函数单调性知识点题型归纳

1、函数单一性知识点及题型概括函数单一性知识点及题型概括26/26函数单一性知识点及题型概括.高考明方向1.理解函数的单一性、最大值、最小值及其几何意义2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.备考知考情1.函数的单一性是函数的一个重要性质，是高考的热门，常有问题有：求单一区间，判断函数的单一性，求参数的取值，利用函数单一性比较数的大小，以及解不等式等客观题主要察看函数的单一性，最值确实定与简单应用2.题型多以选择题、填空题的形式出现，若与导数交汇命题，则以解答题的形式出现.一、知识梳理名师一号P15注意：研究函数单一性必然先求函数的定义域，函数的单一区间是定义域的子集单一区间不可以并！知识点一

2、函数的单一性1.单一函数的定义Word资料.2.单一性、单一区间的定义若函数f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数f(x)在这一区间上拥有(严格的)单一性，区间D叫做f(x)的单调区间.注意：1、名师一号P16问题研究问题1对于函数单一性的定义应注意哪些问题？定义中x1，x2拥有随意性，不可以是规定的特定值函数的单一区间必然是定义域的子集；定义的两种变式：Word资料.设随意x1，x2a，b且x10?f(x)在a，b上是增函数；(x1x2)f(x1)f(x2)0?f(x)在a，b上是减函数2、名师一号P16问题研究问题2单一区间的表示注意哪些问题？单一区间只好用区间表示，不可以用会合或不

3、等式表示；若有多个单一区间应分别写，不可以用并集符号“”联系，也不可以用“或”联系知识点二单一性的证明方法：定义法及导数法名师一号P16高频考点例1规律方法定义法:利用定义证明函数单一性的一般步骤是：任取x1、x2D，且x10，则f(x)在区间D为增函数；假如f(x)0，则1为减(增)函数，fx为增(减)函数fx3互为反函数的两个函数有同样的单一性4yfg(x)是定义在M上的函数，若f(x)与g(x)的单一性同样，则其复合函数fg(x)为增函数；若f(x)、g(x)的单一性相反，则其复合函数fg(x)为减函数简称”同增异减”奇函数在对于原点对称的两个区间上的单一性同样；偶函数在对于原点对称的两

4、个区间上的单一性相反Word资料.函数单一性的应用名师一号P17特点专题求某些函数的值域或最值比较函数值或自变量值的大小解、证不等式求参数的取值围或值作函数图象二、例题分析：（一)函数单一性的判断与证明例1.（1）名师一号P16对点自测1判断以下说法能否正确(1)函数f(x)2x1在(，)上是增函数()1(2)函数f(x)x在其定义域上是减函数()Word资料.已知f(x)x，g(x)2x，则yf(x)g(x)在定义域上是增函数()答案：例1.（2）名师一号P16高频考点例1（1）(2014北京卷)以下函数中，在区间(0，)上为增函数的是()Ayx1By(x1)2Cy2xDylog0.5(x1

5、)答案：A.例2.（1）名师一号P16高频考点例1（2）ax判断函数f(x)x1在(1，)上的单一性，并证明Word资料.法一：定义法设1x1x2，ax1ax2则f(x1)f(x2)x11x21ax1x21ax2x11x11x21ax1x2x11x211x1x2，x1x20，x210.当a0时，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，函数yf(x)在(1，)上单一递加同应当a0，即f(x1)f(x2)，函数yf(x)在(1，)上单一递减法二：导数法注意：名师一号P17高频考点例1规律方法1.判断函数的单一性应先求定义域；2.用定义法判断(或证明)函数单一性的一般步骤为：Word资料.取

6、值作差变形判号定论，此中变形为重点，而变形的方法有因式分解、配方法等；3.用导数判断函数的单一性简单快捷，应惹起足够的重视（二）求复合函数、分段函数的单一性区间例1.名师一号P16高频考点例2（1）求函数yx|1x|的单一增区间；1，x1，yx|1x|2x1，x0.则x3.函数ylog1(x24x3)的定义域为3(，1)(3，)又ux24x3的图象的对称轴为x2，且张口向上，ux24x3在(，1)上是减函数，在(3，)上是增函数而函数ylog1u在(0，)上是减函数，3ylog1(x24x3)的单一递减区间为(3，3)单一递加区间为(，1)注意：名师一号P17高频考点例2规律方法求函数的单一区

7、间的常用方法利用已知函数的单一性，即转变为已知函数的和、差或复合函数，求单一区间定义法：先求定义域，再利用单一性定义图象法：假如f(x)是以图象形式给出的，或许f(x)的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单一区间导数法：利用导数的正负确立函数的单一区间Word资料.2例2.（2）(增补)ylog1x4log1x22答案：增区间：1,；减区间：0,144练习:ylog2x2log2x答案：增区间：2,；减区间：0,2（三）利用单一性解（证）不等式及比较大小例1.（1）名师一号P17特点专题典例(1)1已知函数f(x)log2x1x，若x1(1,2)，x2(2，)，则()Af(x1)0，f(x2

8、)0，f(x2)0Bf(x1)0Df(x1)0，f(x2)0Word资料.【规解答】函数f(x)log1x1x在(1，)上为增2函数，且f(2)0，当x1(1,2)时，f(x1)f(2)0，即f(x1)0.例1.（2）名师一号P17特点专题典例(2)24x3，x0，已知函数f(x)x22x3，x0，则不等式(a24)f(3)的解集为()faA(2,6)B(1,4)C(1,4)D(3,5)【规解答】作出函数f(x)的图象，以以下图，则函数f(x)在R上是单一递减的由f(a24)f(3a)，可得a243a，整理得a23a40，即(a1)(a4)0，解得1a4，Word资料.因此不等式的解集为(1,

9、4)注意:本例分段函数的单一区间可以并!（四）已知单一性求参数的值或取值围例1.(1)名师一号P17特点专题典例(3)a2x,x2已知函数fxx知足对随意的实数11,x22f(x1)f(x2)0建立，则实数a的取值围x1x2，都有x2x1为()，13，13A2)B.，2，2(8C(D.8【规解答】函数f(x)是R上的减函数，Word资料.a20，13于是有12由此解得a，a2221，813即实数a的取值围是，8.例2.(1)（增补）假如函数f(x)ax22x3在区间(，4)上单一递加，则实数a的取值围是1答案4，0分析(1)当a0时，f(x)2x3，在定义域R上单一递加，故在(，4)上单一递加

10、；1当a0时，二次函数f(x)的对称轴为直线xa，因为()在(，4)上单一递加，因此1fa0，且4，xa解得1140，则由f(x)0得x2a，当x2a时，f(x)0，f(x)单一增，当2ax2a时，f(x)单一减，f(x)的单一减区间为(2a，2a)，进而2a2，a2.变式：若f(x)x36ax在区间(2,2)单一递减，则a的取值围是？Word资料.讨论f(x)的单一递减区间是(2,2)和f(x)在(2，2)上单一递减是不同样的，应加以划分本例亦可用x2是方程f(x)3x26a0的两根解得a2.例2.(3)（增补）若函数f(x)log1(x3ax)在(3,2)上单一递减，2则实数a的取值围是（

11、）A9，12B4，12C4，27D9，27答案：A温故知新P23第9题若函数fxlog1x2ax3a在区间22,上单一递减，则实数a的取值围是Word资料.计时双基练P217基础7计时双基练P217基础8、108、设函数fxax1在区间2,上是增函数,那么a的取值围是x2a答案:1,10、设函数fxxxxaa（2）若a0且fx在区间1,单一递减,求a的取值围.答案:1,（五）抽象函数的单一性例1.（增补）已知f(x)为R上的减函数，那么知足1的实数x的取值围是()f(|)f(1)xA(1,1)B(0,1)C(1,0)(0,1)D(，1)(1，)Word资料.答案：C分析：因为f(x)为减函数，

12、f(|1|)1，则xx|x|1且x0，即x(1,0)(0,1)练习：yf(x)是定义在1,1上的增函数，解不等式f(1x)f(1x2)答案：0,1温故知新P12第8题注意：解抽象函数的不等式平常立足单一性定义Word资料.或借助图像求解例2.计时双基练P216培优4函数f(x)的定义域为0,，且对全部x0,y0都有f(x)f(x)fy，当x1时，有f(x)0。y1）求f(1)的值；2）判断f(x)的单一性并加以证明；3）若f(4)2，求f(x)在1,16上的值域.答案:单一增;0,4注意：相关抽象函数单一性的证明平常立足定义练习:计时双基练P218培优4函数f(x)的定义域为0,，且对全部x,

13、yR都有f(x)fyf(xy)，当x0时，有f(x)0,f12.3求证:f(x)在R上是减函数；Word资料.求f(x)在3,3上的最大值与最小值.答案:2;2课后作业一、计时双基练P217基础1-10课本P16-17变式思虑1、2；二、计时双基练P217基础11、培优1-4课本P18对应训练1、2、3预习第二章第四节函数的奇偶性与周期性增补：练习1：3，x0且a1)x()a，(x0是R上的减函数，则a的取值围是()112A(0,1)B3，1)C(0，3D(0，3Word资料.x分析：f(x)在R上为减函数，故f(x)a(x0)为减函数，可知0a1，又由f(x)在R上为减函数可知，f(x)在x

14、0时的值恒大于f(x)在x0时的值，进而3a1.分析：f(x)在R上单一递减，01，1aa1.3a1.3答案：B练习2：3ax4ax1，又由f(x)Word资料.在(，1)上单增，3a0，a3，又因为f(x)在R上是增函数，为了知足单一区间的定义，f(x)在(，1上的最大值35a要小于等于f(x)在1，)上的最小3值0，才能保证单一区间的要求，35a0，即a5，由可得1a3.3解法2：令a分别等于5、0、1，即可除去A、B、C，应选D.讨论f(x)在R上是增函数，a的取值不只要保证f(x)在(，1)上和1，)上都是增函数，还要保证x11，x21时，有f(x1)f(x2)练习3：若函数f(x)2

15、x2lnx在其定义域的一个子区间(k1，k1)不是单一函数，则实数k的取值围是()3A1，)B1，2)3C1,2)D2，2)Word资料.答案B分析因为f(x)定义域为(0，)，f(x)1，由f1.4x(x)0，得xx21据题意，k12k1，k103解得1k2，选B.练习4:已知函数y2x33ax212x若函数在R上是单一增函数，则a的取值围是.分析:若函数在R上是单一增函数Rxf(x)0Word资料.因为y6x26ax12张口方向向上，因此0,即36a2420,即22a22时条件建立；（2）已知函数y2x33ax212x，若函数的单一递减区间是1,2，则a的值是.分析:若函数的单一递减区间是1,2(1,2)xf(x)0y6x26ax12因此1,2是方程6x26ax120的两个实数