湖南省长沙市长郡中学2017届高三上学期开学摸底测试文数试题含解析

1、一、选择题（本大题共12 个小题，每小题 5 分，共 60 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. ）1。复数 z2（ i 是虚数单位）的共轭复数在复数平面内对应的点是（）iA (1,1)B (1, 1)C ( 1,1)D ( 1,1)【答案】 A考点：复数概念及运算。【易错点晴】 在复数的四则运算上，经常由于疏忽而导致计算结果出错. 除了加减乘除运算外， 有时要结合共轭复数的特征性质和复数模的相关知识，综合起来加以分析。在复数的四则运算中，只对加法和乘法法则给出规定, 而把减法、除法定义为加法、乘法的逆运算。复数代数形式的运算类似多项式的运算, 加法类似合并同类项；复数

2、的加法满足交换律和结合律, 复数代数形式的乘法类似多项式乘以多项式, 除法类似分母有理化；用类比的思想学习复数中的运算问题 .f ( x5), x2已知函数f (x)ex,2x2 ， 则f ( 2016)()f (x), x2A e2D 1e【答案】 B【解析】B eC 1试题分析 : x时， f( 2016)f (2016) ，x2 时，函数周期为 5 ， f (2016)f1e.考点 : 分段函数求值 .抛掷两颗质地均匀的骰子，则向上的点数之积为6 的概率等于（）1 18 19 165D36【答案】 B【解析】试题分析：基本事件36 种, 符合题意的为1,6 , 6,1 , 2,3 , 3

3、,2 共四种，故概率为 1 。9考点：古典概型 .设 a,b, c 为三角形 ABC 三边长， a1,bc，若 log c b alog c b a2log c b a log c b a ，则三角形 ABC 的形状为（）锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D无法确定【答案】 B考点： 1。解三角形； 2。对数运算。25。如图所示 , 已知椭圆 C ： xy21的左、 右焦点分别为F , F ，点 M 与 C 的焦点不重合，分别延长4MF1, MF2 到 P,Q ，使得MF12F1P ， MF23122F2Q ， D 是椭圆 C 上一点 , 延长3MD 到 N ， 若 QD3 QM2 QN ，则

4、 | PN | QN |（）55A 10B 5C 6D 3【答案】 A【解析】试题分析：根据椭圆的定义和比例，有考点：直线与圆锥曲线位置关系。| PN| QN55| DF1 | DF 2 |410 .22若 sin()1 ，则 2cos 2 ()1（）A 13D7 96362B1C 739【答案】 A【解析】试题分析：2cos2 ()1coscossin1 。6232663考点：三角恒等变换 .一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等, 体积为163cm3 , 它的三视图中的俯视图如图所示，侧视图是一个矩形，则侧视图的面积是（)A 8B 8 3C 4D 4 3【答案】 B考点：三视图。8。定义区间

5、x1, x2 的长度为 x2x1( x2x1 ) ，函数f ( x)( a2a)x a 2 x1 (aR, a的定义域与值域都是m, n( nm)，则区间 m, n取最大长度时实数 a 的值为 ()A 23 3B 3C 1D 3【答案】 D【解析】试题分析 :fx111aa 2 x为增函数，故fx 与 yx 有两个交点 ,( a 2a) x1a2 xx ，化简得a 2 x2a 2ax10，mn11 , mn1，22nmnm4mnaa2321 ，对称轴 11 时，取得最大值，故a3 .考点：函数导数与不等式。a2aa3已知函数f ( x)x2ln | x | ，则函数xyf ( x) 的大致图象

6、为（）【答案】 A考点 : 函数图象与性质。执行如图所示的程序框图，若输入x 的值为 4，则输出的结果是()A 1B1C524D 13 8【答案】 C【解析】试题分析： x4, y1, 循环， x1, y1, 循环 , x1 , y5，退出循环，故选C。224考点 : 算法与程序框图。11。已知非零向量a,b 满足 | a |2|b | , 若函数f ( x)131x2| a | xabx1 在 R上存在极32值，则 a 和 b 夹角的取值范围是（）A 0,)B (,C (, 26333D , 3【答案】 B考点 :1 。向量运算； 2。函数导数 .【思路点晴】函数f ( x)1 x31 |

7、a | x2abx1 在 R 上存在极值，转化过来，意思就是函32数 fx 的导数在 R 上有两个不相等的实数根，函数求导后得到f xx2a xa b , 利2用判别式大于零 , 即有 a4a b0,cos2a1, 两个向量所成的角的取值范围是4 a b20, 在这个区间上，满足要我们各个击破就可以解决.cos1 的角的取值范围就是(, 。两个知识点的题目 , 只需2312。若函数f ( x)x1 sin 2 xa sin 3x 在 (,) 单调递增，则 a 的取值范围是（）1A 1,1B 1, 31 1C , 3 3D 1,13【答案】 C【解析】试题分析：函数在 (,) 单调递增f x12

8、 cos 2 xa cos x4 cos2 xa cos x50 恒成立 , 即3334cos 2 x3a cosx50 恒成立，1cos x43a501 , 所以, a1 , 1 .43a503 3考点：导数与单调区间。【思路点晴】函数f ( x)x1 sin 2 xa sin 3x 在 (,) 单调递增，也就是它的导函数恒大于等于零，我们求导后得到f x12 cos 2xa cos xcos2 xa cos x50 恒成立，即4cos 2 x3a cos x3330 恒成立，这相当于一个开口向上的二次函数, 而1cosx1 ，所以在区间的端点要满足函数值小于零，所以有43a5043a501

9、 1, a,3 3。解决恒成立问题有两种方法，一种是分离参数法，另一种是直接用二次函数或者导数来讨论.第卷（非选择题共90 分)二、填空题（本大题共4 小题，每题 5 分，满分 20 分 )13. 在正方体 ABCD 中, M 是 BD 的中点 , 且AMmABnAD ,( m, nR) ，函数f (x)exax1 的图象为曲线，若曲线存在与直线 y(mn) x 垂线的切线（ e为自然对数的底数） ，则实数 a 的取值范围是。【答案】 1,【解析】试题分析：依题意mn1 , mn1，2y( mn) xx，f xexa1,exa10,a1.考点 :1. 向量运算 ;2 。切线方程。14。已知直线

10、 x是函数4f (x)asinxb cos x( ab0) 图象的一条对称轴，则直线axbyc【答案】40 的倾斜角为。考点：三角函数图象与性质。设x, y 满足不等式y2xy1 ，若 M xy14 xy ， N( 1 )x ，则 MN 的最小值2为.【答案】4考点 : 线性规划 .【思路点晴】本题的命题背景是线性规划，第一步我们就画出可行域, 由图象可知，可行域为三角形。MN 的最小值即M minNmax ，我们只需求出 M 的最小值，减去 N 的最大值即可。在图象中画出基准的y4 x ，向下平移到点1,2取得最小值为2 ，而对于 N ，这是一个减函数， 由可行域可知定义域的取值范围是1,3

11、 ， 故 N 在 x1 是取得最大值为 2 ，2故 M minNmax4 。抛物线x22py( p0) 的焦点为 F ，其准线与双曲线x2y1相交于A, B 两点 , 若ABF 为等边三角形，则p。【答案】 2 3【解析】试 题 分 析 ： 抛 物 线 准 线 为yp ， 代 入 双 曲 线 得 x2p21， 焦 点 F40, p， 故2p3 , 解得p214p23 。考点：圆锥曲线间的位置关系。【思路点晴】本题考查的是抛物线和双曲线的位置关系. 先根据定义求出抛物线的焦点和准线方程分别为 F0, p和 y 2p 。将 y 2p代入双曲线的方程, 可求得2A, B 两点的坐标 . 得出坐标之后

12、，根据题意 ,ABF 为等边三角形，也就是说kAF3 ，也即pp2143 ，解得 p23 . 此类题目主要的方法就是数形结合，然后利用圆锥曲线的定义来求解.三、解答题（本大题共6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）17。（本小题满分 12 分）已知数列 an的首项 a14 ，前 n 项和为Sn ，且Sn 13Sn2n40 （ nN * ） .（ 1) 求数列 an 的通项公式；（ 2）设函数f (x)a xax2ax3a xn ，f ( x) 是函数f (x) 的导函数 , 令nbf (1)，求数nn 1n 21列 bn 的通项公式 , 并研究其单调性。53n 11

13、5n(n6)【答案】（ 1） an53n 11(nN* ) ; （ 2） b，单调递增数列 .n42试题解析：(1) 由 S3S2n40 ,(nN* ) , 得 S3S2n240 (n2)n 1nnn 1两式相减得an 13an20 ，可得 an113(an1)(n2)又由已知a214 , a213(a11), 即 an1 是一个首项为 5，公比 q3 的等比数列 , an53n 11(nN* ) 。考点：数列。（本小题满分 12 分）如图，三棱锥 SABC ， E, F 分别在线段AB, AC 上， EF/ / BC ，ABC,SEF 均是等(1 ）当 a3时，求三棱锥2SABC 的体积 ;

14、（ 2) a 为何值时， BE平面 SCO 。【答案】（ 1） 3 ; （2) a8.3边三角形，且平面 SEF平面 ABC ，若 BC4, EFa , O 为 EF 的中点。（ 2）平面 SEF平面 ABC ， O 为 EF 的中点，且 SESF ， SO平面 ABC ，故 SOBE ， 要使 BE平面 SCO , 则需 BECO ，11延长 CO 交 AB 于 D ，则 CDAB ， DEEOa , AD2 ,24 AE21 a ，即 AEEF ， 2 41 aa ， a8 ， 43所以 a8 时， BE平面 SCO 。3考点：立体几何证明垂直与求体积。（本小题满分 12 分)国内某知名大

15、学有男生14000 人，女生 10000 人，该校体育学院想了解本校学生的运动状况，根据性别采取分层抽样的方法从全校学生中抽取120 人，统计他们平均每天运动的时间，如下表：（平均每天运动的时间单位：小时，该校学生平均每天运动的时间范围是0,3 ） 。男生平均每天运动时间分布情况:女生平均每天运动时间分布情况:（ 1）请根据样本估算该校男生平均每天运动的时间（结果精确到0。1）；(2 ）若规定平均每天运动的时间不少于2 小时的学生为“运动达人” ，低于 2 小时的学生为“非运动达人” 。请根据样本估算该校“运动达人 的数量 ;请根据上述表格中的统计数据填写下面22 列联表 , 并通过计算判断能

16、否在犯错误的概率不超过 0.05的前提下认为“是否为运动达人与性别有关?”参考公式： k 2n(adbc) 2(ab)(cd )(ac)(bd)，其中 nabcd 。0 100。 050.0250.0100。0050。0012.7063。 8415.0246.6357。87910.828参考数据：P(K 2k0k0 )【答案】（ 1) 1.5 ；（ 2） 4000 ；列联表见解析，不能在犯错误的概率不超过0.05 的前提下认为“是否为运动达人与性别有关。【解析】（ 2) 样本中“运动达人”所占比例是201 ，故估计该校“运动达人”有12061(1400010000)4000 人；6由表可知：故

17、 K 2 的观测值 k120(1545555)2962.7433.84120100507035故在犯错误的概率不超过0。05 的前提下不能认为“是否为运动达人与性别有关” 考点 :1. 频率分布直方图 ;2. 独立性检验 .20。（本小题满分 12 分）x2y21已知椭圆 C ：圆 C 相交于221(ab ab0) 的离心率为, 过右焦点 F 且垂直于 x 轴的直线与椭2M , N 两点，且 | MN |3 。（ 1) 求椭圆 C 的方程；（ 2) 设直线 l 经过点 F 且斜率为 k ， l 与椭圆 C 相交于 A, B 两点, 与以椭圆 C 的右顶点 E 为圆心相交于P,Q 两点（ 求直线

18、 l 和圆E 的方程 .A, P, B,Q 自上至下排列） ， O 为坐标原点，OA ? OB9，且 |5AP | | BQ | ，22【答案】 (1 ） xy431 ； (2)3xy30 与 3xy30 ，圆 E 的方程为2(x2)y2331 .100试题解析：（ 1）设 F (c,0) , 则由题意得c2a 2b 2 ，ca1， 2 ?2b 2a3 ，解得 a2,b3, c1 ，2椭圆 C 的方程为x4y231。（ 2) 由题意，直线 l 的斜率 k 存在，设 l 的方程为 yk ( x1) ，联立椭圆方程得：(34k 2) x28k2 x4k 2120 .设 A( x1, y1), B(

19、 x2, y2) ，则 x1x28k24 k22， x1x2122，34k34k考点：直线与圆锥曲线位置关系。【方法点晴】圆锥曲线命题的主要特点有：一是以过特殊点的直线与圆锥曲线相交为基础设 计“连环题 ，结合曲线的定义及几何性质，利用待定系数法先行确定曲线的标准方程，进一步研究弦长、图形面积、最值、取值范围等；二是以不同曲线（圆、椭圆、双曲线、抛物线）的位置关系为基础设计“连环题”，结合曲线的定义及几何性质，利用待定系数法先行确定曲线的标准方程，进一步研究弦长、图形面积、最值、取值范围等；三是直线与圆锥曲线的位置关系问题，综合性较强, 往往与向量（共线、垂直、数量积）结合，涉及方程组联立，根

20、的判别式、根与系数的关系、弦长问题等. 21.( 本小题满分 12 分）已知函数点 (1, f (1)f ( x)ln xk ek( k 为常数， e2.71828是自然对数的底数) ，曲线yf ( x) 在处的切线与 x 轴平行。2（ 1）求 k 的值 ;(2 ）设g( x)(x2x) f，其中f ( x) 为f ( x) 的导函数，证明：x0, g( x)1e。【答案】（ 1） k1 ；（ 2）证明见解析 .【解析】试题分析：（ 1）曲线yf ( x) 在点 (1, f(1) 处的切线与 x 轴平行，意思就是曲线在该点的导数为 0 ，即f (1)1ke0 ，解得 k1 ； (2 ）先求得g

21、(x)(x2x) 1xx ln xx1 (1xx ln x) ，设h(x)1xx lnx , 利用导数求得h( x)xex在 (0,) 上的最大值为exh(e 2)12e，即h(x)1e 2 。 设 (x)ex( x1)，利用导数求得(x) 在 (0,) 上是增函数，( x)(0)0 ，即 ex(x1)0 , 所以x10ex1 。所以g(x)x1 h( x)1e.2ex考点：函数导数与不等式.【方法点晴】 本题考查函数导数的基本原理。首先是导数与切线的关系， 题目中曲线yf ( x)2在点 (1, f (1) 处的切线与 x 轴平行，意思就是曲线在该点的导数为0 , 由此建立方程可求出k1 。

22、本题第二问，利用综合法来分析，要证g( x)x1 h( x)1 exe，即是证h(x)1e 2 ，且 0 x11. 我们构造两个函数, 一个是h( x)1xx lnx ，一个是xe(x)ex( x，利用导数作为工具来证明即可。请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答 , 如果多做 , 则按所做的第一题记分。解答时请写清题号 .22。（本小题满分 10 分）选修 4-1 ：几何证明选讲如图，圆 M 与圆 N 交于 A, B 两点，以 A 为切点作两圆的切线分别交圆M 和圆 N 于 C, D两点 , 延长 DB交圆 M 于点 E , 延长 CB 交圆 N 于点 F ，已知 BC5, DB10 .(2) 求DE。【答案】（ 1） AB5 2 ; （2） 1.(2 ）根据切割线定理，知CA2CB ? CF ， DA 2DB ? DE ，两式相除 , 得CA 22CBCF?(*)(1 ）求 AB 的长；CFDADBDE由 ABC DBA ,得 ACABDADB522102C