大数定律即中心极限定理

1、第1页，共46页，2022年，5月20日，14点35分，星期二第一节 大数定律大数定律依概率收敛定义及性质小结第2页，共46页，2022年，5月20日，14点35分，星期二 大量随机试验中大数定律的客观背景大量抛掷硬币正面出现频率字母使用频率生产过程中的废品率第3页，共46页，2022年，5月20日，14点35分，星期二一、大数定律定理1（切比雪夫定理的特殊情况）切比雪夫 则对任意的0，有做前 n 个随机变量的算术平均第4页，共46页，2022年，5月20日，14点35分，星期二证由切比雪夫不等式上式中令得第5页，共46页，2022年，5月20日，14点35分，星期二说明第6页，共46页，20

2、22年，5月20日，14点35分，星期二二、依概率收敛定义及性质 定义性质第7页，共46页，2022年，5月20日，14点35分，星期二请注意 :第8页，共46页，2022年，5月20日，14点35分，星期二第9页，共46页，2022年，5月20日，14点35分，星期二问题 :伯努利 设nA是n重贝努里试验中事件A发生的次数，p是事件A发生的概率，是事件A发生的频率.第10页，共46页，2022年，5月20日，14点35分，星期二 设 nA 是n次独立重复试验中事件A发生的次数，p是事件A在每次试验中发生的概率，则对于任意正数 0 ，有 定理2（贝努里大数定律）或 伯努利证明第11页，共46页

3、，2022年，5月20日，14点35分，星期二 证毕注 贝努里大数定律表明，当重复试验次数n充分大时，事件A发生的频率nA/n与事件A的概率p有较大偏差的概率很小.或第12页，共46页，2022年，5月20日，14点35分，星期二下面给出的独立同分布下的大数定律，不要求随机变量的方差存在. 设随机变量序列X1,X2, 相互独立，服从同一分布，具有数学期E(Xi)=, i=1,2,， 则对于任意正数 ，有定理3（辛钦大数定律）辛钦大数定律辛钦请看演示第13页，共46页，2022年，5月20日，14点35分，星期二 1、辛钦大数定律为寻找随机变量的期望值提供了一条实际可行的途径.注2、伯努利大数定

4、律是辛钦定理的特殊情况.3、辛钦定理具有广泛的适用性. 要估计某地区的平均亩产量 ，要收割某些有代表性块，例如n 块地. 计算其平均亩产量，则当n 较大时，可用它作为整个地区平均亩产量的一个估计.第14页，共46页，2022年，5月20日，14点35分，星期二例 在一个罐子中,装有10个编号为0-9的同样的球，从罐中有放回地抽取若干次，每次抽一个，并记下号码. 设，k=1,2, 问对序列Xk能否应用大数定律？即对任意的0,解: k=1,2, E(Xk)=0.1, 诸Xk 独立同分布，且期望存在，故能使用大数定律.第15页，共46页，2022年，5月20日，14点35分，星期二三、小结大数定律

5、大数定律以严格的数学形式表达了随机现象最根本的性质之一：平均结果的稳定性第16页，共46页，2022年，5月20日，14点35分，星期二第二节 中心极限定理中心极限定理例题课堂练习小结第17页，共46页，2022年，5月20日，14点35分，星期二 中心极限定理的客观背景 在实际问题中许多随机变量是由相互独立随机因素的综合（或和)影响所形成的.例如：炮弹射击的落点与目标的偏差，就受着许多随机因素（如瞄准，空气阻力，炮弹或炮身结构等）综合影响的.每个随机因素的对弹着点（随机变量和）所起的作用都是很小的.那么弹着点服从怎样分布哪 ？第18页，共46页，2022年，5月20日，14点35分，星期二

6、如果一个随机变量是由大量相互独立的随机因素的综合影响所造成，而每一个别因素对这种综合影响中所起的作用不大. 则这种随机变量一般都服从或近似服从正态分布. 自从高斯指出测量误差服从正态分布之后，人们发现，正态分布在自然界中极为常见. 现在我们就来研究独立随机变量之和所特有的规律性问题.高斯 当n无限增大时，这个和的极限分布是什么呢？第19页，共46页，2022年，5月20日，14点35分，星期二 由于无穷个随机变量之和可能趋于，故我们不研究n个随机变量之和本身而考虑它的标准化的随机变量. 在概率论中，习惯于把和的分布收敛于正态分布这一类定理都叫做中心极限定理.第20页，共46页，2022年，5月

7、20日，14点35分，星期二一、中心极限定理定理1（独立同分布下的中心极限定理）第21页，共46页，2022年，5月20日，14点35分，星期二注 3、虽然在一般情况下，我们很难求出 的分布的确切形式，但当n很大时，可以求出近似分布.第22页，共46页，2022年，5月20日，14点35分，星期二定理2（李雅普诺夫(Liapounov)定理)第23页，共46页，2022年，5月20日，14点35分，星期二第24页，共46页，2022年，5月20日，14点35分，星期二请注意 :第25页，共46页，2022年，5月20日，14点35分，星期二定理6(棣莫佛拉普拉斯（De Laplace定理） 设

8、随机变量 (n=1,2,)服从参数n,p(0p1)的二项分布，则对任意x，有证第26页，共46页，2022年，5月20日，14点35分，星期二 定理表明，当n很大，0p1920)设第i只元件的寿命为Xi , i=1,2, ,16例1解答：E(Y)=1600,D(Y)=160000由中心极限定理,近似N(0,1)P(Y1920)=1-P(Y1920) =1-(0.8)1-=1-0.7881=0.2119第39页，共46页，2022年，5月20日，14点35分，星期二（1)解：设应取球n次，0出现频率为由中心极限定理例2解答：第40页，共46页，2022年，5月20日，14点35分，星期二欲使即查

9、表得从中解得即至少应取球3458次才能使“0”出现的频率在0.09-0.11之间的概率至少是0.95.第41页，共46页，2022年，5月20日，14点35分，星期二（2）解：在100次抽取中, 数码“0”出现次数为由中心极限定理,即其中E(Xk)=0.1, D(Xk)=0.09第42页，共46页，2022年，5月20日，14点35分，星期二即在100次抽取中，数码“0”出现次数在7和13之间的概率为0.6826.=0.6826第43页，共46页，2022年，5月20日，14点35分，星期二四、小结中心极限定理注第44页，共46页，2022年，5月20日，14点35分，星期二这一节我们介绍了中心极限定理 在后面的课程中，我们还将经常用到中心极限定理. 中心极限定理是概率论中最著名的结果之一，它不仅提供了计