2021年天津市高考数学试卷及答案

1、 PAGE 92021 年天津市高考数学试卷一选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设集合 A 1， 0，1 ，B 1 ， 3， 5 ， C 0 ，2， 4 ，则（ A B） C（）A 0B 0 ， 1， 3， 5C 0 ， 1， 2，4D 0 ， 2， 3， 4 2已知 aR ，则“ a 6”是“ a236”的（）A 充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件函数 f（ x）ln | x | x 22的图象大致为（）A B CD 从某网络平台推荐的影视作品中抽取400 部，统计其评分数据， 将所得 400 个评分数据分为 8 组：66 ，70），70

2、，74）， 94 ， 98），并整理得到如下的频率分布直方图，则评分在区间82 ， 86）内的影视作品数量是（）A 20B 40C 64D 8015设 a log 20.3， b log0.4， c 0.40.3，则三者大小关系为（）2A a b cB c a bC b c aD a c b6两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为两个圆锥的体积之和为（）32，两个圆锥的高之比为1： 3，则这3A 3B 4C 9D 127若 2a 5b 10，则 1a1（）bA 1B lg 7C 1D log 7102已知双曲线 xa 2y1 （a 0，b 0）的右焦点与抛物线y2b22

3、 2px（p 0）的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于 A， B 两点，交双曲线的渐近线于C， D 两点，若 |CD | 2 |AB |，则双曲线的离心率为（）A 2B 3C 2D 3cos(2 x2 a)，xa设 aR，函数 f（ x）2x2(a1) xa 25， x，若函数 f（ x）在区间（ 0， +）内恰有6 个零点，则aa的取值范围是（）A （ 2，9 （5 ， 11 B（7 ， 2 （5 ， 11 424424C（2，9 11 ， 3）D（ 7 ， 2） 11 ， 3）4444二填空题：本大题共6 小题，每小题 5 分，共 30 分试题中包含两个空的，答对1 个的给 3 分，全部答对

4、的给5 分i 是虚数单位，复数92i 2i11在（ 2x3+1 ） 6 的展开式中， x6 的系数是x12若斜率为3 的直线与 y 轴交于点 A，与圆 x2+（ y 1）2 1 相切于点 B，则 |AB|1a13已知 a 0， b0，则2abb 的最小值为甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜， 否则本次平局 已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为5 和 3 ，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影65响，则一次活动中，甲获胜的概率为； 3次活动中，甲至少获胜2次的概率为在边长为 1 的等边三角形 ABC 中，D 为线段 BC 上的动点，

5、 DE AB 且交 AB 于点 E，DF AB 且交 AC 于点 F，则|2 BEDF |的值为； ( DEDF )DA 最小值为三解答题：本大题共5 小题，共 75 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤在 ABC 中，内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，且 sinA： sinB： sin C 2： 1： 2 ， b 2 （ 1）求 a 的值；（ 2）求 cosC 的值；（ 3）求 sin（2C 6 ）的值如图，在棱长为2 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中， E， F 分别为棱 BC， CD 的中点（ 1）求证： D1F平面 A1EC 1；（ 2）求直线 AC1 与

6、平面 A1EC1 所成角的正弦值；（ 3）求二面角 A A1C1 E 的正弦值x22y 221（ a b 0）的右焦点为F，上顶点为 B，离心率为 2 5 ，且 |BF | 5 已知椭圆ab5（ 1）求椭圆的标准方程；（ 2）直线 l 与椭圆有唯一的公共点M，与 y 轴的正半轴交于点N，过 N 与 BF 垂直的直线交x 轴于点 P若 MP BF，求直线 l 的方程已知数列 an 是公差为 2 的等差数列，其前 8 项的和为 64数列 bn 是公比大于 0 的等比数列， b1 4，b3 b2 48（ 1）求数列 an 和 bn 的通项公式；（ 2）记 cn b2n+1 ，nN* bnn（ i）证

7、明： c2 c2n 是等比数列；nak ak 1（ ii ）证明：k 12cck2k22 （ nN* ）已知 a 0，函数 f（x） ax xex（ 1）求曲线 f（ x）在点（ 0， f（ 0）处的切线方程；（ 2）证明函数 f（ x）存在唯一的极值点；（ 3）若? a，使得 f（ x） a+b 对任意的 xR 恒成立，求实数 b 的取值范围2021 年天津市高考数学试卷参考答案与试题解析一选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 C2A3 B4 D5 D6 B7 C8 A9A二填空题：本大题共6 小题，每小题 5 分，共 30 分试题中包含两个空的，答对1 个的给 3

8、分，全部答对的给5 分10 4 i11 16012 313 22141 ， 715 1， 1132720三解答题：本大题共5 小题，共 75 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 16解：（ 1） ABC 中， sinA：sinB： sinC 2： 1： 2 ， a： b： c2： 1： 2 ， b 2 ， a 2b 22 ， c 2 b 22（ 2） ABC 中，由余弦定理可得cosC ab2c 22ab8243 22224（ 3）由（ 2）可得 sinC1cos2C7 ，4 sin2C2sin CcosC 378， cos2C 2cos2C 1 1 ，8sin（ 2C） sin2 Cc

9、os66 cos2Csin 3211 61617（ 1）证明：以点 A 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则 A1 （0， 0， 2）， E（2， 1， 0）， C1（ 2， 2， 2），故 A1C1(2，2，0)，EC1(0，1，2) ，设平面 A1EC1 的法向量为 n( x，y， z) ，则 n A1C1n EC10，即0 xy0，y2z0令 z 1，则 x 2，y 2，故 n( 2， 2，1) ，又 F（ 1， 2， 0）， D1（ 0， 2，2），所以 FD 1(1，0，2 ) ，则 nFD 10 ，又 D1F? 平面 A1EC，故 D1F平面 A1EC1；（ 2）解：由（ 1

10、）可知，AC 1( 2 ，2，2 ) ，则 | cosn，AC 1| n| n | |AC 1 |AC 1 |23，3239故直线 AC1 与平面 A1EC1 所成角的正弦值为3 ；9（ 3）解：由（ 1）可知AA1( 0 ，0，2) ，设平面 AA1C1 的法向量为 m(a， b，c) ，则 m AA1 m A1C10 ，即0c0ab0令 a1，则 b 1，故 m(1，1，0 ) ，所以 | cosm ，n| mn |422|，| m | | n |323故二面角 A A1C1 E 的正弦值为1( 22 ) 21 332 5解：（ 1）因为离心率e5，|BF| 5c2 5a5所以aa2b25

11、，解得 a 5 ， c 2，b 1，c2所以椭圆的方程为（ 2）先证明椭圆x 22+y5x2y 2a2b211 上过点 M（ x0， y0）的椭圆的切线方程为：xx0 a2yy01 b22由于椭圆过点（ x0， y0），则 x0a22y01 ， b22对椭圆求导得 yb x a 2 y，即切线的斜率 kb2 x0a 2 y，0故切线的方程 yy0b2 x02（ x x0），a y0将 代入得xx0 a 2yy01b 2则切线 MN 的方程为x0 x +y0y 1，5令 x 0，得 yN 11 ，y0y0因为 PN BF，所以 kPN?kBF 1，所以 kPN?（ 1 ） 1，解得 kNP2，2

12、设 P（ x1， 0），则 kNP1y00 x1 2，即 x11，2 y0因为 MP BF，所以 kMP kBF，所以y00 x12 y0 1 ，即 2y0 x0+21，2y0所以 x0 2y01，2y0又因为20 x0+y52 1，4y 2216所以0y 21，解得 y0，05520y 206因为 yN0， 所以 y0 0，所以 y06 ， x0635 6 ，636656 x所以6+56 y 1，即 x y+6 06证明：（ 1）由数列 an 是公差 d 为 2 的等差数列，其前8 项的和为 64，可得 8a1+1 8 7d 64，解得 a1 1，2所以 an 1+2（ n 1） 2n 1，

13、 nN * ；由数列 bn 是公比 q 大于 0 的等比数列， b1 4， b3 b2 48，可得 4q2 4q 48，解得 q 4（ 3 舍去）， 所以 bn 4n， nN* ；（ 2）（ i）证明：因为an 2n1， bn 4n，所以 cn b2n+1 42n+ 1 ，bn4n则 c 2 c（ 42n+1 ） 2（ 44n+1）42n2 4n144 n12 4n ，n2nn442 n42 n42n2所 以 cn 1c2n 22 4n 14 ，c2n又 c 2cc2 n(4221) 24n(441 )8 ，12442n所以数列 c2 c2n 是以 8 为首项， 4 为公比的等比数列；an a

14、n 1(2n1)(2n1)4n214n 2n（ ii ）证明：设 pn2cnc2n2 4n2 4n2，2 4n2n考虑 qnnn ， 则 pn 2 qn，2n所以qk k 112222.n ，2nn则qkk 1122223.n2n 1 ，两式相减可得，nqkk 111222.12nn2n 11(11 )22n112n2n 1n212n 1，n所以qk k 1n222n2，n2则akak 1nn2q22 ，ak ak 122k 1ckkc2kk 1k 1ckc2k2n2故ak ak 122 k 1ckc2k20（ 1）解：因为 f （ x） a（ x+1） ex，所以 f（ 0） a 1，而 f

15、（0） 0，所以在（ 0， f（ 0）处的切线方程为y（ a 1）x（ a 0）；（ 2）证明：令 f（ x） a（ x+1 ） ex 0，则 a（ x+1） ex，令 g（x）（ x+1） ex，则 g（ x）（ x+2） ex，令 g（ x） 0，解得 x 2， 当 x（， 2）时， g（ x） 0， g（ x）单调递减，当 x（ 2， +）时， g（ x） 0，g（ x）单调递增， 当 x时， g（ x） 0，当 x +时， g（ x） 0， 作出图象所以当 a 0 时， y a 与 yg（ x）仅有一个交点，令g（m） a， 则 m 1，且 f（ m） a g（m） 0，当 x（， m）时， a g（m）， f（x） 0， f（ x）为增函数；当 x（m，+）时， a g（ m）， f（ x） 0， f（ x）为减函数； 所以 xm 时 f（x）的极大值点，故f（ x）仅有一个极值点；（ 3）解：由（ 2）知 f（ x） max f（ m），此时 a（ 1+ m） em，（ m 1），所以 f（x） a max f（ m） a（ 1+m）mem mem（ 1+m） em（ m2 m 1） em（ m 1）