【研究生课件应用数学基础】3度量空间

1、【研究生课件应用数学基础】3度量空间【研究生课件应用数学基础】3度量空间3.度量空间一、度量空间的定义和例度量空间的定义;lp空间,Ca,b空间二、度量空间的拓扑结构度量拓扑、开集、闭集、闭包、稠密三、连续映射一致连续、Lipschitz连续、序列收敛四、完备性23.度量空间4 一、度量空间的定义和例定义3.1 设V是一非空集合,其中元素称为点,:VVR是非负泛函,满足: (1)x,yV,(x,y)0; (x,y)=0 x=y(x,yV). (2)(x,y)=(y,x)(x,yV). (3)(x,z)(x,y)+(y,z)(x,y,zV).则称是V上的距离函数或度量,V,称为度量空间.3 一、

2、度量空间的定义和例5设V,是度量空间,AV.点x到A的距离以(x,A)表示,定义为 (x,A)=Inf(x,y)|yA.V的子集A的直径dia(A)定义为 当A=时,dia(A)=0; 当A时,dia(A)=Sup(x,y)|x,yA.V中子集A称为有界集,如果存在常数M0,使 dia(A)M.设SV,|S:SSR是在S上的限制,它仍满足度量三公理,因而S,|S是度量量空间,称之为V的子度量空间.4设V,是度量空间,AV.6例3.1 x,yR,x与y的距离定义为 (x,y)=|x-y|,它满足度量三条公理.实际上,(1)x,yR,(x,y)=|x-y|0; (x,y)=|x-y|=0 x=y.

3、(2)x,yR,(x,y)=|x-y|=|y-x|=(y,x).(3)x,y,zR,(x,z)=|x-z|x-y|+|y-z| =(x,y)+(y,z).例3.2 设V是R上线性空间,在V上定义内积 ( , ):VVR,满足:5例3.1 x,yR,x与y的距离定义为7(1)xV,(x,x)0;(x,x)=0 x=.(2)x,yV,(x,y)=(y,x).(3)kR,x,yV,(kx,y)=k(x,y).(4)x,y,zV.(x+y,z)=(x,z)+(y,z).则称V是欧氏空间。xV的长度定义为 x=x, yV两点间的距离定义为 d(x,y)=x-y=可以证明：d满足度量三公理，从而V,d是度

4、量空间。6(1)xV,(x,x)0;(x,x)=0 x=.x首先证明:x,yV,有Cauchy不等式 |(x,y)|xy.当y=时,上式显然成立.设y,t为实数,置 z=x+ty则不论tR取何值,都有 (x+ty,x+ty)0,即 (x,x)+2(x,y)t+(y,y)t20.特别取则有7首先证明:x,yV,有Cauchy不等式则有9由于 (x+y,x+y)=(x,x)+2(x,y)+(y,y) (x,x)+2xy+(y,y) =(x+y)2从而有 x+yx+y.设=x-y,=y-z(x,y,zV),则有 +即 x-zx-y+y-z从而有 d(x,z)d(x,y)+d(y,z)8由于10例3.

5、3 实数域R上的n维向量空间 Rn=(x1,x2,xn)T|xiR,1in,取 x =(x1,x2,xn)T,y=(y1,y2,yn)TRnx与y的内积为 (x,y)=yTx=x1y1+x2y2+xnyn度量为此外，在Rn上还可以定义其它度量，例如 9例3.3 实数域R上的n维向量空间此外，在Rn上还可以定义显然它们都满足度量公理(1)和(2).只要验证公理（3）。而 =d1(x,y)+d1(y,z).由于因此10显然它们都满足度量公理(1)和(2).只要验证 即 d(x,z)d(x,y)+d(y,z).例3.4 Ca,b是R上的线性空间。f,gCa,b，f与g的内积定义为则Ca,b是欧氏空间

6、，其度量为例3.5 考虑lp空间(1p)。11即 d(x,z)d(x,y)+d(y,z).则Cx=(x1,x2,),y=(y1,y2,)lp，它们之间距离为显然它满足度量公理（1）和（2）。 下面将证明，它也满足度量公理（3），从而 lp,是度量空间。设p,qR(1p),先证Hlder不等式：这里，(x1,x2,xn)T,(y1,y2,yn)TRn.12x=(x1,x2,),y=(y1,y2,)lp，它们先证不等式考虑01,则函数 （x)=xx(0 x)的导数为 （x)=(x11)它在0 x1为负。因此，(x)在x=1取最大值。13先证不等式考虑01,则函数15所以 （x)(1)=1(0 x)

7、于是，xR+，有 xx+(1)下面证明Hlder不等式。14所以 （x)(1)=1(0 x)下面取则有于是有15取则有于是有17即得Hlder不等式由Hlder不等式可推出Minkowski不等式：若1p0,自然数N,当nN时有 d(xn,x)N时有 (xn,x)1令M=1+max(x1,x),(xN,x),1,则对一切nN,有 22定理3.1 设 xn是度量空间V，d中收敛于x序取设由于所以，23设由于所以，25二、度量空间拓扑结构度量空间中开球的定义度量空间中集合的内点、内部等概念度量空间中开集、闭集、极限点、导集 闭包等概念度量空间中闭集的充要条件度量空间中开集的特征；闭集的特征度量空间

8、中序列收敛的条件24二、度量空间拓扑结构度量空间中开球的定义26定义3.2 设V，是度量空间，xV,rR+.集合 Br(x)=yV|(x,y)N时xnB(x).证明: ) 0,B(x)=yV|(x,y)N时有，xn B(x),即 (xn,x)0,存在=(x0,)0,使当d(x,x0)时有 (F(x),F(x0)0,存在=(x0,)0,使 F（B(x0)B(F(x0).定理3.6 设(V,)是度量空间，A,BV.f:AB是映射.则下列命题相互等价：37 三、连续映射39 (1)f:AB连续. (2)开集OB,f-1(O)是A中开集. (3)闭集FB,f-1(F)是A中闭集.证明：（1）（2） 任

9、取开集OB，xf1(O),f(x) O,所以有f(x)的邻域 U（f(x),)O,于是f1(O)包含x的一个邻域U（x,)f1(O),即x是f1(O)的内点，从而f1(O)是开集。38 (1)f:AB连续.证明：（1）（2） 任取开集O（2）（3） 设FB是任一闭集，BF=BF是B中开集，则f1(BF)是A中开集。而 f1(F)=f1(B(BF)=f1(B)f1(B F)所以，f1(F)是闭集（A作为R的子拓扑空间为开集）。（3）（1）xX,0,B(F(x)是Y中开集，从而Y- B(F(x)是Y中闭集。因此，39（2）（3） 设FB是任一闭集，41定义3.7 设(X,d),(Y,)是度量空间，

10、映射f:XY称为在X上一致连续,如果0,0,只与有关,当|x-y|(x,yX)时,有 |f(x)-f(y)|0,使Lipschitz连续的映射必一致连续.40定义3.7 设(X,d),(Y,)是度量空间，映射f:X例3.8 设X=Rn,Y=Rm都是欧氏空间,因而是度量空间,欧氏度量为其中 x=(x1,x2,xn)T, y=(y1,y2,yn)TRn u=(u1,u2,um)T, v=(v1,v2,vm)TRm.41其中 x=(x1,x2,xn)T, y=(y1,映射F:XY为它是Lipschitz连续的.这里,FijR(1im,1jn).此映射的分量表达式为若取x0X,v0=F(x0),则42

11、映射F:XY为它是Lipschitz连续的.若取x0X,于是有 (v,v0)Cd(x,x0)这里因此F是Lipschitz连续的.43于是有因此F是Lipschitz连续的.45定理3.4 设X,d和Y,是度量空间,F:XY是映射.则F在X上连续 对于X中任一收敛序列xn,有 证明:) 设F在X上连续，xnx(n),任取Y中开集B，F(x) B,所以，xF-1(B),于是存在自然数N，当nN时，xn F-1(B),F(xn) B,因此44定理3.4 设X,d和Y,是度量空间,F:XY)对于X中任一收敛序列xn,设要证:F在X上连续.若不对,即F在x*不连续,则存在00.0,存在xX,使 d(x

12、,x*), 而 (F(x),F(x*)0.45)对于X中任一收敛序列xn,设要证:F在X上连续.若不特别取1=1,得x1X,使 d(x1,x*)0,存在自然数N,当m,nN时有 (xm,xn)0,存在自然数N,当m,nN时有于是 (xm,xn)(xm,x)+ (xn,x) 我们知道,R中Cauchy列一定收敛.但在度量空间中这一结论一般 不成立. 例如,X=xR|00,存在自然数N,当m,nN时有于是 例3.9 （1）度量空间(V,)中Cauchy列xn必有界；（2）若xn是度量空间(V,)中Cauchy列，且存在收敛子列证明: (1)设xnV为Cauchy列，取=1,存在自然数n0,使当m,

13、nn0时有 (xm,xn)n2时有 51(2)由于xn为Cauchy列，所以取n2=maxn0例3.10 R是完备的.证明：先证：任何实数列xn必有单调子列。记 Ep=xp,xp+1, (p=1,2, )当每个集合Ep都有最大值时，选取当存在某个Ep=xp,xp+1, 无最大值时，则对任意n1p,52例3.10 R是完备的.当存在某个Ep=xp,xp+1,于是xp+1,xp+2, 中必有大于xp的，取为得到再证：R中的任何Ccauchy列xn是收敛的。由于xn是有界的，所以xn有一个单调有界的子列从而，xn收敛。53于是xp+1,xp+2, 中必有大于xp的，取为得到再例3.11 lp(1p0

14、,存在自然数N,当m,nN时有于是当m,nN时有 |i(m)i(n)| (i=1,2,)因此,对每个i(i=1,2,), i(1),i(2),i(n),中R中Cauchy列.54例3.11 lp(1pN时有从而因此让k,对nN,有这里x*=(1,2,)lp.实际上,取=1,存在自然数N,当nN时有 (xn,x*)N,有这里x*=(1,2,)而因此.lp是完备的. 由此可见,Rn是完备的. 例4.2 Ca,b,d是完备的,其中实际上.任取Cauchy列fn(x)Ca,b,56而因此.lp是完备的.实际上.任取Cauchy列fn(x)0,存在自然数N,当nN时有 |fn(x)fn(x)|d(fn,

15、fm)0,存在自然数N,当nN时有59对于每一个开球即 (a,yn)yn是A中Cauchy列由于A是完备的，所以aA,即A是闭集。）设A是闭集。任取A中Cauchy列yn,由于ynV,且是完备，所以，但y*是怕极限点，而A是闭集，所以，y*A,从而，A是完备的。证明: )设A是完备的。任取aA.58对于每一个开球即 (a,yn)yn是A中Cauc)类似.不完备的度量空间是否可在某种意义下成为完备的度量空间?这不仅是必要的而且是可能的.定义4.2 度量空间X,d称为可完备化的,如果存在度量空间X*,d*,满足:(1)存在X*,d*的子度量空间Z,d*,它在X*中稠密,且Z与X是等度的;(2)X*

16、是完备的.称X*是X的完备化空间.59)类似.61可以证明:每一个度量空间都可完备化.(二)压缩映射与不动点原理定义4.3 设X,d是度量空间,映射F:XY称为压缩映射,如果存在常数k,满足0k0;这样可得序列xnX,满足 63定理4.3 设X,d是完备的度量空间,F:XX65 xn=F(xn-1),d(xn-1,xn)0下面证明,xn是Cauchy列.取自然数m1,m2(m2m1),则有取r=m1-1,得64 xn=F(xn-1),d(注意到于是取m2m1,有65注意到于是取m2m1,有67即由于0k0,存在自然数N,当nN时有从而当mnN时有66即由于0k0,存在自然数N,当nN时有由此证明了xn是Cauchy列,由X的完备性,存在x*X,使但F连续,故有而 F(xn)=xn+1因此 即得F的不动点x*X.再证唯一性.设