应用于电力系统空间电荷求解的正则化反卷积算法

1、应用于电力系统空间电荷求解的正则化反卷积算法摘 要：目前在绝缘材料研究领域中，通过介质中空间电荷特性来反映绝缘状况是比较热门 的科研方向。受限于当前的测量技术，空间电荷实测信号是空间电荷分布与脉冲卷枳后的系 统输出信号，如何将系统测量信号还原成实际的空间电荷分布是一项难题。空间电荷分布是 通过反卷枳变换实现，但这种反卷积通常是病态的。为了求解这类病态的非适定问题，一般 采用基于正则化方法的反卷积数值算法和基于Tikhonov正则化方法的反卷枳算法。本文介 绍了此两种常用的正则化方法，并分别通过数值实验研究相关因素对这两种方法处理精度的 影响。关键词：空间电荷，反卷积，Tiklionov算法，迭

2、代正则化算法Applied to the Regularization Deconvolution Algorithm forSpace Charge DistributionGao Chaofei(North China Electric Power University)Ab str act: At present in the field of insulation mateiials, the space charge charactenstics of tlie medium to reflect the insulation condition is a hot research

3、dnection.Limited by tlie cuirent measurement technique, the space charge measurement signal is the output signal of the space charge distnbution and the pulse convolution.The space charge distiibution is achieved by deconvolution transform, but tins is usually ill posed deconvolution In order to sol

4、ve this kind of morbid an ill posed problem, the general use of based on regularization metliod of deconvolution numerical algontlim based on Tikhonov regularization metliod to the deconvolution method. In tins papei; we intioduce two kinds of regularization metliods, and study the effect of coirela

5、tion factois on tlie accuracy of these two metliods.Key words: space charge, deconvolution, Tikhonov algontlim, Iterative regularization algontlim1引言空间电荷研究主要是为解释电绝缘介质老化问 题，从而寻求抵制或减缓绝缘材料老化，提高绝缘 性能。而空间电荷测量技术是一项技术难题。除测 量系统搭建较为困难外，空间电荷的信号处理技木 目前还很不成熟。国内外学者此方面在做了大量探索研究，己有 可使用的空间电荷测量方法(PEA、PWP),这些方 法测量的信号

6、是空间电荷分布与压力脉冲或者电脉 冲卷积后的系统输出信号。因此需通过反卷枳数值 算法得到本来的空间电荷分布信号。反卷积算法是己知系统和输出求输入的反问题, 一般很难得到理想的结果，通常这种情况下的反问 题是病态的。如果矩阵A的微小变化会引起所求方 程组解的巨大变化，就称此方程组为“病态”方程 组。判断方程组是否为“病态”方程组时，一般利 用A的条件数或者行列式cond(A)或者行列式的大 小为条件。当omd(A) = |A】| * |A|大于50或者行 列式远小于0.1的时，A就为“病态”矩阵。条件 数的值越大，计算机的舍入产生的误差就会越大， 计算出来的解就越不精确。为了求解这类病态的非适定

7、问题，一般采用基 于正则化方法的反卷枳数值算法。反问题研究领域 最常出现的一类方程，就是Fredholm第一类积分方 程A(x,y)u(y)dy= f(x)常用的方法主要有两种，一种是迭代正则化算 法，另一种是迭代正则化算法基于Tiklionov正则化 方法的反卷枳算法。本文以压电压力波法(PWP) 为例介绍了这两种方法，并通过数值实验讨论了相 关因素对数值结果的影响。2空间电荷理论基础使用PWP法测量时，深度方向输出的一维电流 信号的数学表达式为1(0 = xC0G()J? E(z. t)备 p(z, t)dz(2)设Zf为t时刻时压力波到达的位置,这样式(2) 可以化为I(t) = -Aj

8、&E(z.t)p(z,t)dz 0式中，A=uxCqG(), u=-竽对式(3)进行分部积分，并考虑到在波前处的 压力为零，I(t) - AE(O,t)p(O,t) =Ap(z,t)dz(4)利用Poisson方程，上式可以化为I(t)-AE(0,t)p(0,t) = A-p(z,t)p(z,t)dz(5) 这是一个含有空间电荷密度分布p (z, t)的 Fredholm第一类枳分方程。根据积分方程理论，积 分方程可化为一组含有无穷多个未知量的线性方程 组。对(5)进行离散化，考虑有限维近似，引入矩 阵记号，得I-AE(0,i)p(0,i)=左早iP(ij)p(i,j)Az(6)p(i, j)

9、是压力波传输矩阵，Az是离散化的距离问 隔。由于在进行数值处理时是针对同一时刻进行的， 空间电荷分布随时间的变化极小，这样上式可以化 为I(i) - AE(0,i)p(0,i) = W；LiP(i,j)p现令 Y=环叫I(i) AE(0,i)p(0,f) , D=p， F=API,j式中 Y=Yn,l, D=Dn,l, F=Fn,n,这样方 程(7)就化为Y=FD (8)空间电荷信号处理问题就转变为求解准确地求 解式(8)方程组。己知Y和F矩阵，通过正则化 方法可以较好的实现反卷税计算。3迭代正则化算法3.1迭代公式迭代法是求解线性算子方程最常用的一种方法。 对方程(1)使用正则化方法处理以后

10、由原问题的病态 性所造成的解的不稳定能够在某种程度上被抑制住。 目前有许多种迭代法可以用来求解Fredholm第一类 积分方程，最常见的是共轴梯度法和基于共扼梯度 的投影法。由于共轴梯度投影法是一种既稳定，收 敛速度又快的迭代法，目前己经得到了深入研究， 其原理就是把原问题转化为泛函的极值问题，然后 构造一个凸集，使用投影算子结合共轴梯度的方法， 可以得到原问题非常逼近的数值解。在以迭代公式 U:Xt X,Xn+i ：= U(xQ求解式的过程中，对于某 个特定的迭代指标，如果满足x$tx+,8t0(这里 k为迭代停止指标，为原问题的真解)，这种迭代法 就是一种正则化方法。通常需要考虑在合适的迭

11、代 指标处结束迭代过程，因为从这个迭代指标开始， 数值噪声在解中的放大将危害计算结果。假设式(1)的解uM, M是非空的凸闭集， Me D(A).同时假设Fredholm第一类积分算子A(u) 是Frechet可微的，其Frechet微分满足Lipschitz条 件II A(u) - A(v) l|L|u-v|,u,vG M(9)现在使用迭代共轴梯度投影法求解式(3)的近 似解，迭代公式为(ik = (Uk ikPk)，k = 0,1,2及+1 = gk+l + FkPkgk = A(uk)rrk (10) rk = A(ir) - f式中uo是迭代初值，4是下降步长，Pk是搜索 方向，Pm是

12、投影到非空凸闭集M的投影算子，当M 是球域时，* +由 3-u) Mg 、u,u 6 M,式中U*为球域的中心，p为球域的半径。这样在 式(10)和(II)的基础上就可以建立迭代共个梯 度投影算法。现在求解式(8)的离散泛函的极值问题 minJ(u),J(u)=| Fii - Y 疏=瞿。Pi2SjLo(jUj- K)2(12)式中是解空间，是D的离散形式，w&是z方 向上的离散形式，是丫的离散形式。式(1。的迭代公式为us+1 = P(iis - asrs)r = gradj(u), fs = gradj(us) fsfs-1, R _ (gradj (lifgradj (lisT)-gra

13、dJ (甘)Ps IIgradj (us-1)|l5_ (gradj (近2)尸)s - 2(FF产式中S是迭代指标，as是下降步长，fs是搜索 方向，Fs是正的系数，闿是投影算子，F，是F的共 辄算子。由于式(7)中的E (0)是未知的，对此用一 般的迭代法进行计算，迭代过程如下：取迭代的初 始值E(0)0,由反卷枳算法得到空间电荷分布，即成 立E(z)= &jjp(z)dz(14)从而得到E(0)i ,这样逐步迭代，判断 | Ek - Ek_J / | Ek_i| ,直至U | Ek Ek_J / | Ek_i| 10 一3。3.2相关因素影响讨论3.2.1信噪比对解的影响一般实验中遇到的

14、噪声可以看作是加性高斯白 噪声，现在假设输出信号S上伴随有一个正态分布 的随机噪声信号N,定义信噪比(SNR)如下SNR = 201g 奔 g/皓诬)(15)式中分别为无噪信号何噪声信号的 最大值，定义一阶偏差因子和二阶偏差因子气，% = max031|ueact(yj) - u(yj)|(踏瞄”(片)|尸(16) % =(?=0 (uget (yj) - U(yj)2)(顷2g“ (yj)-l/2 (功 式中，巧是节点位置，和吼表征了数值解的 偏差情况，跖和。u越大，数值解的偏差就越严重。首先建立压力波传播矩阵Fi,j,此处取 11=1200o FIj在不同时刻和不同位置的传播图形见 图1。

15、可证，信号F的含噪数据对解的影响与信号 Y的含噪数据对解的影响相似，故本文在研究噪声 的影响时，假设Fij不带误差，只研究Y有误差是 对解的影响。设真解为】cn .sn-ewn 次杉 d表1 SNR和, %之间的关系SA7?/dR 4060 SO )00C 0.199 950 210 200 208 130.207 37孔0.73443 0.743 29 0.743 28 0.743 75表1表明，在相同的迭代停止标准下，迭代法 对不同SNR数据得到的解的曲和相差不大，这说 明在相同的迭代停止标准下迭代法对SNR不敏感。 3.2.2迭代停止标准对解的影响通过在合适的迭代指标处停止，迭代正则化方

16、 法可以获得对真解稳定的近似值。当迭代指标只依 赖噪声水平时，就是一种先验停止规则；当停止迭 代标志同时依赖数据和迭代本身的结果时，就是一 种后验停止规则。后一方法的一种常用停止规则是 差异原则。本文使用差异原则确定迭代停止标准， 定义输出偏差因子，8= |Fiis-Y|2,现在研究在 SNR给定的条件下8和,缶之间的关系。0.70.50.3010“1 俨 I0,110101图2 5和之间的关系0.11305II090.7I0410*31 俨 101010图3 6和。u之间的关系考虑SNR =60dB时的情形。图3是5和之间 的变化关系，图4是8和气之间的变化关系，图5 是随着8变小，数值解和

17、真解的比较。从图3和图 4可以看出，随着迭代停止标准的减小，和气将 逐渐变小，图5中的数值解越来越接近于真解。可 以证明，在SNRt8,8t0时，数值解将收敛到真 解.4 Tiklionov反卷积算法4. 1算法描述为了解决病态问题，Tiklionov提出了正则化方 法，他对一个光滑泛函取极值，从而得到在一定条 件下的近似解，也叫做正则化解。对于方程(8),将F看作一个线性算子，使用 Tiklionov正则化技术，引入正则化参数，进行反卷 积求解，得FtY= FTF+aHD (18) D= FTF + aH-1FTY(19) 式中FT是伴随算子。现在F是一个矩阵，这样ft 就是伴随矩阵。H是一

18、个特殊矩阵，Tikhonov选择 单位矩阵，Philips D L.则是按照先验知识来确定，a 是正则化参数。Tiklionov反卷积算法步骤如下：从p(O,t)和p(dO,t)建立压力波传输矩阵PI,j,取H为单位矩阵，或者按照先验知识建立特殊 矩阵H：令a有表达式：a = Tjk, k = 0,1,2，初值 t= 10000, 0 = 0.5 ,解方程(19 )直到 I|fd-y|2 10一3,令Ek_i = Ek，重新求解方程(19), 直到|Ek EkJ/lEkil V10-3。4.2相关因素影响讨论4.2.1信噪比(SNR)的影响建立压力波传输矩阵如图1所示。假设空间电 荷D1的分布

19、如图4所示，在传输函数的作用下， 按照式(8)得到输出的测量信gYinire如图5所示。 对Yiture用反卷枳算法，得到空间电荷分布的数值解 如图6所设。比较图4和图6,数值解与假设的空 间电荷D1的分布非常接近。现在假设Yiture上伴随 有一个在一定范围内均匀分布的随机噪声信号So 若S的信噪比SNR=20dB,这样Yiture变为丫。现 在用反卷积算法，得到Y”的空间电荷分布数值解如 图7中实线所示。当提高数据的信噪比，比如SNR=60 dB时,丫挤的电荷分布的数值解如图7中虚线所示。 由图7可知，测量信号的信噪比，对于反卷枳算法 得到的数值解的精度有重要的影响。50010001500Distance/呻图4空间电荷D1的分布50010001500Distance/jim12O图5模拟的测量信号Yiture500100015000804 oO.Distance/皿Distancopm图7 Ym和Yif的电荷分布的数值解4.2.2正则化参数0的影响现在考察不同的正则化参数a对数值解的影响 采用数值实验2中的电荷分布D2和模拟的含噪观 察数据丫2身使用反卷积算法时取a la 2a 3,电荷 密度各数值解如图8(a)所示。