手拉手模型专题训练含解析

1、手拉手模型专题训练一、解答题1. (1)如图，ABC和CDE都是等边三角形，且点b , C, E在一条直线上，连结BD和AE,直线BD, AE相交于点P .则线段BD与AE的数量关系为. BD与AE相交构成的锐角的度数为.(2)如图，点B , C, E不在同一条直线上，其它条件不变，上述的结论是否还成立.图图国(3)应用：如图，点B , C , E不在同一条直线上，其它条件依然不变，此时恰好有ZAEC = 30 .设直线AE交CD于点Q，请把图形补全.若PQ = 2，则DP = O .2.在Rt ABC中，ZBAC = 90。，AB = AC .如图1,点D为BC边上一点，连接AD，以AD为边

2、作RthADE, ZDAE = 90。，AD = AE，连接EC.直接写出线段BD与CE的数量关系为，位置关系为.如图2,点D为BC延长线上一点，连接AD，以AD为边作RtAADE, /DAE = 90。，AD = AE,连接EC .用等式表示线段BC , DC, EC之间的数量关系为.求证：BD 2 + CD 2 = 2AD 2.如图 3,点D为 ABC 外一点，且ZADC = 45。，若BD = 13 , CD = 5 ,求 AD 的长.3 UULfV LJElffil图 33.如图，在 AABC 中，D 是 BC 边上一点，且 AD = AB, AE/BC, ABAD = ZCAE ,

3、连接DE,交AC于点F .若AB = 65。，求AC的度数.若AE = AC，则AD平分ABDE是否成立？判断并说明理由.4.如图， ACB和ECD都是等腰直角三角形，CA = CB,CD = CE, ACB的顶点A在ECD的斜边DE上，连接BD .EC B求证：BD=AE.若AE = 3cm,AD = 6cm，求AC 的长.5.如图，P为等边ABC的边BC延长线上的一动点，以AP为边向上作等边MPD， 连接CD .求证：AABR =ACD ；当pc = AC时，求APDC的度数；APDC与APAC有怎样的数量关系？随着点P位置的变化，APDC与APAC的 数量关系是否会发生变化？请说明理由.

4、B C P6.如图，若 ABD和ACE都是等边三角形，求ZBOC的度数.Dfi7.在直线AB的同一侧作两个等边三角形ABD和BCE，连接AE与CD，试解决下列问题：Aft C求证：AE = DC ；求ZDHA的度数；连接GE，试判断BGF形状.8.如图，点0是等边ABC内一点，AAOB 110，/B0C = a .以OC为一边 。作等边三角形OCD，连接AD .若ZBAO ZCAO,求以的值；当a-150时，试判断MOD的形状，并说明理由；探究：当a为多少度时，AOD是等腰三角形？BC9.如图，以ABC的边AB、AC向外作等边 ABD和等边ACE，连接be、CD .问：线段be和CD有什么数量

5、关系？试证明你的结论.10.如图，在等边三角形ABC中，D是AB边上的动点，以CD为一边向上作等边三 角形EDC,连接AE .求证：NACE # BCD ；求证：AE/BC ；当点D运动到AB的中点时，BC与CE有什么位置关系？并说明理由.11.如图，AC 1 BC，DC EC，AC = BC，DC = EC，AE 与 BD交于点 F .请问AE = BD吗？请说明理由；请判断AE与BD的位置关系，并说明理由.12.如图，AC = DC，AB = DE，CB = CE.求证：/1 = /2 .BC13.如图 1，在ABC 中，AC=BC，ZACB=90，CE 与 AB 相交于点 D，且 BEC

6、E，AFCE，垂足分别为点E，F.若 AF=5, BE=2，求 EF 的长；如图2,取AB的中点G，连接FG, EG，求证：FG=EG.14.如图，已知ABC是等边三角形，点D在BC边上，ADF是以AD为边的等边 三角形，过点F作BC的平行线交线段AC于点E，连接BF，求证：AFB ADC ；四边形BCEF是平行四边形.15.如图，点D、B、C在一直线上，ABC和ADE都是等边三角形.求证： ABEAACD ；探索线段BA、BD、BE之间的数量关系，并说明理由.16 .问题情境：在自习课上，小雪拿来了如下一道题目(原问题)和合作学习小组的同学们交流，如图， ACB 和/ CDE 均为等腰三角形

7、.CA=CB，CD=CE，ZACB=ZDCE.点 A、D、E在同一条直线上，连接BE.求证：ZCDE=ZBCE+ZCBE.问题发现：小华说：我做过一道类似的题目：如图， ACB和 CDE均为等边三角形，其他条 件不变，求ZAEB的度数.请聪明的你完成小雪的题目要求并直接写出小华的题目要求.拓展研究：如图， ACB和 DCE均为等腰直角三角形，ZACB=ZDCE=90,点A、D、E在同一条直线上，CF为4 DCE中DE边上的高，连接BE.请求ZAEB的度数及线 段CF、AE、BE之间的数量关系，并说明理由.图图图17.在RtAACB 中，ZACB = 90。，AC = BC，d 为 AB 上一点

8、，连结 CD，将CD 绕C点逆时针旋转90至CE，连结DE，过C作CF 1DE交AB于F，连结be .B求证：AD = BE .试探索线段AD，BF，DF之间满足的等量关系，并证明你的结论.若ZACD = 15。，CD =-j3 +1，求BF .(注：在直角三角形中，30所对的直角边等于斜边的一半)参考答案1. (1)相等，60 ； (2)成立，证明见解析；(3)见解析，4.【分析】证明 BCDAACE，并运用三角形外角和定理和等边三角形的性质求解即可；是第(1)问的变式，只是位置变化，结论保持不变；根据ZAEC=30，判定AE是等边三角形CDE的高，运用前面的结论，把条件集中到一个含有30角

9、的直角三角形中求解即可.【详解】(1)相等；60 .理由如下：. ABC和CDE都是等边三角形， ZACB = /DCE = 60。，BC = AC，DC = CE，.BCD = ZACE，在ACE和BCD中lCB=CA ZBCD = ZACE，CD = CE. ACE 竺 ABCD . BD = AE，ZBDC = ZAEC.又 ZDNA =ZENC，. ZDPE = ZDCE = 60。.(2)成立；理由如下：证明：ABC和CDE都是等边三角形，B ZACB = ZDCE = 60。，BC = AC，DC = CE , ZBCD = ZACE，在 ACE和BCD中|CB = CA /BCD

10、 = A ACE，CD = CE. ACE 竺BCD . BD = AE，/BDC = /AEC.又/DNA = /ENC，. /DPE = /DCE = 60。.（3）补全图形（如图），CDE是等边三角形，AZDEC=60，*/ZAEC=30，.ZAEC=ZAED，AEQXDQ，.ZDQP=90，根据（1）知，ZBDC=ZAEC=30，PQ=2，.DP=4.故答案为：4.E【点睛】本题是一道猜想证明题，以两线段之间的大小关系为基础，考查了等边三角形的性质，三角形的全等，直角三角形的性质，证明两个手拉手模型三角形全等是解题的关键2.（1）BD = CE，BD CE ；（2）BC + DC =

11、EC，见解析；（3）6、& .【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得到ZB = ZACB = 45。，根据题意可知ABAC-ZDAC = ZDAE-ZDAC,即 ZBAD = ZCAE，再利用SAS证明 BAD CAE，可得到BD = CE, ZABC =ZACE = 45。，从而算出ZBCE的度数，进而得到线段BD与CE的位置关系；（2）根据角度的运算得到ZBAD = ZCAE，再利用SAS证得BAD CAE，得到BD = CE，再根据BD = BC + CD，等量代换即可求出答案；由中BAD CAE，得到BD = CE，ZABC = ZACE，在根据等腰直角三角形的性质即可得出ZACE的度

12、数，进而证得ZBCE = ZDCE = 90。，根据勾股定理得到AE2 + AD2 = DE2，CE2 + CD2 = DE2，等量代换后得到 AE2 + AD2 = CE2 + CD2，又因为AE = AD，BD =。归，代入即可得出答案；（3）过点A作AE 1 AD，并且AE = AD，连接DE，CE，得到ADE是等腰直角三 角形，由（2）得BAD CAE，得到BD = CE，在RtACDE中，通过勾股定理求出DE 的长度，在RtAADE中又由勾股定理得：AE2 + AD2 = DE2，再根据AE = AD，代入数据即可求出的长度.【详解】（1） .在Rt ABC中，ZBAC=90。，AB

13、 = AC， ZB = ZACB = 45。，/ ZDAE = 90。， ZBAC-ZDAC =ZDAE-ZDAC，即 ZBAD = ZCAE，在BAD和CAE中f AB = AC ZBAD = ZCAE，I ? 4AD = AE BAD CAE（SAS ）， BD = CE，ZABC =ZACE = 45。， ZBCE =ZACB +ZACE = 90。，BD CE.故答案为：BD = CE, BD CE.,ZBAC = 90。，ZDAE = 90。，ZBAC+Z CAD =ZDAE+Z CAD，即 ZBAD = ZCAE，在BAD和CAE中AB = ACJ ZBAD = CAE ,AD =

14、 AEBAD 至 CAE(SAS )，BD = CE， A-BD = BC + CD， BC + DC = EC.故答案为：BC + DC = EC.证明：由得：BAD至CAE，BD = CE，ZABC = ZACE，- ABC和ADE都是等腰直角三角形，ZACE = ZABC = ZACB = 45。， ZBCE = ZDCE = 90。，在 RtAADE和 RtECD 中，由勾股定理得：AE2 + AD2 = DE2，CE2 + CD2 = DE2，AE 2 + AD 2 = CE 2 + CD 2，-AE = AD，BD = CE，2 AD 2 = BD 2 + CD 2，即 BD 2

15、+ CD 2 = 2 AD 2.过点A作AE AD，并且AE = AD，连接DE，CE，如图，ADE是等腰直角三角形， ZADE = 45。，.ADC = 45。， ZCDE = 90。，由(2)中可知，BAD CAE, BD = CE，/ BD = 13，CD = 5， CE = 13，在RtACDE中，由勾股定理得：DE2 + CD2 = CE2，DE = CE 2 - CD 2 = 12，在RtAADE中，由勾股定理得：AE2 + AD2 = DE2，2AD 2 = 144，, AD = 6 海2 -【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是合理添

16、加辅助线找出两个三角形全等.3. (1) 50； (2)成立，理由见解析【分析】根据等腰三角形的性质得出ZADB=ZB=65，根据三角形的内角和定理求出ZBAD=50，求出ZCAE=50，根据平行线的性质得出即可；求出ZBAC=ZDAE，根据全等三角形的判定推出 BACADAE，根据全等三角形的性质得出ZB=ZADE,求出ZADE=ZADB即可.【详解】解：(1) VZB=65, AB=AD,AZADB=ZB=65,VZB+ZBAD+ZBAD=180,AZBAD=50,VZCAE=ZBAD,.ZCAE=50,AEBC,AZC=ZCAE=50；(2) AD 平分ZBDE,理由是：VZBAD=ZC

17、AE,AZBAD+ZCAD=ZCAE+ZCAD,即 ZBAC=ZDAE,AB = AD在 BAC 和 DAE 中， ABAC = /DAE , AC = AE.BAC*DAE (SAS)AZB=ZADE,VZB=ZADB,AZADE=ZADB, 即AD平分ZBDE.【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定定理，等腰三角形的性质和三角形的内角和定理等知识 点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键.4. (1)证明见解析；(2) AC =3./10 cm.2【分析】(1)根据同角的余角相等得出ZBCD=ZACE，然后根据SAS定理证明 BCDACE，从而得出结论；(2)根据全等三角形的性质

18、得出ZBDC=ZAEC,然后结合等腰直角三角形的性质求得ZBDA是直角三角形，从而利用勾股定理求解.【详解】V ACB和ECD都是等腰直角三角形， ZACB =ZECD=90。，. ZACD + /BCD = 90。, ZACD + ZACE = 90。，. /BCD = ZACE，在BCD和 acb中，CB=CA /BCD = /ACECD = CE BCDM ACE SAS)，:酉气V BCD# ACE，. /BDC = /AEC，又V ECD是等腰直角三角形，. /CDE = /CED = 45。，./BDC = 45。，. /BDC + /CDE = 90，/BDA是直角三角形，. A

19、B 2 = BD 2 + AD 2 = AE 2 + AD 2 = 32 + 62 = 45，在等腰直角三角形ACB中，AB 2 = AC 2 + BC 2 = 2AC 2，.AC =空10.2【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是解决问题的关键.5. 1)证明见解析；(2) /PDC = 30 ； (3) /PDC = /PAC ；数量关系不变；理由见解析【分析】先根据等边三角形的性质得出ZBAC=ZPAQ=60, AB=AC, AP=AQ，再由SAS 定理即可得出结论；由ZAPC=ZCAP, ZB=ZBAC, ZB+ZBAC+ ZAPC+ ZCAP=180，得ZBAP=

20、90, 再结合ABP至ACD，进而即可求解；设 CD 与 AP 交于点 O,由 MBP ACD，得ZACD=ZAPD，结合ZAOC=ZDOP，三角形内角和定理，即可得到结论.【详解】证明：ABC与 APD是等边三角形，.ZBAC=ZPAD=60，AB=AC，AP=AD，.ZBAP=ZDAC，在 ABP与 ACD中，AB=AC ZBAP= ZCAD，AP=AD.ABPACD (SAS)；PC = AC，.ZAPC=ZCAP，/ ABC是等边三角形，.ZB=ZBAC=60，又.ZB+ZBAC+ZAPC+ZCAP=180，.ZBAC+ZCAP=1x180=90，即：ZBAP=90，2.ZAPB=90

21、-60=30，.ZADC=ZAPB=30，/ APD是等边三角形，. ZPDC =60-ZADC=60-30=30；ZPDC = ZPAC，随着点p位置的变化，ZPDC与ZPAC的数量关系不会发生变化，理由如下：设CD与AP交于点O， ABP ACD，.ZACD=ZABP=60,?ZAPD=60,.ZACD=ZAPD,又 VZAOC=ZDOP, ZAOC+ ZACD+ ZPAC=180, ZDOP+ZAPD+ZPDC=180, . ZPDC = ZPAC.B C P【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，直角三角形的判定，熟练掌握 全等三角形的判定和性质，是解题的关键.6

22、. 120.【分析】利用等边三角形的性质可得AD= AB，AC= AE，ZDAB = ZCAE=60，利用SAS即可证明 DAC*BAE，从而得出ZABE=ZADC，设AB与CD交于点F，根据三角形内角和定 理和等量代换即可求出ZBOF，利用平角的定义即可求出结论.【详解】证明：ABD、 AEC都是等边三角形，AD= AB，AC= AE，ZDAB = ZCAE=60，VZDAC= ZBAC+60，ZBAE= ZBAC+60，ZDAC=ZBAE，在 DAC和 BAE中，| AD=AB ZDAC=ZBAE，、AC=AE:.DACBAE (SAS)，.ZABE=ZADC 设AB与CD交于点F，fiV

23、ZBFO=ZDFAAZBOF=180-匕 ABE ZBFO=180-匕 ADC ZDFA=ZDAB=60AZBOC=180-ZBOF=120.【点睛】此题考查的是等边三角形的性质和全等三角形的判定及性质，利用SAS证出 DACSBAE 是解题关键.7. (1)见解析；(2) ZDHA = 60。； (3) BGF是等边三角形.【分析】从ABD和ABCE是等边三角形中寻找条件证明ABE DBC(SAS)，然后利用全等三角形的性质即可证明； 由ABE# DBC可得ZBAE = ZBDC，再由外角的性质可得ZDHA = ZBAE + /DCB，然后根据等量代换即可证明；先证明ABG = DBF (A

24、SA)得到BG = BF，然后结合ZDBE = 60。即可说明BGF是等边三角形. 【详解】(1)证明：、MBD和BCE都是等边三角形，BA = BD，BE = BC，ZABD = ZCBE = 60。.ZDBE = 180。 60。 60。= 60。，:ABE = ZDBC = 120。.在 ABE和ADBC中，AB = DB ZABE = ZDBC = 120。，BE = BC:.ABE# DBC(SAS)，AE = DC ；解： ABE DBC ,:BAE = ZBDC .又 ZDHA = ZBAE ZDCB ,. ZDHA = ZBDC +Z DCB = 180。/ DBC = 60。

25、；解：由(1)知 ABE竺 DBC,:BAE = /BDC .在ABG和DBF中4/ABD = /DBE = 60。AB = DB ，/EAB = /CDBABG 三 DBF (ASA),BG = BF . /DBE = 60。,BGF是等边三角形.【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质等 知识点，灵活应用相关知识点成为解答本题的关键.8. (1) a = 140 ； (2) AAOD是直角三角形，理由见解析；(3)当a为125、110、140时，AAOD是等腰三角形.【分析】延长AO交BC于点E ,由ABC是等边三角形，/BAO =/CAO,可

26、知ae垂直平分BC，得到OB = OC，进而求出/BOE = /COE = 70，由此即可得到a的度数；首先根据已知条件可以证明BOC# ADC ,得出/BOC = /ADC,然后利用全等三 角形的性质可以求出/ADO的度数，由此即可判断MOD的形状；要使MOD是等腰三角形时，需要分三种情况讨论I： AO = AD ,11： OA = OD,III： OD = AD进行讨论，分别求出a的度数.【详解】解：(1)如图，延长AO交BC于点E .-ABC是等边三角形，ZBAO = ZCAO, 二AE是底边BC上的中线，AE是BC上的高，即AE垂直平分BC,OB = OC,ZBOE = ZCOE =

27、180 -110 = 70 ,OOOa =140 .O(2广 OCD、 ABC都是等边三角形，OC = CD，BC = AC，ZACB = ZOCD = 60， zaCb-z aco =zocd-z aco，o即：ZBCO = ZACD，在BOC与ADC中lOC=CDZBCO = ZACD，BC = ACBOC ADC(SAS )，ZBOC = ZADC， v ZBOC =a = 150，ZODC = 60，oZADO = 150 - 60 = 90，A ,_二AOD是直角三角形.(3)如图，B E C设 /CBO = ZCAD = /1，ZABO = Z2，ZBAO = Z3，ZCAO =

28、Z4，贝IZ1+ Z2 = 60 ，Z2 + Z3 = 180 -110 = 70 ，Z3 + Z4 = 60 ，ooooo- + ，得：Z1+ Z4 = 50，O即 ZDAO = 50，I：要使 AO = AD，需 ZAOD = ZADO，360 -110 -60 -a=a-60， TOC o 1-5 h z OOOO.a= 125 ；II：要使 OA = OD，需 ZOAD = ZADO，.a -60 = 50，.a =110 ；III：要使 OD = AD，需 ZOAD = ZAOD，360 -110 -60 -a = 50，ooooa = 140当a为125、110、140时，AAOD

29、是等腰三角形. ooo【点睛】本题属于综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定，直角三角形的判定，等腰三角形的判定，利用分类讨论思想是解题的关键.9. BE = CD，理由见解析.【分析】由 MBD和ACE都是等边三角形，利用等边三角形的性质得到AB = AD，AC = AE，ZDAB = ZEAC = 60，利用等式的性质得到夹角相等，再用SAS证明ADAC和ABAE全O等，最后利用全等三角形对应边相等即可得证.【详解】解：BE = CD，理由如下：:ABD是等边三角形，AB = AD，ZDAB = 60，: ACE是等边三角形， AC = AE，ZEAC = 60，ZDAB+

30、Z BAC =ZEAC+Z BAC，即 ZDAC =ZBAE，在DAC和BAE中AB = AD ZDAC = ZEAB，AC = AEDAC 至BAE(sas)，BE = CD.【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，根据等边三角形的性质得出夹角相等是解题的关键.10. (1)见解析；(2)见解析；(3) BC CE，见解析.【分析】根据ABC和AEDC是等边三角形，得到边角关系，即CA = CB，CD = CE，ZB = ZACB = ZECD = 60，根据等式性质得到ZDCB = ZECA，最后利用SAS证明全O等即可；根据ACE至BCD，可知对应角ZB = ZEAC，又因为ZB =

31、ZACB = 60，等O量代换可知ZACB = ZEAC，进而得到AE/BC ；BC CE，由ABC是等边三角形，点D为AB的中点，根据三线合一可知ZACD = ZBCD = 30，再根据ACE 至BCD，进而得到 ZECA = ZDCB = 30， 。 最后可求得ZBCE的度数.【详解】- A8C和EDC是等边三角形；CA = CB , CD = CE, ZB = ZACB = ZECD = 60 ,.ZAC-ZACD = ZECD-ZACD,即 ZDCB = ZECA , 在ACE与ABCD中CA = CBCE ,理由如下：V ABC是等边三角形，点D为AB的中点，.AD = BD , C

32、D _L AB , ZACD = ZBCD = -ZACB , 2、ZACB = 60 , ZACD = ZCD = 30 ,v ACE#3BCD, ZECA = ZDCB = 30 , o . ZBCE = ZDCB + ZACD + ZECA = 30 +30 +30 =90 ,oooo. BC ICE .【点睛】本题考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质，等式的性质以及平行线的判定等 知识点，准确的运用这些性质是解题的关键.11. (1) AE = BD ,证明见解析；(2) AE1BD,证明见解析.【分析】根据旋转模型，利用SAS证明ACE三BCD即可得出结论；由全等三角形性质

33、可得ZE = ZD，利用三角形内角和证明么ECD = ZEFD = 90。即可得出结论.【详解】解：(1) AE = BD，证明如下：. AC 1BC，DC 1 EC， ZACB =ZECD=90。， ZACB + ZBCE = ZECD + ZBCE， ZACE = ZBCD，在 ACE和BCD中，AC = BC ZACE = ZBCD，、EC = DC:.ACE 三 BCD (SAS)， AE = BD ；(2) AE 1BD，理由如下：由(1)得 ACE 三 BCD，ZE = ZD，又. ZECD + ZD =ZEFD+ZE，. ZEFD = ZECD = 90。， AE 1 BD .【

34、点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟悉全等三角形模型是解题关键.12.证明见解析【分析】由题意可证ABC至DEC，可得ZA = ZD，再根据三角形内角和即可得Z1 = Z2 .【详解】证明：如图， 在ABC和DEC中，AC = DC寸DE ,乙CB = CEABC 至 DEC(SSS ),/ A = /D ,v Z1 + ZAFE + ZA = 18O , Z2 + ZDFC + ZD = 180 , ZAFE = ZDFC ,oo Z1 = Z2 .【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键.13. (1) 3； (2)见解析【分析】证得ZACF

35、=ZCBE,由 AAS 证得 ACFM/kCBE 得出 CF=BE=2, AF=CE = 5, 即可得出结果；连接 CG,推出 ZGCB = ZCBG=45,得出 CG=BG,证得 CFGMZBEG 得出 FG =EG即可.【详解】(1) VBEXCE,. ZBEC = 90,ZACB = 90,/. ZBEC=ZACB,. ZACF+ZBCE= ZBCE+ZCBE=90,. ZACF= ZCBE,VAFXCE,. ZAFC = 90,在 ACF和 CBE中，ZACF = ZCBE ZAFC = ZBEC、AC = BC.ACF*CBE (AAS),.CF=BE=2, AF=CE=5,EF=C

36、E-CF,EF=5 - 2 = 3；(2)连接CG,如图2所示：AC=BC, AG=BG,1ACGXAB, ZBCG ZACB=x90=45,2AZCBG=90 - 45=45,AZGCB=ZCBG=45,.CG=BG,在 ADF 和 BDE 中，VZAFD=ZBED,AZFAD=ZEBG,由(1)证可知： ACFCBE,.CF=BE, ZCAF= ZBCE,*/ZCAF+ZFAD= ZGCD+ZBCE=45,AZFAD=ZGCD,AZEBG=ZFCG,在 CFG与 BEG中，CG=BG, ZFCG=ZEBG, CF=BE,.CFG*BEG (SAS),.FG=EG.【点睛】本题主要考查等腰三

37、角形的性质与全等三角形性质及判定的综合运用，熟练掌握相关概念是 解题关键.14. (1)证明见解析；(2)证明见解析.【分析】(1)先根据等边三角形的性质可得AF = AD, AB = AC, /FAD ABAC = 60。，再根据角的和差可得/fab = ZDAC，然后根据三角形全等的判定定理即可得证；(2)先根据全等三角形的性质可得ZABF = /C = 60。，从而可得/ABF = /BAC，再根 据平行线的判定可得BF/AC，然后根据平行四边形的判定即可得证.【详解】(1) .ABC和 ADF都是等边三角形，. AF = AD, AB = AC, /FAD = /BAC = /C =

38、60。，:.ZFAD/BAD= /BAC-/BAD，即 /FAB = /DAC，严=AD在 AFB 和 ADC 中，/FAB = /DAC，AB = AC. AFB 三 ADC (SAS)；(2) . AFB 三 ADC， . /ABF =/C = 60。，又. /BAC = 60。，. /ABF = /BAC，BF/AC，又.BC/EF， .四边形BCEF是平行四边形.【点睛】本题考查了等边三角形的性质、三角形全等的判定定理与性质、平行四边形的判定等知识点， 熟练掌握各判定定理与性质是解题关键.(1)见解析；(2) BA+BD=BE，理由见解析【分析】由 “SAS可证 ABEAACD；由全等

39、三角形的性质可得BE=DC，由线段的和差关系可求解.【详解】,ABC、 ADE是等边三角形，.AB=AC=BC，AD=AE，ZBAC=ZEAD=60，AZBAC+ZBAD=ZEAD+ZBAD，即 ZCAD=ZBAE，在 ABE 和 ACD 中，Ji ZBAE = ACAD，、AE = AD.ABE*ACD；BA+BD=BE，理由如下：ABE*ACD，.BE=DC，.BA+BD= BC+BD=DC= BE.【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，证明 ABEACD是解本题 的关键.(1)证明见解析；ZAEB=60o ； (2) ZAEB=90o ； AE = BE + 2CF

40、 ；理由见解析.【分析】(1)小雪的题目：先利用SAS证明ADC三BEC，再利用全等三角形的性质、三角形外 角的性质及等量代换即可得证；小华的题目：先利用SAS证明ADC三BEC，再利用全等三角形的性质得出答案第20页，总24页 / ADC = / BEC，然后根据等边三角形的性质求出ZCDE = ZCED = 60，最后根据邻 补角的概念和角的和与差即可得出答案；（2）根据题意易证ADC三BEC，再根据全等三角形的性质及邻补角的概念即可求得 ZAEB的度数；然后根据三线合一即可得出京=DF = EF,最后根据线段的和与差及等 量代换即可得出答案【详解】（1）小雪的题目：证明：ZACB = ZDCE.* ACD = Z BCE在ADC和DCE中，I CA=CB恣CD =遗CECD = CE.ADC 三BEC（SAS ）.ZCAD = ZCBE又 ZACD = ZBCE, ZCDE = ACAD +/ ACD./CDE = ZCBE +ZBCE ；小华的题目：解：ZACB = ZDCE.* ACD = Z BCE在ADC和DCE中，I CA=CB ZACD = ZBCECD = CE.ADC 三BEC（SAS）.Z ADC = Z BECCDE为等边三角形.Z CDE = ZCED = 60又点A