2026北师大版数学八年级下册第6章平行四边形2　平行四边形的判定第2课时　平行四边形的判定定理3教案

第2课时平行四边形的判定定理3教师备课素材示例●置疑导入问题1：如图①，点A，B，C，D在同一平面内，从①AB∥CD，②AB＝CD，③BC∥AD，④BC＝AD这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD是平行四边形的选法有几种？请说明理由．问题2：如图②，将三角尺ABC的一边AC贴着直尺推移到三角尺A1B1C1的位置，这时四边形ABB1A1就是平行四边形．能说说这样做的道理吗？问题3：将两根木条的中点重叠，并用钉子固定，得到如图③的四边形．设疑：你认为这个四边形是平行四边形吗？【教学与建议】教学：问题1为这节课做好铺垫．创设的问题2，检查学生对新知识的预习情况．建议：问题1找几名学生口答并说明理由．对于问题2，先独立思考再找学生发言．由问题3导入新课，观察猜想．●复习导入问题1：平行四边形的定义是什么？问题2：平行四边形的性质有哪些？问题3：判定四边形是平行四边形的方法有哪些？【教学与建议】教学：通过巩固平行四边形的定义和所学过的判定定理，为本课平行四边形的判定的综合运用做准备．建议：让学生直接回答，教师给予补充和说明．命题角度1利用对角线判定平行四边形证明一个四边形是平行四边形时，证明这个四边形的对角线互相平分即可．【例1】如图，▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O作两条直线分别与AB，BC，CD，AD交于G，F，H，E四点．求证：四边形EGFH是平行四边形．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO，AD∥CB，∴∠OAE＝∠OCF.又∵∠AOE＝∠COF，∴△AOE≌△COF(ASA).∴OE＝OF.同理可得：OG＝OH.∴四边形EGFH为平行四边形．【例2】如图，AB，CD相交于点O，AC∥DB，AO＝BO，E，F分别是OC，OD的中点．求证：(1)△AOC≌△BOD；(2)四边形AFBE是平行四边形．证明：(1)∵AC∥BD，∴∠C＝∠D.在△AOC和△BOD中，∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(∠AOC＝∠BOD，,∠C＝∠D，,AO＝BO，))∴△AOC≌△BOD(AAS)；(2)∵△AOC≌△BOD，∴CO＝DO.∵E，F分别是OC，OD的中点，∴OF＝eq\f(1,2)OD，OE＝eq\f(1,2)OC，∴EO＝FO.又∵AO＝BO，∴四边形AFBE是平行四边形．命题角度2灵活运用平行四边形判定方法此类题目考查学生能否灵活判定平行四边形，应观察题目所给条件选择适当的判定方法来解答．【例3】▱ABCD中对角线AC与BD交于点O，下列条件中，一定能判定四边形ABCD为平行四边形的是(B)A．AD∥BCB．OA＝OC，OB＝ODC．AD∥BC，AB＝CDD．AC⊥BD【例4】如图，已知BD垂直平分AC，∠BCD＝∠ADF，AF⊥AC.(1)求证：四边形ABDF是平行四边形；(2)若AF＝DF＝5，AD＝6，求AC的长．解：(1)∵BD垂直平分AC，∴AB＝BC，AD＝CD.∴∠BAC＝∠BCA，∠DAC＝∠DCA.∴∠BCD＝∠BAD.又∵∠BCD＝∠ADF，∴∠BAD＝∠ADF，∴AB∥DF.∵AF⊥AC，BD⊥AC，∴AF∥BD.∴四边形ABDF是平行四边形；(2)∵AF＝DF＝5，四边形ABDF是平行四边形，∴AB＝BD＝5.设BE＝x，则DE＝5－x.在Rt△ABE中，BE2＋AE2＝AB2，即x2＋AE2＝52，在Rt△ADE中，DE2＋AE2＝AD2，即(5－x)2＋AE2＝62，∴(5－x)2－x2＝62－52.解得x＝eq\f(7,5)，把x＝eq\f(7,5)代入x2＋AE2＝52，得AE＝eq\f(24,5).∴AC＝2AE＝eq\f(48,5).高效课堂教学设计1．会证明对角线互相平分的四边形是平行四边形这个判定定理．2．理解对角线互相平分的四边形是平行四边形这个判定定理，并会简单运用．▲重点平行四边形判定方法的探究、运用．▲难点对平行四边形判定方法的探究以及平行四边形的性质和判定的综合运用．◆活动1创设情境导入新课(课件)1．判定四边形是平行四边形的方法有哪些？(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形；(2)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；(3)两组对边分别相等的四边形是平行四边形．2．一位同学将两根木条的中点重叠，并用钉子固定，得到如图的四边形，你认为这个四边形是平行四边形吗？想一想：1．平行四边形的边有什么性质？2．当四边形的对边满足什么条件时能得到平行四边形？3．平行四边形的对角线有什么性质？4．对角线相等的四边形是平行四边形吗？这节课我们将利用对角线互相平分来判定四边形是否是平行四边形．◆活动2实践探究交流新知【探究】对角线互相平分的四边形是平行四边形．现在将你手中两根长度不等的细木条摆放在一张纸上，能否使得这两根细木条的四个端点恰好是一个平行四边形的四个顶点呢？已知：如图，四边形ABCD的两条对角线AC与BD相交于点O，并且OA＝OC，OB＝OD.求证：四边形ABCD是平行四边形．证明：∵OA＝OC，OD＝OB，∠AOD＝∠COB，∴△AOD≌△COB(SAS).∴AD＝CB，∠ADO＝∠CBO，∴AD∥CB.∴四边形ABCD是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形).【归纳】我们又得出平行四边形的一个判定定理：对角线互相平分的四边形是平行四边形．它可以直接成为我们证明命题的依据．几何语言描述为四边形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，∵OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形．判定定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形．◆活动3开放训练应用举例【例1】已知：如图，E，F是▱ABCD的对角线AC上的两点，且AE＝CF.求证：四边形BFDE是平行四边形．【方法指导】先利用▱ABCD的性质得到对角线互相平分，即OA＝OC，OB＝OD.又因为AE＝CF，所以OA－AE＝OC－CF，即OE＝OF，利用平行四边形的判定定理3得到四边形BFDE是平行四边形．证明：连接BD，交AC于点O.∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD(平行四边形的对角线互相平分)．∵AE＝CF，∴OA－AE＝OC－CF，即OE＝OF.∴四边形BFDE是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形)．【例2】(1)对于上述例题，若将条件“AE＝CF”改为“E，F是OA，OC的中点”，则结论还成立吗？(2)对于上述例题，如图，若将点E，F继续移动至OA，OC的延长线上，仍使AE＝CF，则结论还成立吗？【方法指导】平行四边形的性质定理与判定定理的综合运用．解：(1)成立．理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD，OA＝OC.∵E，F是OA，OC的中点，∴OE＝eq\f(1,2)OA，OF＝eq\f(1,2)OC，即OE＝OF，∴四边形BEDF是平行四边形；(2)成立．理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD，OA＝OC.∵AE＝CF，∴OA＋AE＝OC＋CF，即OE＝OF，∴四边形BEDF是平行四边形．◆活动4随堂练习1．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是(C)A．AB∥CD，AD∥BCB．OA＝OC，OB＝ODC．AD＝BC，AB∥CDD．AB＝CD，AD＝BC2．A，B，C，D在同一平面内，从①AB∥CD；②AB＝CD；③BC＝AD；④BC∥AD这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD是平行四边形的选法有(B)A．3种B．4种C．5种D．6种3．如图，在▱ABCD中，∠ABC＝70°，∠ABC的平分线交AD于点E，过点D作BE的平行线交BC于点F，求∠CDF的度数．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC＝∠ADC＝70°，AD∥BC.∵∠ABC＝70°，BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE＝eq\f(1,2)∠ABC＝35°.∵BE∥DF，∴四边形EBFD是平行四边形．∴∠FBE＝∠EDF＝35°.∴∠CDF＝∠ADC－∠EDF＝35°.4．课本P163随堂练习◆活动5课堂小结与作业【学生活动】1．通过这节课的学习，你学到了哪些知识？2．归纳：平行四边形的判定方法：(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义)；(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；(4)对角线互相平分的四边形是平行四边