极坐标与参数方程知识点总结

1、极坐标与参数方程知识点总结题型一、参数方程转化为普通方程例：已知圆C的圆心是直线鳥+t为参数）与“轴的交点，且圆C与直线X+y+3=0相切，则圆C的方程为分析】这是一道利用圆与直线的位置关系求圆方程的填空题，其中一条直线的方程用参数方程给出。【解析】化直线|：=；（t为参数）为x-y+1=0圆C的圆心是5），半径r=3”；12+12圆C的方程为（X+1）2+y2=2.点睛】将直线的参数方程化为直角坐标方程是解决本题的一个关键点。变式】：1、已知椭圆E的中心是坐标原点，一个焦点是直线x=-t（t为参数）与x轴的交点，一个顶点在直线x+2=0上,Iy=1+t则椭圆E的方程为.（、x2y2=1143

2、丿2.北京9直线fx=2+1fx=3cosay=-1-1（t为参数）与曲线Iy=3sina（a为参数）的交点个数为【解析】直线的普通方程x+y-1=0，圆的普通方程为x2+y2二9，可以直线圆相交，故有2个交点。【答案】23.在平面直角坐标系中，以坐标原点O为几点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系。已知直线l上两点M,N的极坐标兀fx=2+2cos0分别为（2,0）,（,），圆C的参数方程（0为参数）。32Iy=-J3+2sm0（I）设P为线段MN的中点，求直线OP的平面直角坐标方程;（II）判断直线l与圆C的位置关系。【解析】（I）由题意知M（2,0）,N（0,，因为P是线段MN中点，则P（1

3、,亍）因此OP直角坐标方程为：y仝X.3_（II）因为直线l上两点M（2,0）,N（0,才）l垂直平分线方程为：J3X+3y-汙=0，圆心（2,-朽），半径r=22爲-3、打-2凋33+9=-0),C:x2+y2=2解得：交点坐标为(1,1)12在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知射线9=与曲线F=*人(t为参数)4y=(1)2相交于A，B两点，则线段AB的中点的直角坐标为.考点分析：本题考察平面直角坐标与极坐标系下的曲线方程交点.难易度：解析：9=n在直角坐标系下的一般方程为y=x(xgR)，将参数方程Jx=t+1?(t为参数)转化为直角坐标系下的4y=

4、(t-1)2一般方程为y=(t-1)2=(x-1-1)2=(x-2)2表示一条抛物线，联立上面两个方程消去y有x2-5x+4=0，设TOC o 1-5 h zx*x5A、B两点及其中点P的横坐标分别为x、x、x，则有韦达定理x=Ab=，又由于点P点在直线y=xAB0022上，因此AB的中点P(|，2).题型二、极坐标与直角坐标的互化兀例：在极坐标系中，由三条直线9=0，9=3，pcos9+psin9=1围成图形的面积是.【分析】本题给出三条直线的极坐标方程，然后求围成的三角形的面积。3-1【解析】化直线9=0，9=，pcos9+psin9=1为x=0,占x一y=0,x+y一1=0，三条直线的交

5、,围成图形的面积为2xlx2点坐标分别为(0,0),(1,0),【点睛】解题的关键处是将三条直线的极坐标方程化为直角坐标方程。【变式】：在极坐标系中，直线Psin9=1与圆p=4cos9相交于A、B两点，C为圆心，则三角形ABC的面积是.G)(安徽13)在极坐标系中，圆p=4sin9的圆心到直线9=(pgR)的距离是朽解：圆p=4sin9ox2+(y2)2=4的圆心C(0,2)直线l:e=(PwR)ox-訂y6=0；点C到直线l的距3.10陕西15.C.(坐标系与参数方程)直线2Pcos0=1与圆p=2cos0相交的弦长为、拓(1【解析】2pcos0=1是过点-,0且垂直于极轴的直线,12丿P

6、=2cos0是以(1,0)为圆心，1为半径的圆，则弦长I(1A2=2-1(兀、兀设点A的极坐标为2,，直线l过点A且与极轴所成的角为可，则直线l的极坐标方程为.I6丿3.5Psin(冗(兀一、(一4兀、-0=1或pcos-+0=1或psin0-3丿16丿3丿=1或、3pcos0-psin0-2=0极坐标方程分别为p=4cos0和p=-8sin0的两个圆的圆心距为2J5.x解析：p=4P2=4x.X2+y2=4x.(x-2)2+y2=4同理：X2+(y+4)2=16P已知直线l的参数方程为：K=12(t为参数)，圆C的极坐标方程为p=2运sin0，则直线l与圆C的位置Iy=1+4t关系为一相交.

7、&在极坐标系中，圆p=2上的点到直线pcos03sin0丿=6的距离的最小值_1解析：圆p=2可化为x2+y2=4，直线p(os03sin0)=6化为x*3y-6=0,圆心到直线的距离最短距离为3-2=1题型三、参数方程与极坐标方程的应用例：以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位。已知直线的极坐标方小兀Ix=1+2cosa程为0=-(pwR)，它与曲线Iy=2+2sina(为参数)相交于两点A和B，则1AB|=【分析】本题给出直线的极坐标方程和曲线的参数方程，然后求弦长ABI【解析】直线的直角坐标方程为x-y=0，曲线的直角坐标方程为(x-1)2+(y-

8、2)2=4、互，|AB|=20-(宇)2=苗.圆心(1,2)到直线x1-2-y=0的距离d=J12+(-/点睛】将极坐标方程、参数方程统一化为直角坐标方程，然后在直角坐标系中解题。变式】：1.以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位。已知直线的极坐标方程Ix=2+3cosa为pcos9+Psin9=1，曲线的参数方程为y二2+3sina（a为参数）则曲线的中心（圆心）到直线的距离为2.已知曲线C的极坐标方程是P=1，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程（t为参数）.（I）写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程;（n）设曲

9、线C经过伸缩变换；=:得到曲线C，设曲线C上任一点为M（x,y），求x+23y的最小值.23(1)l:：i.=圆C：r+v:=12)十十=1TOC o 1-5 h zrx=3CO5J9j-l42V31=3UQW召+2忑sillF=Q+否x十2語匸畳小值一履-3.在直接坐标系xOy中，直线l的方程为x-y+4=0,曲线C的参数方程为|x=、3cosa（a为参数）y=sina（I）已知在极坐标（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点0为极点，以x轴正半轴为极轴）中，点P的兀极坐标为（4,）,判断点P与直线l的位置关系；2（II）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值.3（花卜题蔣分W芬）选修I：坐标系与参数方程鼻解；（B耙极坐标系下的点弘自瞬直甫坐林