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文档简介
1、线性代数电子课件西安石油大学理学院工程数学教研室制作第十三讲 矩阵的秩矩阵秩的定义初等变换与矩阵的秩再论矩阵的等价标准形等价标准形应用举例小结一、矩阵秩的定义矩阵的秩由秩的定义及行列式的性质可以推出以下结论：（1）若A是m行n列矩阵，则(2)若A是n阶方阵，则（3）若A有一个r阶子式不为零，则（4）若A的所有r+1阶子式全为零，则定理2.4 R(A)=r的充要条件为A有一个r阶子式不为零，而所有r+1阶子式（如果有的话）全为零。例1解例2解例3解计算A的3阶子式，另解显然，非零行的行数为2，此方法简单！问题：经过变换矩阵的秩变吗？证二、初等变换与矩阵的秩 经一次初等行变换矩阵的秩不变，即可知经
2、有限次初等行变换矩阵的秩仍不变证毕推论 设A是一个m行n列矩阵，P是一个m阶可逆矩阵，Q是一个n阶可逆矩阵,则R(PA)=R(AQ)=R(PAQ)=R(A)初等变换求矩阵秩的方法： 把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.例4解由阶梯形矩阵有三个非零行可知则这个子式便是 的一个最高阶非零子式.例5解分析：三、再论矩阵的等价标准形一个矩阵A总可经过一系列初等变换化为 等价标准形 其中数r就是矩阵A的秩。r由A唯一确定，它是一个关于初等变换的不变量。定理2.6 两个同型矩阵等价的充分必要条件是它们的秩相等。推论 两个矩阵等价的充分必要条件是它们有相同的等价标准
3、形。定理2.7 设A是m行n列矩阵，其秩R(A)=r,则必存在m阶可逆矩阵P与n阶可逆矩阵Q,使矩阵的等价关系为我们提供了研究矩阵的一种方法：把所有的m行n列矩阵按等价类分类，即把彼此等价的（即秩相同）归成一类，称为等价类，每一类都有一个标准形。秩为r的矩阵可以表示成下列形式四、等价标准形应用举例定理2.8 证设R(A)=r,则A可表示成求秩注意到P可逆，有将QB适当分块最多只有r个非零行，其秩不超过r。于是同理可证定理2.9 设A是m行n列矩阵，若R(A)n，则n 元其次线性方程组AX=0必有非零解。证由于R(A)=rn,所以A的等价标准形并且可表示成右乘Q的逆阵令是前r个分量为0，后n-r个分量为1的n维列矩阵，上式两边右乘 ，可得三、小结(2)初等变换法1. 矩阵秩的概念2. 求矩阵秩的方法(1)利用定义(把矩阵用初等行变
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