(a+b)+(c+d)2ab+2cd4abed，44abed八维时:(a+b+c+d)+(e+f+g+h)44abed+44efgh8sabcdefgh这样的步骤重复n次之后将会得到x+x+.+xTOC o 1-5 h z12n2n2n122nx+x+.+xx，x,x，

2、x；x，x，x=24，11nnn+1n+22nn由这个不等式有A，nA+(2一n)A2nxx.xA2-n，(xx.x)2nA2即得到2n12n12nx+x+.+x12nnxxxn12n这个归纳法的证明是柯西首次使用的，而且极其重要，下面给出几个竞赛题的例子：例1：若0a1(1，i，n),记RTOC o 1-5 h ziiiiininiiiT=丄工t,U=丄工u,V=丄工v,求证下述不等式成立：nininiiiiPJrstuv+1、,RSTUV+1、(_ii)()nrstuv1RSTUV-1i=1iiiii要证明这题，其实看样子很像上面柯西的归纳使用的形式其实由均值不等式，以及函数f(x)=In

3、ex1是在R上单调递减ex1因此我们要证明：证明以下引理：)ni=1.x1X1Jxx1n=2时，,()()(m)2x-1x-1Jxx-112V12令A=xx,A2(xx1xx)(xx1xx)1212121212-2A(xxxx1)A2(xx1-x-x)(1xx-x-x)1212121212122A(xx1-x-x)1212,(A21)(xx1)2A(xx1)1212显然成立因此叫xxi=1i2n一n2nn(GnG2n1)2n,G=2n-nGnG2n1FLi=1所以原题目也证毕了)n这种归纳法威力十分强大，用同样方法可以证明Jensen:竺严f（），则四维：xxxxxxxxf(x)f(x)f(x)f(x)2f(_X)2f(-X)4f(-_-3_)1234224直进行n次有f(x1)f(x2)+f(x2”)f(x1x2x2n),令令x=x,11xxxx一x；x一x一一x一2n一nnn1n22nn有/(x1)/(x”)+(2n一n)f(A)f(nA(2n一n)A)=f(A)所以得到f(x1)+f(3)+f(化)f(x1x2xn)所以基本上用Jensen证明的题目都可以用柯西的这个方法来证明而且有些时候这种归纳法比Jen

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