专题2.2与三角形相关的范围问题高考数学选填题压轴题突破讲义(解析版)

1、 方法综述与三角形相关的范围问题同样是高考命题的热点问题之一，要充分利用解三角形知识，正余弦定理的边角转化策略以及结合基本不等式、方程与不等式思想、转化与化归思想求解二解题策略类型一 结合基本不等式求解问题在例 1 】【湘赣十四校 （湖南省长郡中学、 江西省南昌市第二中学等 ）2019 届高三下学期第一次联考】 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ，且恒成立，则 的取值范围是（ ）BDAC答案】 D解析】又又 ，当且仅当 时取等号设则可知设 ，即当时， 恒成立可得：本题正确选项：【指点迷津】本题考查了余弦定理及基本不等式的应用，利用余弦定理表示出cosA ，将得出的关系式利用基本不等式

2、变形求出 cosA 的范围，通过构造函数，应用二次函数的图象和性质，求出 的范围 【举一反三】C 所对的边分别为 a， b， c，且1、【江西省上饶中学 2019 届高三上学期期中】在 ABC 中，内角 A ，B，当 tan（AB）取最大值时，角 C 的值为（ABCD答案】 A解析】由正弦定理得，化简得.，当且仅当 时等号成立，由于故 为锐角，故 ，所以. 故选 A.2、【安徽省六安市第一中学 2019 届高三高考模拟考试（三 ）】在中，角 A，B ，C 的对边分别为 a，b，Bc，若， ，则 的面积的最大值为（C2A答案】 A解析】 在 ABC 中， （ 2ac） cosB bcosC ，

3、（ 2sinA sinC） cosB sinB cosC，2sinAcosBsinCcosB+sinBcosC sin（ B+C） sinA， 约掉 sinA 可得 cosB ，即 B ，2 2 2 2由余弦定理可得 16 a2+ c2 2accosBa2+c2ac2acac，ac16，当且仅当 ac 时取等号， ABC 的面积 S acsinB ac 故选： A3、【山西省 2019 届高三考前适应】的内角 的对边分别为 ，若 的面积为， 周长为 6，则 b 的最小值是（）A 2BC3D【答案】 A【解析】的面积为因为所以整理得 ，即，因为 ，所以又因为周长为 6，所以，即所以 ，所以 的最

4、小值是 2 故选 A类型二 利用消元法求解问题例 2】【安徽省 A10联盟 2019 届高三 11月段考】在中，内角 的对边分别为 ，若 的面积为 ，则 的最大值为（A2 B 4 C 2 答案】 C【解析】由题意得， ， ，又 ，则 的最大值为 ，故选 C【指点迷津】 利用余弦定理， 结合三角形面积 可化为 ， 从而可得结果 . 一般地，利用正弦定理、余弦定理实施边角转化，利用辅助角公式实现“消元” ，求得范围【举一反三】1、【广东省广州市天河区 2019 届高三综合测试（二 ）】在中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 ，则 的取值范围是A BCD【答案】 B【解析】即又 ，即本

5、题正确选项：222、圆 x2 y2 1上任意一点 P，过点 P 作两直线分别交圆于A，B 两点，且 APB60 ，则 PA PB的取值范围为 答案】 3,6【解析】在 ABP 中，由正弦定理得：PA PBsin PBA sin PAB 2r 2,设 PBA ， 0,120又 APB 60 ，所以 PAB 120 PBA 120 ，PA 2sin,PB 2sin 120 .2PA PB4 sin 2 4sin2 120 3 2sin2 2 3sin cos 4 3sin2cos2 4 2sin 26 0,23,2 6 6, 6.4 2sin 2 3,6 .答案为： 3,6 .3.【云南省 201

6、9 届高三第一次统一检测】在中，内角 ， ， 对的边分别为 ，平分 交 于点 ， ，则 的面积的最小值为(ABCD答案】 B解析】设 ，则，平分 交 于点 ，在三角形 中，由正弦定理可得，在三角形 中，由正弦定理可得 ，面积，当时，即时， 面积 最小，最小值为故选：例 3 】【安徽省芜湖市 2019 届高三上期末】锐角三角形 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知， ，则 周长的最大值为()A BC3D 4答案】 C解析】依题意，由正弦定理得 ，即，由于三角形为锐角三角形，故 ，由正弦定理得 ，故三角形的周长为，故当 ，即三角式为等边三角形时， 取得最大值为，故选 C.【指点迷津】在处理

7、解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，将所有边的关系转化为角的关系，有 时需将角的关系转化为边的关系；这类问题的通法思路是：全部转化为角的关系，建立函数关系式，从而 求出范围或最值，或利用余弦定理以及基本不等式求范围，从而得最值 .【举一反三】1、【河北省衡水市第十三中学 2019 届高三质检（四 ）】已知的内角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，且，若 的外接圆半径为 ，则 的周长的取值范围为（ ）A BCD【答案】 B【解析】因为 ，所以 ， ， ,因此.即,因为,所以,选 B.2、在 ABC中，角 A， B， C所对应的边分别为 a， b， c，若 bc 1， b 2ccosA 0，则

8、当角 B 取得最大值时，三角形的周长为（）A. 2 3 B. 2 2 C. 3 D. 3 2【答案】 A【解析】在 ABC 中，由正弦定理得： sinB 2sinCcosA 0 cosA b 02cA 为钝角 cosAcosC 0 ，由 sinAcosC cosAsinC 2cosAsinC ，可得 tanA 3tanC，tanC0 ，tanA tanC 2tanC 2 2 3tanB= = 2 = = ，tanAtanC 1 3tan 2C1 3tanC 2 3 3tanC当且仅当 tanC=3 时取等号3B 取得最大值arctan33时，2 c b 1，C B A63 a=21 cos =

9、 3 a+b+c=2+ 3 故答案为： 2+ 3 6类型四 与三角形面积有关的最值问题例 4】在 ABC中， a, b, c分别为内角 A,B,C 的对边，若1b sinC cosA sinAcosC ，且 a 2 ，2则 ABC 的面积的最大值为答案】 2 1【指点迷津】本题综合性较大，且突破了常规性，即在条件中只在等式的一边给出了三角形的边，所以在1b 解题中要熟练地对所得中间结论的变形，如在本题中 要在 cosA 1的基础上在利用正弦定理得到sinBsinA cosA.对于最值的处理往往要考虑到基本不等式的运用，运用不等式时， 不要忘了基本不等的使用条件.举一反三】1、【陕西省汉中市 2

10、019 届高三上学期第一次检测】在中，角 的对边分别是 ，若角 成等差数列，且直线 平分圆 的周长，则 面积的最大值为（ ）AB C 2 D 答案】 D解析】因为角 成等差数列 , 所以 ，又直线 平分圆 的周长， 所以直线过圆心 ，即，三角形面积，根据均值不等式，当且仅当 时等号成立， 可知，设 与 面积分别为 ，则 的最大值为面积的最大值为，故选 D.已知四边形中，【答案】【解析】因为 ，所以 ，在 ABD 中，由余弦定理可得， ， 作 CE BD 于 E，因为， 所以，所以，当 时， 的最大值为 .故答案为：3、【河南省焦作市 2019 届高三三模】如图所示，点， 分别在菱形 的边 ，

11、上， ，则 的面积的最小值为 答案】解析】在菱形 中，, 且由正弦定理，所以 = ，在 中， = ，设得,则因为得则, 由正弦定理，所以，即，所以，在 中，在 中，所故答案为：类型五 与三角形解的个数有关的最值问题【例 5】在 ABC中，角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c， A C 2B,bsinA 6sinB ，若符合条件的三角 形有两解，则 b 的取值范围是 【答案】 3 3,6【解析】 因为 A C 2B,A B C ，所以 B ，3又 bsinA 6sinB ，则 ab 6b ，则 a 6 ，由 asinB b a ，所以 3 3 b 6.【指点迷 津】本题主要考查了三角形问题的

12、求解，其中解答中涉及到正弦定理在解三角形中的应用，三角 形的内角和定理等知识点的应用，试题比较基础属于 基础题，解答中熟记三角形的正弦 定理的边角互化和 合理应用是解答的关键 .【举一反三】1、【湖北省黄冈市 2019届高三上学期元月调研】已知 a，b，c分别为的三个内角 A，B，C 的对边，已知 ， ，若满足条件的三角形有两个，则 x 的取值范围是 TOC o 1-5 h z A BCD【答案】 B【解析】解：在 中，由正弦定理得： ，即 ，可得：，由题意得：当 时，满足条件的 有两个，所以，解得：，则 a 的取值范围是 故选： B2、在 ABC中，内角 A,B,C 所对的边分别为 a, b

13、, c ，已知 A 300,b 2 ，如果这样的三角形有且只有一 个，则 a 的取值范围为 .【答案】 a 1或 a 2【解析】由题意得，在ABC中内角 A, B,C所对的边分别为 a,b,c，由 A 300,b 2，所以 bsinA 1，所以当 a b 2或 a 1时，此时满足条件的三角形只有一个 类型六 转化成三角函数最值问题【例 6】【 湖南省湘潭市 2019 届高三下学期二模 】 分别为锐角 内角 的对边，函数 有唯一零点，则 的取值范围是（ ）A BCD【答案】 D【解析】 由题意，函数 为偶函数且有唯一零点，则 ，所以 .由余弦定理，得 ，整理得即 ，所以 ，由正弦定理，得 ，即

14、，所以 ，所以所以或 （舍），故 ，结合锐角 ， ，则 ， ，所以 ，由，又因为 ，所以 ，即 的取值范围是 ，故选 D.【指点迷 津】对于解三角形问题， 通常利用正弦定理进行 “边转角 ”寻求角的关系， 利用“角转边 ”寻求边的关 系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值【举一反三】a1. 在锐角 三角形中， a,b,c分别是内角 A,B,C 的对边，设 B 2A，则 的取值范围是（ bA.323, 22B. 2, 2 C.2, 3D. （0，2）答案】解析】B 2A, 由正弦定理 asinAb 得： sinBa sinAb sinB锐角，即0 B 90 ，

15、且 B 2A, AC 为锐角，sinAsinAsin2 A 2sinAcosA0 2A 900 180 3A 90 ,所以2cosAB为30A 45, 22 cosA 23 ，即 2 2cosA 3，3 1 2 ，则 a 的取值范围是 3, 2 ，故选 A.2cosA 2 b 3 22.【江苏省南京市、盐城市 2019 届高三二模】在 中，若 ，则 的最大值 为.【答案】【解析】在 ABC 中，有 ,所以 =,当即 时取等 .故答案为：三强化训练1【陕西省彬州市高 2019 届高三上学期第一次监测】在 中，三内角 的对边分别为 ，且， ，则角 的大小是（ ）A 或BCD【答案】 A【解析】，

16、cosA，由 0 Ac=2, 所以a+b+c故答案为11【四川省巴中市 2019 届高三零诊】 在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 = ，则 A 的取值范围为 答案】（0， 解析】，且余弦函数在 上是递减函数，故答案为（ 0， 12【四川省成都石室中学 2019届高三二模】四边形 中， ， ， ， ，则 的最大值为 【答案】【解析】 设 ABC ， ACB ，则在 ABC 中，由余弦定理得 AC2 10 6cos由正弦定理得 ，即 sin , , ， CD=在 BCD 中，由余弦定理得： BD2BC2+CD22BC?CD?cos（900+），DB29+23 -2cos+2 sin +4sin（）当 时，对角线 BD 最大，最大值为 ，则 的最大值为 ,故答案为：13【甘肃省白银市靖远县 2019 届高三第四次联考】 在 中，角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ，若，且 边上的高等于 ，则 的周长的取值范围为 【答案】【解析】由题可知：故 ，即又，则又，则所以 的周长的取值范围为本题正确结果：14【 2019年安徽省马鞍山市高考一模】 在 中，角 、 、 所对的边分别边 、 ，若 ， ，则 的取值范围是 _【答案】【解析】， ，又 ，因此，故答案为 15【福建省 2019届高三适应性练习 （四