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1、多元函数练习题1. 讨论二重极限解法1解法2 令解法3 令时, 下列算法是否正确?分析:解法1解法2 令此法第一步排除了沿坐标轴趋于原点的情况, 此法排除了沿曲线趋于原点的情况. 此时极限为 1 .第二步 未考虑分母变化的所有情况, 解法3 令此法忽略了 的任意性,极限不存在 !由以上分析可见, 三种解法都不对, 因为都不能保证自变量在定义域内以任意方式趋于原点 .特别要注意, 在某些情况下可以利用极坐标求极限, 但要注意在定义域内 r , 的变化应该是任意的. 同时还可看到, 本题极限实际上不存在 .提示: 利用 故 f 在 (0,0) 连续;知在点(0,0) 处连续且偏导数存在 , 但不可

2、微 . 2. 证明:而所以 f 在点(0,0)不可微 !例1. 已知求出 的表达式. 解法1 令即解法2 以下与解法1 相同.则且二、多元函数微分法显示结构隐式结构1. 分析复合结构(画变量关系图)自变量个数 = 变量总个数 方程总个数自变量与因变量由所求对象判定2. 正确使用求导法则“分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导”注意正确使用求导符号3. 利用一阶微分形式不变性例2. 设其中 f 与F分别具解法1 方程两边对 x 求导, 得有一阶导数或偏导数, 求(1999 考研)解法2 方程两边求微分, 得化简消去 即可得例3.设有二阶连续偏导数, 且求解:练习题设函数 f 二阶连续可微, 求下列函数的二阶偏导数解答提示:三、多元函数微分法的应用1.极值与最值问题 极值的必要条件与充分条件 求条件极值的方法 (消元法, 拉格朗日乘数法) 求解最值问题2.在微分方程变形等中的应用例5.求旋转抛物面与平面之间的最短距离.解: 设为抛物面上任一点，则 P 的距离为问题归结为约束条件:目标函数:作拉氏函数到平面令解

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