1.1.3空间向量的数量积运算同步练习

1、1.1.3空间向量的数量积运算同步练习一、单选题 TOC o 1-5 h z .在棱长为1的正方体ABC。-481GA中，设而=，AD = b，AA1=c ,则 S+c）的值为（）A. 1B. 0C. -1D. -2【答案】B【解析】a （b+c） = a b+a c=O.故选B.已知。溥均为单位向量，它们的夹角为那么1。+3A1=（）A. ypB. 710C. V13D. 4【答案】C【解析】因为“,力均为单位向量，它们的夹角为三，3所以la + 3占 F = a。+ 9b2 +6a -b = 1 + 9 + 6x 1 x 1 xcos = 13,/. |ti + 3| = JiT,故选 C

2、.三棱锥 A-8CD 中，AB=AC=AD=2, NBAD=900, ZBAC=60,则福前等于（）A. -2B. 2C. -2y/3D. 25/3【答案】A【解析】vCD = AD-AC，/. ABCD = 7AD-AC = ABAD - ABAC = 0 2 x 2 x cos 60 = 2 成选 A.在正方体ABC。ABGA中，有下列命题：（丽 + 而 +而尸=3而1即（福一百） = 0；7）；与4力的夹角为60 .其中正确命题的个数是（）A. 0个B.1个C. 2个D. 3个【答案】C【解析】根据数量积的定义知：正确，同1与奉的夹角为120,，不正确,故选C.已知四面体A-BCD的所有

3、棱长都是2,点E.F分别是AD.DC的中点厕访.丽=()D.【答案】B【解析】由题意可得E/n AC,所以EE8A = AC氏4 = x2x2xcosl200 = l.故选B.已知正四面体A5CD的棱长为2,则而.丽=(【答案】B【解析】如图，取C。中点E,连接AE,8E,则8_LA;CO_L8E, AEBE = E.，CZ)_L平面ABE,于是有C_LAB,，A反。力=0.故选B.三棱锥中，AB = AC = AD = 2, 44=90, NB4c = 90。，则福.丽等于（D. 2/3【答案】A【解析】因为NBA=90, ZBAC = 90,即而，而，AB1AC所以油而=而*=0，AB.C

4、D = ABAD-AC)=AB.Ab-AB =0-0 = 0.故选A.D. 0.若空间四边形O43C的四个而均为等边三角形，则cos（）,而）的值为（）B-T【答案】D【解析】依题意空间四边形。43c的四个面均为等边三角形，设棱长均为。.而反=。不一丽,则方(花一丽)=画玩一次.砺=/ cos? a2 cos? = 0/一一 oA.BC oaoc-ob所以cos(QA BC、= I_|= 一|一|- =。.故选 D/叫g|叫J.已知空间四边形438的每条边和对角线的长都等于。，点瓦户分别是8cA。的中点，则从也4户的值为（A.aB. -a22c- 3n小，D. -cr4【答案】【解析】AF =

5、 -( + )-=-(ABAD + ACAD) = 224=；(/cos600+/cos60) = (/.故选 Cio.已知+B+i=6, in 1=2, 1川=3,片1=4,则向量力与6之间的夹角心B为（A. 30B. 45。C. 60D.以上都不对【答案】D【解析】Y + B+3=6,51=2, 1g1=3,=4, 以这三个向量首尾相连组成aABC；令丽=3，AC=b BC = a 则 aABC 三边之长分别为 BC=2, CA=3, AB=4；2BCCA2x2x3由余弦定理，得：cos/BCA=J. 十 3一中又向量Z和CA是首尾相连，这两个向量的夹角是18。-。，A%即向量。与之间的夹

6、角Vd，不是特殊角.故选D.H.在正方体A88 44GR中，下列结论错误的是（a.（44+ar+4片）2 = 34屋C,向量4Q；与羸的夹角是120【答案】DB.后.（病_而）=0D.正方体A8CO A瓦GQ的体积为|万福亚|【解析】正方体A8CD 4与G如图,由正方体的性质得 +4。；+44=4么+4万+。3=43乖。=|石=3|丽=3福故A正确；福一服=福，由力4J,8C,可得A与，平面ARC,则4隹，AC,所以aRAC = 0即后,（4瓦-4& = 0,故B正确;由正方体性质可得AOJ/BG，易知8GA为等边三角形，所以N48G=60,所以向量AO；与港的夹角是i2（y，故c正确：因为4

7、月_LAA；,所以IA月A4Ail=0,故D错误.故选D.12.如图，三棱柱A8C 44G中，底面边长和侧棱长都相等，NR4A =NC44=60。，则异而直线从4与8a所成角的余弦值为（【答案】D【解析】三棱柱ABC -A蜴G中，底面边长和侧棱长都相等，NB44=NC3=60。, 1 1设棱长为 1,则 AB AC = lxlxcos60 = 一， AB AA = Ixlxcos60 =, 22AC AAj = 1 x 1 xcos60 = 1. AB1 = AB+ A， BC = AA+AC-AB所以衣;的=（而+M） （M+x?一砺） =AB AAy + AB AC AB + AA + A

8、A , AC AA e AB1 1 t t 1 1 t=i 1 + 1 + = 1 2 22 2而西=J（福 + 羽Y =y）AB2 + 2AB-AA + X2 =#, 网=J（丽+ /一碉? =。1 + 1 + 1-1-1 + 1 =&, AB.BC. 1x/6所以 cos =： =， 所以 .Ij /、1/9 故填 9 ,-BDDCcos(BD, DC) =-x5x3xcos(7i-NBDC)= 一一 一一网|.陷|也义行6， 故选D.二、填空题13.如图，在长方体 A8CO 4MG2 中，设 AO = AA=1, AB = 2,则 4G.衣=【答案】5【解析】由题意得祠/ = （而+而+

9、丽）（而+而卜正.而+而丽=5.故填514.如图所示，在空间四边形A8CO中，48 = 90。，8 = 3, BC = 4, M. N分别为AB, AD的中点，则丽.成二9【答案】-2a【解析】由题易知50 = 5，cosZBDC =- 所以15MNDC = BDDC216.已知 1。1=跑=b1=1.。+。+。=0,则 a c+b c+a b=.3【答案】一7.2【解析】设七十方+小6 =工,则21=伍+6)*+(5+二)4+(+4)5 = 日产一|5卜二一3.33解得x=二.故填一二. 22.已知：如图，在60。的二面角的棱上有43两点，直线AC、8。分别在这个二面用的两个半平面内,且都垂

10、直A8，已知A8 = 4,AC = 6,8O = 8,则C =.【答案】2屈【解析】CD = CA + AB + BD所以CD =(CA + AB + BDy =CA2 +AB2 +BD +2(CA-AB+ CABD +AB-BD),/2= 16 + 36 + 64 + 2 0 + 6x8xcos tt + 0 = 116-48 = 68 ,所以|C)| = 2,故填2VT7. A4=l, ZBAD = AAAD = ZAAB = 60 t所以 卜 | = 1 + 1 + 1 + 2cos ABAD + 2cos ZBAA + 2cos Z.DAA=痣乂 g=k闵=“ + M卜 AD + A4

11、,2 + 2 AD A = Jl + l + 2cosZDA4,=亦，所以cosNGA*4*等=手.故填YL 2xACxAB 2x5/6xl33三、解答题.在平行四边形 A5CO 中，AO=4, CO=3, ZD=60, PAL平面 ABC。，PA=6,求 PC 的长.【解析】因为定=西+而+反,所以I 定 |2= pC、（而 + 而 + 加）2=| 方 P+l AD P+l DC P+2 PA AD +2 PA DC +2 AD DC =62+42+32+2l ADllDClcos 1200=61-12=49,所以I尸乙1=7,即PC=7.如图所示，己知。是ABC所在平面外一点，PA PC,

12、 PB PC, PA LPB,求证：尸在平面A3c 上的射影”是AABC的垂心.PR【解析】v PA PC. PB PC, PA LPB,：.PA-PC = O, 而正=0, PA PB = 0, P4_平而P8C, A PA BC = 0.由题意可知，平面ABC,，PHBC = U, PHAB = b, PH AC = 0.:在辰=（而-可反=而 反一刀辰 =0, ：. AH 1BC.同理可证 3J_AC, CH LAB.是zMBC的垂心.如图所示，在正方体A8CQ-A山C1Q1中，E为hG的中点，试求耳弓与）无所成角的余弦值.【解析】设正方体的棱长为1,标=a, M)=b9 A4 =c,则

13、卬=1方l=ld=l, ab=bc=ca=0.: A = AC = AB + AD 士也IDE = DD+D】E = DD1 + _。 =e+ 一 a, 22)g=(G+力) f c + a =a c+b c+La2+La b=La2=L1I 2 J 2222乂AG =四，|。户=Ji+(g =._ _ cos=AC D-=: = ，A p IC.IIDEI 无x正 ioX2，AG.与力后所成角的余弦值为MioZACD = 90,沿着它的对角线AC将入48.如图，在平行四边形A3CQ中，48 = 2, AC = 42折起，使A3与C。成60。角，求此时8,。之间的距离.B CD【解析】因为ZAC = 90，所以衣诙=0，AC BA = 0-因为AB与CQ成60。角，所以 = 60 或 = 120.因为BD = BA + AC + CD，所以IBDI2=I4I2 +IACI2 +ICDI2 +2BA AC+ 2BA CD + 2AC CD ,所以 I 诟 F=22+(3)2+22+0 + 2x2x2xcos乐,9 + 0 = 10 + 8cos.当丽，丽 = 60。时，I8Z5F=10 + 8cos6Act5 = 10 + 8xcos60o = 14, BD 1= /14 ：当而，丽 = 120。时，I诟F=i()+ 8cos丽，方 = 10 + 8xcos1200 = 6,