(完整版)球的切接问题专题

1、一.知识点1. 正方体的内切球：球与正方体的每个面都相切,切点为每个面的中心，显然球心为正方体的中心。设正 方体的棱长为a，球半径为R。如图1，截面图为正方形EFGH的内切圆，得R = a ；22与正方体各棱相切的球:球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，如图2作截面图，圆O为正方形EFGH的外接圆，易得R二a .3正方体的外接球:正方体的八个顶点都在球面上,如图3,以对角面AA 作截面图得,圆O为矩形AACC的外接圆，易得R二AO二上3 a。11i2D1C图1C1图2图34。正四面体的外接球和内切球如图4所示，设点O是内切球的球心，正四面体棱长为a .由图形的对称性知, 内切球半径为r，外

2、接球半径为R .点O也是外接球的球心.设正四面体的表面积S表3=4 x a 2 =、：3a 2.4正四面体的体积VA-BCD3吕a “AB 2 - BE 2a2“-12a 31213VS - r = V , r = a bcd3 表A-BCDS表3迈3 x a 312v3a 2_ V6=12在 RtABEO 中，BO2 = BE2 + EO2，即卩R 2 =得 R = a,得 R 二 3r小结:正四面体内切球半径是高的错误!,外接球半径是高的错误!5。长方体的外接球:即正方体的各顶点都在球面上。设长方体的棱长分别为a, b,c。怎么作平面截图来反映半径和边长的关系？联想正方体的外接球，过长方体

3、的对角面的作截截面图结论：由图形（4）我们可以发现外接球的半径R二二、题型与方法归类 例1、（1）若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为本题主要考查简单的组合体和球的表面积画出球的轴截面可得,球的直径是正方体的对角线,所以有球的 3岀半径R=尹，则该球的表面积为S=4nR2=27n .故填27n（2） 求棱长为1的正四面体外接球的体积设SO是正四面体SABC的高，外接球的球心0在SO 上，设外接球半径为R, AO=r,1 1 1 则在 ABC中，用解直角三角形知识得厂二弓3,从而S0=错误！=错误！=错误！，在RtAOO中，由勾股定理得R2=（错误！一R） 2+（错误!）2，

4、解得只=错误！，AV 球=错误！nR3=错误！n（错误！）3=错误！n。球变式练习:1已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积（ C ）A.16nB.20nC.24nD.32n2已知正方体外接球的体积是错误！ n，那么正方体的棱长等于（D ）A. 2错误！Bo错误！C.错误！D.错误！解析 由题意知V=错误！nR3=错误！，：R=2，外接球直径为4，即正方体的体对角线，设棱长为a, 则体对角线1=错误旧=4，玄=错误！。半径为R的球的外切圆柱（球与圆柱的侧面、两底面都相切）的表面积为，体积为【解析】 外切圆柱的底面半径为R，高为2R，：S =S +2S =2nR2

5、R+2nR2=6nR2,表 侧底V =nR22R=2nR3.【答案】 6nR2；2nR3圆柱例2、已知A、B、C、D是球0面上的四个点，OA、OB、0C两两垂直，且0A=1, 0B=2, 0C=3,求球的体 积与表面积.分析:通过将三棱锥补成长方体.这种方法叫作补形法.14解：将三棱锥补成长方体，设外接球的半径为r,则(2r)2二1 + 22 + 32 ,解得r2 =，所以球 的表面积4S= 4兀r 2 二 14兀变式训练：如图所示，三棱锥P-ABC中，PA丄平面ABC, AB丄BC, PA二AC二，则三棱锥P-ABC的外接球的体积为BC.4兀A.-3B。C.Do 2兀答案：A.提示：补成长方

6、体得解.例3：把四个半径都是1的球中的三个放在桌面上,使它两两外切,然后在它们上面放上第四个球,使它与 前三个都相切，求第四个球的最高点与桌面的距离分析：关键在于能根据要求构造出相应的几何体，由于四个球半径相等,故四个球一定组成正四面体的四个 顶点且正四面体的棱长为两球半径之和2解：四球心组成棱长为2的正四面体的四个顶点，则正四面体的高h =2.6T而第四个球的最高点到第四个球的球心距离为求的半径1,且三个球心到桌面的距离都为1,故第四个来确定球心先确定底面的圆心（球的小圆圆心）0 ,球心必然在过O且垂直于平面ABC的垂线上,如图，00 = PA = 1, 1 1 1 2圆0的半径可以通过正弦

7、定理得到0 A =2,于是球半径为空5。1 1故球体积为岂竺。高考题演练1。一个四面体各棱长都为匚2四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（） TOC o 1-5 h z A.3nB.4nC.宙辽叽D 6n2正六棱柱ABCDEF-ABCDEF的侧面是正方形，若底面的边长为a,则该正六棱柱的外接球的表面积是 111111（）A.4na2B. 5na2C.8na2D.10na2长方体三条棱长分别是AA=1,AB=2, AD=4,则从A点出发，沿长方体的表面到C的最短矩离是（）A. 5B. 7C. . 29D. 科已知底面边长为1,侧棱长为血的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（）严3

8、jJL4jrC2n竺3如图，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2,ZDAB=60, E为AB的中点，将AADE与厶BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P,则P-DCE三棱锥的外接球的体积为（）IX_P43 兀兀V6 兀兀a - 7 -二A.B.C.D. 46。已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球0的球面上，且AB=6, BC=2,则棱锥0 -ABCD的体积 TOC o 1-5 h z 为.7。一个正方体的顶点都在一个球面上，已知这个球的表面积为3n,则正方体的棱长.8。一个正方体的全面积为a2,它的顶点全都在一个球面上，则这个球的表面积为9。长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3

9、, 4, 5,且它的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是.10。如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm,将一个球放在容器口，再向容器内注水当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如果不计容器的厚度，则球的体积为.I答案:24兀X所以球的表面积为：4nR2二1.解答：由于正四面体扩展为正方体，二者有相同的外接球，所以正方体的棱长为：1,所以正方体的对角 线的长度就是外接球的直径，所以球的半径为：戈.22 V52.解答：正六棱柱ABCDEF-ABCDEF的侧面是正方形，若底面的边长为a,111111=3n.底面对角线的长度为：2a;4兀X 所以该正六棱柱的外接球的表面积是：

10、4nr2二3。解答：从A点出发，沿长方体的表面到C有3条不同的途径，分别从与顶点A相邻的三个面出发，根据勾股定理得到长度分别是T29,止丁，5, 比较三条路径的长度，得到最短的距离是54. D巫in （卫）$还兀解：易证所得三棱锥为正四面体，它的棱长为1,故外接球半径为4,外接球的体积为 解答： 矩形的对角线的长为：，所以球心到矩形的距离为：二2,故答案为：8立 解答：球的表面积为3n,：球的半径为戈正方体的顶点都在一个球面上，正方体的对角线为球的直径设正方体的棱长为a,则3a=，.- 3.a=18。解答： 设球的半径为R,则正方体的对角线长为2R,来源：学+科+网主丄 丄依题意知 即2=您2,即R2= Sa2,1丁T 呂丁T 呂S =4nR2=4n 论2= 2 .故答案为：2 .球9。解答：长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3, 4, 5,且它的8个顶点都在同一个球面上，所以长方体的对角线就是球的直径，长方体的对角线为