四川大学2011年数学分析考研试题解答

1、 #四川大学2011年数学分析考研试题答案+ 1linn-41T 解答.原极限1 + k/n1 2n lim y 咖n台Z2tIn 3.XLDD XLDD (c)?7 1irn(l + l) 解答.由lim arccos 求 a.hosin zlim arccosr-M)Sih 2：7T3知 ea =而 a = lu*(d) lini (ex4-x24-3sinx). x-0 x7解答.原极限=exp | lini:hi (ex + r2 + 3 sin j:) 1 2x J计算下列积分.(a)求 I cos(lii x)dx.tcos(Iiit)解答.设 I 二 co8（Inz）dxz 则i

2、(1iit) - xdx= j-c-osfln jr) 4- j bin(lnXLDDjsin(hiT) J cos(hx)dr=zcos(Ihjt) += x cos(lni-) + sin(lnz) I.x cos(ln i) + sin (In x)| Y 2(b) 乂 TTT.終.WjO则l ,1 _ r r .I=J1(工-i)2 + 2 oc!(c)求交线.| ?/| rf.s,其中i是球而x2 + + z2 = 2与平而r = y的XLDD解答.由对称性知2解答.由对称性知+ y2 + z2)dS = R2.4ttR2 = AttR4.（e）匕知函数/Cr）在/?上连续吋导，求/

3、 :4- yy） - 1办W中L是上f.平而y 0内以（2,3）为起点，（3.2）为终点的介 向分片光滑曲线.解答.由d 1 + y2fby) 一 y去+/（邛）+邛尸（邛），基 y2f(y) -1 = /(邛)+ 邛尸(邛)- 及Green公式知I = f “ fracl + y2f(xy)ydT + y2f(xy) - l dyXLDD XLDD =/ f + ) + 那).(4)dxxdydz + z2dxdy_=儿闷的上侧.解答.由对称性知(I - x2 - y2)dj：dy函数z = f（x.y）灯二阶迮统偏4数且凡牛0.证明：Xj-VJ c e R. y） = c足一条奸线的允贤条

4、件足（/;）2/rx-2/：/x+（/:）2/:; = -证明.由rfj dx） dr fj_+ fy （-别 /；-/ /；x + 匕（-分）_（7iP=（乃）2/二一2尨尺/人+ （尺2/二f(y) = c是直线 斜率#是常数(ITi4论凼数J sin 1和siui在（0,oo） I.的 致迮续性，说HJlffllll. fJ解答.由11sin 1lim x sin - = 0, lim zsin = lim r = 1 x-0 Xxoo X jr*o ix知Tsinl在（O.oo）上一致收敛.又由丄H7T-0（n - ooj，=1sin 丁 nnW sin 1在(0. oo上不一致收敛.

5、E f-1绝对收敛.偶函数f(x)的二阶导数/在x = 0的某个邻域内连续,IL /(0)= OO1, r(0)= z证明级数n=l证明.因/(x)是偶函数，而f为奇函数,f(0) = 0,于是由Taylor 展式知炯=7(0) + 尸(0)x + 2-2, X eXLDD XLDD即有 (0.1)在0，1上町导,且绿函数不取1.证明:方程 /(x) = z在(0,1)内釘唯一的实根.解答.设 F(x) = f(x) - xz 则f(0) = / 0，F(l) = /(l) - 1 0, 而由连续函数介值定理，3e(o. 1), s t. F) = 0,即 /() = G现若还有一 (0,1)满足F(/) = 0,则由Rolle定理，(在(与之间，s.t.r() = o.而尸()=1,这是一个矛盾.总结而有f(x) = r在(0,1)内有唯一的实根.口设/在0,1|上可积，在z = 1处连续证明:lim n /-7( = /(1).一00 人解答.拟合如下f-1/心 m = n广r-W)-/JoO /(:)-/(參n xf(x)-f()dx +2 nifoc |/|- (1 - 0,由，在1处的连续性知34e(ol)，s.t. L2 N = Ii JV = n f xnlf(x