百校联盟2023届高三上学期第一次联考数学试题

1、试卷第 =page 1 1页，共 =sectionpages 3 3页试卷第 =page 5 5页，共 =sectionpages 5 5页百校联盟2023届高三上学期第一次联考数学试题学校:_姓名：_班级：_考号：_一、单选题1已知集合，则（）ABCD2若复数在复平面内对应的点位于第四象限，则实数的取值范围是（）.ABCD3已知数列满足递推关系，则（）ABCD4已知实数，设函数，若对任意均有 ，则实数的取值范围为（）ABCD5已知命题：函数，且关于x的不等式的解集恰为（0，1），则该命题成立的必要非充分条件为（）ABCD6已知双曲线，作轴的垂线交双曲线于两点，作轴的垂线交双曲线于两点，且，两

2、垂线相交于点，则点的轨迹是（）A椭圆B双曲线C圆D抛物线7法国数学家傅里叶（Jean Baptiste Joseph Fourier，17681830）证明了所有的乐声数学表达式是一些简单的正弦周期函数之和，若某一乐声的数学表达式为，则关于函数有下列四个结论：的一个周期为2；的最小值为；图像的一个对称中心为（，0）；在区间（，）内为增函数其中所有正确结论的编号为（）ABCD8记为等差数列的前项和，且，则（）ABCD二、多选题9已知函数的图象关于直线对称，则下列说法正确的是（）AB在上单调递增C为的极小值点D仅有两个零点10在长方体中，AB3，P是线段上的一动点，则下列说法正确的是（）A平面B与

3、平面所成角的正切值的最大值是C的最小值为D以A为球心，5为半径的球面与侧面的交线长是11已知是定义域为的奇函数，是偶函数，且当时，则（）A是周期为2的函数BC的值域为D在上有4个零点12已知数列的前项和为，且对于恒成立，若定义，则以下说法正确的是（）A是等差数列BCD存在使得三、填空题13已知圆：，：，点是圆上的一个动点，是圆的一条动弦，且，则的最大值是_.14已知函数，若存在，使得成立，则的最大值为_.15我国古代有一则家喻户晓的神话故事后羿射日，在淮南子本经训和山海经海内经都有一定记载.如果被射下来的九个太阳中有一个距离地球约3500光年，如果将“3500光年”的单位“光年”换算成以”米”

4、为单位，所得结果的数量级是_（光年是指光在宇宙真空中沿直线经过一年时间的距离，光速；通常情况下，数量级是指一系列10的幂，例如数字的数量级是3）.四、双空题16函数的部分图象如图所示，则函数的解析式_为了得到一个奇函数的图象，只需将的图象向左平移个单位长度，则的最小值为_五、解答题17已知村庄在村庄的东偏北方向，且村庄之间的距离是千米，村庄在村庄的北偏西方向，且村庄在村庄的正西方向，现要在村庄的北偏东方向建立一个农贸市场，使得农贸市场到村庄的距离是到村庄的距离的倍.(1)求村庄之间的距离；(2)求农贸市场到村庄的距离之和.18已知公差不为零的等差数列的前项和为，成等比数列，数列满足，.(1)求

5、数列和通项公式；(2)求的值；(3)证明19某校为了解全校高中学生五一假期参加实践活动的情况，抽查了100名学生，统计他们假期参加实践活动的时间，绘成的频率分布直方图如图所示(1)估计这100名学生参加实践活动时间的众数、中位数和平均数；(2)估计这100名学生参加实践活动时间的第三四分位数20如图，为圆柱的轴截面，是圆柱上异于的母线(1)证明：平面；(2)若，当三棱锥的体积最大时，求二面角的正弦值21已知抛物线C：的焦点为F，若点在C上，且(1)求C的方程：(2)P为y轴上一点，过点F的直线l交C于A，B两点，若是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，求线段AB的长22已知函数.(1)若，求的单

6、调区间；(2)是否存在实数a，使对恒成立，若存在，求出a的值或取值范围；若不存在，请说明理由.答案第 = page 1 1页，共 = sectionpages 2 2页答案第 = page 24 24页，共 = sectionpages 24 24页参考答案：1A【分析】先化简集合A、B，再去求即可【详解】，则.故选：A.2B【分析】根据复数运算法则计算得 ，根据点所在象限列不等式组即可求解.【详解】解：由题得 ，在复平面内所对应的点在第四象限，所以 ，解得 .所以.故选：B3B【分析】两边取倒数，可得新的等差数列，根据等差数列的通项公式，可得结果.【详解】由，所以则，又，所以所以数列是以2为

7、首项，1为公比的等差数列所以，则所以故选：B【点睛】本题主要考查由递推公式得到等差数列，难点在于取倒数，学会观察，属基础题.4A【分析】先通过特殊值法，由，得，再加以证明.当时，将转化为，再转化为开口向上且关于的一元二次函数，因为的对称轴为，定义域为，所以再转化为一元二次函数轴动区间定求最值的问题进行分类讨论.从而证明当时，恒成立，即可得到实数的取值范围.【详解】由，得.当时，等价于.令，则.设则.（）当时，则.记，则故单调递减极小值单调递增所以，.因此，.（）当时，.令，则，故在上单调递增，所以.由（）得，.所以，.因此.由（）（）知对任意，即任意均有.综上所述，所求实数的取值范围为.故选：

8、A.【点睛】思路点精：解决抽象函数含参数恒成立问题，但凭经验无法直接解题，该类型题的解题步骤如下：1. 特殊化，在面对抽象或者难以理解的题目的时候，我们尝试用最极端最特殊的数字来代替变量，帮助我们理解题目.该方法常用于在选择题目中排除选项，在解大题的过程中也经常会用到特殊化的结论.例如本题由特殊值求的取值范围，即，得，再加以证明.当时，.2. 盯住目标，把目标和已知结合，联想相关的定理、定义、方法.在压轴题目中，往往需要不断转化目标，即盯住目标需要反复使用.例如本题转化为开口向上且关于一元二次函数，因为的对称轴为，定义域为，所以在转化为轴动区间定求最值的问题进行分类讨论.5A【分析】根据已知条

9、件，可从已知出发，求得结论成立的m需要满足的关系，然后结合选项要求进行分析验证，即可完成求解.【详解】函数，故，令，所以，因为，所以，此时函数是单调递增的，所以，要使得的解集恰为（0，1）恒成立，且、则应满足在为增函数，所以当时，故，此时，由选项可知，选项C和选项D无法由该结论推导，故排除，而选项C，若，此时与矛盾，故不成立，所以该命题成立的必要非充分条件为.故选：A.6B【分析】根据题目条件建立方程化简即可求解.【详解】设，则，则由得：，化简得：，即P点的轨迹是双曲线，故选：B7D【分析】依据周期的定义判断；求得的最小值判断；依据对称中心定义代入验证法判断；求得在区间（，）内的单调性判断.【

10、详解】因为，所以2是的一个周期，正确；，令，则，令，解得，令，解得或，所以h（t）在区间1，）和区间（，1内单调递减，在区间（，）内单调递增，当时，h（t）取得极小值，又，故，正确；由于，即，所以不是f（x）图像的一个对称中心，错误；当时，由得，解得或，由得，解之得，综合复合函数的单调性，所以在区间0，），（，）内单调递增，在区间（，），（，上单调递减，正确故选：D8C【分析】由条件得，由等差数列的性质及求和公式即可得到C正确；若，则公差，不合题意即可得到A错误；若，即可得到B、D错误.【详解】因为，所以，所以，故C正确；若，则公差，此时，则不合题意，A错误；若，则，此时， ，故B、D错误.故

11、选：C9ABC【分析】由函数的图象关于直线对称，得到，解得，可判定A正确；求得，得到在上单调递增，可判定B正确；根据函数的单调性，得到为的极小值点，可判定C正确；结合函数的单调性，求得，可判定D不正确【详解】由题意，函数的定义域为，因为函数的图象关于直线对称，所以，所以，解得，故选项A正确；由，得，所以，当时，此时，所以，所以在上单调递增，故选项B正确；又由的图象关于直线对称，所以在上单调递减，所以为的极小值点，故选项C正确；由在上单调递增，且的图象关于直线对称，所以，所以没有零点，故选项D不正确故选：ABC.10ACD【分析】由平面与平面平行，可得直线与平面平行即可判断A，根据线面角定义找出

12、线面角，当最短时，可求线面角的正切的最大值判断B，根据展开图，转化为求，利用余弦定理求解即可判断C，根据球面与侧面交线为圆弧的四分之一即可求解即可判断D.【详解】对于A，如图，在长方体中，平面，平面，所以平面，同理可得平面，又，所以平面平面，平面，所以平面，所以A正确；对于B，因为平面，所以与平面所成角为，如图，当时，最小，的正切值最大，所以B错误；对于C，将沿翻折与在同一个平面，且点，C在直线的异侧，如图，此时，,所以，所以，故，解得，所以的最小值为，所以C正确；对于D，如图，由于平面，所以交线为以B为圆心，半径为4的四分之一圆周，所以交线长为，所以D正确，故选：ACD11BCD【解析】对于

13、A，由为上的奇函数，为偶函数，得，则是周期为4的周期函数，可判断A.对于B，由是周期为4的周期函数，则， ，可判断B对于C，当时，有，又由为R上的奇函数，则时，可判断C对于D，根据函数的周期性和对称性，可以求出函数在各段上的解析式，从而求出函数的零点，可判断D【详解】解：对于A，为偶函数，其图像关于轴对称，把的图像向右平移1个单位得到的图像，所以图象关于对称，即，所以，为上的奇函数，所以，所以，用替换上式中的得， ，所以，则是周期为4的周期函数.故A错误.对于B，定义域为R的奇函数，则，是周期为4的周期函数，则；当时，则，则，则.故B正确.对于C，当时，此时有，又由为上的奇函数，则时，函数关于

14、对称，所以函数的值域.故C正确.对于D，且时，时，此时函数的零点为0，2；是奇函数，时，的周期为，此时函数零点为4；时，此时函数零点为6；时，此时函数无零点；综合以上有，在上有4个零点.故D正确；故选：BCD【点睛】关键点点睛：由是偶函数，通过平移得到关于对称，再根据是奇函数，由此得到函数的周期，进一步把待求问题转化到函数的已知区间上，本题综合考查抽象函数的奇偶性、周期性.12BC【分析】利用退位相减法可得数列的通项及即可判断A选项，按照给出的定义求出即可判断B选项，数学归纳法和累加法即可判断C、D选项.【详解】当时，当时，由，得，故，即，所以数列为等比数列，首项，公比，故，A选项错误；则，所

15、以，B选项正确；当时，假设当时，成立，当时，由可得，则，将上式相加可得，又，则，故，即时也成立，故，C选项正确；D选项，当时，由知不成立，当时，由C选项知：，则 ，上式相加得，又由上知，则，可得，又由可得，即，D选项错误；故选：BC.【点睛】本题关键在于C、D选项的判断，C选项通过数学归纳法和累加法以及组合数的性质即可求解；D选项借助C选项的结论，通过累加法以及组合数的性质进行判断即可.1316【分析】求得中点的轨迹方程，将转化为，根据圆与圆的位置关系，求得的最大值，也即求得的最大值.【详解】由题设知，圆的圆心为，半径为2，圆的圆心为，半径为，过作交于，则为的中点，且，点的轨迹为圆：，其圆心为

16、，半径为1，由向量的平行四边形法则知，圆与圆外离，则的最大值为，的最大值是16.故答案为：【点睛】本小题主要考查动点轨迹方程的求法，考查向量运算，考查圆与圆的位置关系，属于中档题.14【分析】利用导数分析函数、的单调性，结合已知条件可得出，变形后可得出，故，构造函数，其中，利用导数求出函数在上的最大值，即可得解.【详解】因为，其中，当时，此时函数单调递增，当时，此时函数单调递增，且当时，当时，.因为，其中，当时，此时函数单调递增，当时，此时函数单调递减，且当时，当时，.因为存在，使得成立，则，因为，由题意，所以，则，所以，故，其中，构造函数，其中，则，当时，此时函数单调递增，当时，此时函数单调

17、递减，因此，.故答案为：.1519【分析】根据题意得到距离地球约3500光年，一年走过的路程为，3500光年走过的路程为计算出结果即可.【详解】根据题意得到距离地球约3500光年，一年有秒，光速，一年走过的路程为 3500光年走过的路程为 数量级为19.故答案为：19.16 【解析】观察图象根据周期求出，再代入特殊点求出，即可写出函数解析式；求出函数的图象向左平移个单位长度得到的图象所对应的函数解析式，由变换后函数的奇偶性可求出m的最小值.【详解】设函数的最小正周期为，由图知，解得，所以，又函数过点，所以，故，因为，当时满足条件，所以，向左平移个单位长度得到为奇函数，故，当，时满足条件故答案为

18、：；【点睛】本题考查根据图象求三角函数解析式、余弦型函数的奇偶性，属于中档题.17(1)千米(2)千米【分析】（1）在中，由正弦定理计算即可；（2）在中，由余弦定理结合可得进而求解(1)由题意可得，在中，由正弦定理可得，则，故即村中，之间的距离为千米；(2)村庄在村庄的正西方向，因为农贸市场在村庄的北偏东的方向，所以.在中，由余弦定理可得，因为，所以，解得，则，故，即农贸市场到村庄的距离之和为千米.18(1)，；(2)5000；(3)证明见解析.【分析】(1)设等差数列的公差为，根据题意列出关于和d的方程组即可求出；构造数列为等比数列，即可求出；(2)分奇数项和偶数项求和即可；(3)先求出，再

19、求和即可.(1)设等差数列的公差为，由题意得，解得，故数列的通项公式.，即，又，是以2为首项，2为公比的等比数列，.(2)当，时，当，时，.(3)，当时，.19(1)平均数为7.16（小时），中位数为7.2（小时），众数为7小时(2)（小时）【分析】（1）以每组数据的中点代表整组数据，再分别计算众数、中位数和平均数即可；（2）根据小于第三四分位数的数据占比为0.75计算即可（1）由频率分布直方图可以看出，最高矩形底边中点的横坐标为7，故这100名学生参加实践活动时间的众数的估计值为7小时由，可得这100名学生参加实践活动时间的中位数在之间，为（小时）由（0.040.120.15a0.05）21

20、，解得a0.14，则这100名学生参加实践活动时间的平均数为0.04230.12250.15270.14290.052117.16（小时）（2）由（1）知a0.14，因为1000.7575，第1组有0.0421008（人），同理，第2组有24人，第3组有30人，第4组有28人，第5组有10人，因为8243062（人），824302890（人），所以第三四分位数在第4组，为（小时）20(1)证明见解析(2)【分析】（1）先证明是平行四边形，再结合圆柱的性质得到平面；（2）利用等积转换知识结合圆柱的性质先找到体积最大值时的相对位置，再找出二面角的平面角或利用空间向量求得二面角的大小.（1）证明：如

21、图，连接，由题意知为的直径，所以因为是圆柱的母线，所以且，所以四边形是平行四边形所以，所以因为是圆柱的母线，所以平面，又因为平面，所以又因为，平面，所以平面（2）由（1）知是三棱锥底面上的高，由（1）知，所以，即底面三角形是直角三角形设，则在中有：，所以，当且仅当时等号成立，即点E，F分别是，的中点时，三棱锥的体积最大，（另解：等积转化法：易得当F与距离最远时取到最大值，此时E、F分别为、中点）下面求二面角的正弦值：法一：由（1）得平面，因为平面，所以又因为，所以平面因为平面，所以，所以是二面角的平面角，由（1）知为直角三角形，则故，所以二面角的正弦值为法二：由（1）知两两相互垂直，如图，以点

22、E为原点，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则由（1）知平面，故平面的法向量可取为设平面的法向量为，由，得，即，即，取，得设二面角的平面角为，所以二面角的正弦值为21(1)(2)【分析】（1）由点在上解得，由抛物线的定义及得及抛物线方程； （2）设，中点为，设直线的方程为，与抛物线方程联立，由韦达定理，由线段的中垂线方求得、，由解得，从而得到(1)由点在上，得，解得，由抛物线的定义及，得，解得或，结合，得，故抛物线的方程为(2)显然，直线不与轴重合，设直线的方程为，由消去并整理，得，直线与一定有两个交点，设，则，设中点为，则，即，线段的中垂线方程为，令，得，即，所以，又，由，得，解得，所以22(1)单调递减区间是，单调递增区间是；(2)存在，.【分析】（1）由题可得，构造，进而判断导函数的正负，求出单调区间；（2）由题可得恒成立，通过分类讨论，构造函数，利用导数研究函数的单调性，最值，进而可得.(1)因为，所以，即.当时，令，则，所以在单调递增，因为，所以，当时，；当时，所以的单调递减区间是，单调递增区间是.(2)法一：设，则，当时，即，故不符合题意.当时，当时，.令，即，取，则，