《几何与代数》总复习课件

1、【几何与代数总复习【几何与代数总复习 线性方程组Ax=b 加法和数乘 转置: (AB)T=BTATA1: AB=BA=E 分块运算: 分块转置初等行(列)变换秩: r(A)=行(列)秩Ak , f(A) Eigen pair: A= ()相似: P1AP=B 计算 xR3时判别直线和平面的位置关系 b可由A的列向量组A1, A2 , ,An线性表示方阵的特征值和特征向量 A= ()方阵的相似对角化问题 P1AP=实对称阵正交相似对角化Q1AQ=diag(1,n)正交变换化实二次型为标准形直角坐标变换化二次曲面为标准形 线性方程组的应用矩阵的运算一般矩阵方阵AB: 交换律消去律|A|: Rnn

2、Rtr(A)=aii: Rnn RA*=(Aji): AA*=|A|E相合: PTAP=B正定: AT=A, xTAx0 (x)判别解:r1r2无解r1=r2=n唯一解, r1=r2 0. 可逆矩阵: AB = BA = E. 几何与代数复习要点 特殊矩阵 行矩阵A1n: 只有一行, 又名行向量. 矩阵乘法消去率一般不成立. 矩阵乘法的交换律和消去率 矩阵乘法交换率一般不成立(AB)k Ak Bk (A+B)2 A2 + B2+2AB (A+B)(AB) A2B2 但是，消去率在A可逆时成立.矩阵乘积可交换的情况：1. 方阵 4. 5. AkAl=AlAk 3. (a Em) Amn = Am

3、n(a En) 2. 对角矩阵 = 几何与代数复习要点 矩阵乘法消去率一般不成立. 矩阵乘法的交换律和消去率 矩非零子式的最高阶数矩阵的秩 6) r(A) r(B) r(AB) r(A) + r(B)A中至少有一个 r级子式0, 任一k(r)级子式=0. r(Amn) minm, n9) 设A是n(2)阶方阵, 则2) A,B相抵 A,B同型, r(A)= r(B) = r(PAQ) (P,Q可逆).3) r(Amn) = r A P,Q可逆,A =P Q. 非零子式的最高阶数矩阵的秩 6) r(A) r(B) 作用初等变换终止矩阵结 果秩阶梯阵r(A)=非0行数行变换极大无关组(基)阶梯阵主

4、列对应原矩阵的列行变换行最简形非主列的线性表示关系解线性方程组Ax=b (AX=B) (A b)行变换(A B)行变换阶梯阵判别解:r1r2无解r1=r2=n唯一解, r1=r2r)级子式=0 特征多项式: |EA| 伴随矩阵: A*=(Aji), AA*=|A|E 逆矩阵: A1 = A*/|A| 应用 克拉默法则: xj=Dj /D 面积/体积 矩 阵 叉积/混合积 几 何 |AT| = |A|. |A| |A|. |A| |A|. 1. 化为三角形行列式 3. 行列式按行(列)展开 2. 箭形行列式的计算 4. 提公因子法 5. 降阶递推法 aik Ajk = |A|ij , 6. 分解

5、行列法 方阵的行列式 定义 性质 计算 n元方程组Ax=bmn矩阵n阶行列式定义加法数乘乘法符号行列式与矩阵的区别 | |,初等变换时用 = 或( ),初等变换时用 mn矩阵n阶行列式定义加法数乘乘法符号行列式与矩阵的区别 n阶方阵A可逆 A与E相抵 A的行最简形为E.A为初等阵的乘积 多角度看可逆阵 A的行(列)向量组线性无关 任一n维向量 都可由行(列)向量组线性表示 A的特征值均不为零 A的行(列)向量组的秩都是n.(非退化阵)(满秩) A的行(列)向量组是Rn的基. A为Rn的两组基下的过渡矩阵. A的解空间的维数为0. A的列空间的维数为n. ATA为正定阵. 方阵A与E 相似 A

6、= E A与E相合A正定i 0p=nA=PTPk0n阶方阵A可逆 A与E相抵 A的行最简形为E.A为 特 征 值 和 特 征 向 量 |EA| = |E(P1AP)| i = tr(A), i = |A| A可逆A的特征值0, 1/是A1的特征值;|A|/是A*的特征值. |EA| = |EAT| A = f(A) =f() 对应于不同特征值的 特征向量线性无关 AT=AR,对应于不同特征值的特征向量正交 性 质 应 用 计 算 定 义 相似对角化 用A=PP 1 计算f(A) =Pf()P1化实二次型为 标准形 |EA| = 0 (EA)x = 0 A = 其中 P 1AP=diag(1,n

7、)A有n个l.i.的特征向量A(复)r(iEA)=nni A有n个不同特征值AA的零化多项式的根可能是但未必都是A的特征值. 特 |EA| = |E(P1AP)| i等价关系定义矩阵定 义等价类代表不变量 RnnRmn相抵相似正交相似Rnn,实对称相抵标准形为初等阵i为特征值 秩 特征值,迹,行列式 秩 相合Rnnr,p,q,对称性,秩 实对称若A可相似对角化 实对称阵相似，特征值同，p,q同，必相合；反之不然.Ep Eq O 正定性 等价定义定 义等价类不变量RnnRmn相抵相似正交二次曲面 f(x1, x2, x3) = xTAx + BTx + c = 0 x = Qy,作直角系的旋转变

8、换作坐标轴的平移g(y) = yTy + BTy + c = 0 y = z+1z12 +2z22 +3z32 = bzi + d Q正交一般方程表示的二次曲面 即1y12 +2y22 +3y32 + b1y1 + b2y2 + b3y3 + c = 0 标准方程 Q正交且|Q|=1右手系右手系几何与代数复习要点 二次曲面 f(x1, x2, x3) = xTAx + BT条件方 程p,qd二次曲面p=3,q=0r(g)=3, b=0椭球面球面p=2, q=1d0p=0,q=3d0d0双叶双曲面d=0二次锥面r(g)=2, b0d=0p=2, q=0椭圆抛物面p=1, q=1双曲抛物面r(g)

9、=2, b=0d0p=2, q=0椭圆柱面p=1, q=1双曲柱面r(g)=1d=0p=1, q=0p=0, q=1抛物柱面 条件方 程p,qd二次曲面p=3,q=0r(g)=3, 几个概念之间的联系 向量 向 量 线性 运算 度量 内积 线性 映射 向量 向量组 矩阵 线性方程组 代数向量 几何向量 线性组合 线性表示 线性相关性 基 维数 极大无关组 秩 向量空间 长度 夹角 单位向量 正交 线性变换 正交变换 正交矩阵 Schmidt正交化方法 几何与代数复习要点 几个概念之间的联系 向量 向 量 线性 度量向量空间向量空间的例子基维数 V Rn,对加法数乘封闭Rn本身e1, e2, ,

10、 enn零空间无0齐次线性方程组的解空间xRn|Ax = , ARmnAx = 的基础解系n r(A)生成子空间L(1, ,s) = k11+ kss|k1,ksR1, , s的极大无关组1, , s的秩A的秩A的列向量组的极大无关组矩阵A的列空间, 即L(A1,A2, An)n r(A)Ax = 的基础解系A的秩A的列向量组的极大无关组A的核空间或零空间K(A)=xRn|Ax= A的值域R(A)=Ax|xRn=L(A1,A2, An)向量空间向量空间的例子基维数 V Rn,对加法数乘封闭x11+x22+xss= 只在x1=x2=xs=0时成立.(1,s)x= 只有零解. (1,s)x=Ax=

11、 有非零解向量组1,s-1,s线性相关向量组1,s-1,s 线性无关 r(A) t, 则向量组I是线性相关的. (10) 若1, , s线性无关, 且可由1, , t线性表示, 则s t. (11) 若向量组1, , s和1, , t都线性无关, 并且这两个 向量组等价, 则s = t. (12) 设I0: 1, , r是向量组I: 1, , s的一个极大无关组, 一些常用的结论 几何与代数复习要点 向量组的线性相关与线性无关 则I0与I等价. (7) 向量组1, , s (s 这两个向量组的秩都是2, 但它们不等价. 事实上, I中的 不能由II线性表示. )例如: 一些常用的结论 (13)

12、 若向量组I: 1, , s可由向量组II: 1, , t线性表示, 则秩(I)秩(II); 若这两个向量组等价, 则秩(I) = 秩(II). (注: 一般情况下, 两个向量组的秩相等时, 它们未必等价! , 1000I: ; 0100II: , 0010, 00011000几何与代数复习要点 向量组的线性相关与线性无关 这两个向量组的秩都是2, 但它们不等价. 事实上, I中向量的数量积、向量积和混合积 数量积向量积混合积定义性质性质2 坐标计算| |=| | |sin =S正定性,线性性,Schwartz不等式反对称性 = =0 = / = a1b1+a2b2+a3b3(, , ) =

13、()=V(平行六面体)轮换对称性,(1),(2),(5)(, , ) =0 共面 a1 a2 a3b1 b2 b3 c1 c2 c3 (,)= =i j ka1 a2 a3 b1 b2 b3第三章 几何空间 向量的数量积、向量积和混合积 数量积向量积混合积定义性质性质3.4 空间的平面和直线 一. 平面的方程 1. 点法式方程 2. 一般方程 3. 特殊位置的平面方程 二. 空间直线的方程 2. 标准(对称)方程 3. 一般方程 三. 与直线、平面有关的一些问题 1. 夹角 2. 距离 3.平面束方程重要信息: 重要工具:三个向量共面 重要信息: P1P2d =|P0Ps| |s|d = |(

14、P0P)n|1(A1x+B1y+C1z+D1)+2(A2x+B2y+C2z+D2)=0第三章 几何空间 3.4 空间的平面和直线 一. 平面的方程 1. 点法式方 平面方程 向量的内积 过原点: Ax+By+Cz = 0 平面方程 =0 向量的混合积 ,共面(,)=0 平面的点法式方程 A(xx0)+B(yy0)+C(zz0)=0 平面的三点式方程 xx1 yy1 zz1 x2x1 y2y1 z2z1 = 0 x3x1 y3y1 z3z1 平面的一般方程 Ax+By+Cz+D =0 特殊位置的平面 /x轴: By + Cz + D = 0 平面的截距式方程 x y za b c+ + = 1

15、/y轴: Ax + Cz + D = 0/z轴: Ax +By + D = 0 x轴: Ax + D = 0 y轴: By + D = 0 z轴: Cz + D = 0几何与代数复习要点 平面方程 向量的内积 过原点: Ax+By+Cz = 直线方程 向量的叉积 直线方程 两平面相交平面束 / = 0 a1 a2 a3b1 b2 b3= = 直线的对称式方程 = = xx0 yy0 zz0 l m n 直线的两点式方程 = = xx1 yy1 zz1 x2x1 y2y1 z2z1参数 方程 x = x0+lt y = y0+mt z = z0+nt 直线的一般方程 A1x+B1y+C1z+D1

16、 =0A2x+B2y+C2z+D2 =0 (A1,B1,C1)( A2,B2,C2)几何与代数复习要点 直线方程 向量的叉积 直线方程 两平面相交平面束 / 位置关系 点,线,面的位置关系 两直线之间的夹角 (方向向量的夹角) 点到直线: 点到平面: 异面直线: 距离 两平面之间的夹角 (法向量的夹角) 直线与平面的夹角 (方向向量与法向量 夹角的余角) 夹角 三个平面 A1x+B1y+C1z+D1 = 0A2x+B2y+C2z+D2 = 0A3x+B3y+C3z+D3 = 0几何与代数复习要点 位置关系 点,线,面的位置关系 两直线之间的夹角 点解：（01-02）六 (12%) 设A = 求

17、参数k; 2.求一个42矩阵B, 使得AB = O, 且秩(B) = 2; 因为秩(A) = 2, 所以k = 0.秩(A) = 2.3. 问是否存在秩大于2的M使得AM = O? 为什么?Ax = 的基础解系中含有两个线性无关的解向量,可取解：（01-02）六 (12%) 设A = 求参数k; 2.解：（01-02）六 (12%) 设A = 求参数k; 2.求一个42矩阵B, 使得AB = O, 且秩(B) = 2; 因为秩(A) = 2, 所以k = 0.秩(A) = 2.3. 问是否存在秩大于2的M使得AM = O? 为什么?Ax = 的基础解系为1, 2.由于任何一个满足AM = O的

18、矩阵M的列向量组都可以由1, 2线性表示, 因而不存在秩大于2的矩阵M使得AM = O. 所以这样的矩阵M的秩一定 2. 解：（01-02）六 (12%) 设A = 求参数k; 2.(2) 探讨变换问题的条件 例6. 设证明：(1)证：设 x 是Ax = 0的非零解.令B=(x,0,0),则(2)证1：设 x1,x2,xn-r是Ax = 0的基础解系.令B=(x1,x2,xn-r,0,0),则(2)证2：则存在n阶可逆阵P,Q, 使得令则3. 培养发散思维(2) 探讨变换问题的条件 (2) 探讨变换问题的条件 例6. 设证明：(1)证：设 x(2) 探讨变换问题的条件 例6. 设(3)证明：(

19、2)证1：设 x1,x2,xn-r是Ax = 0的基础解系.(2)证2：则存在n阶可逆阵P,Q, 使得令则(3)证：则存在n阶可逆阵P,Q, 使得令则3. 培养发散思维(2) 探讨变换问题的条件 令B=(x1,x2,xn-r,0,0),则(2) 探讨变换问题的条件 例6. 设(3)证明：(2)证1(08-09) 若A,B为n阶可逆阵, 则 (01-02)5. 设矩阵A及A+E均可逆, 且G =E(A+E)1, 则G1 = .E+A1(A+E)1A G1 =A1 (A+E) . 若A满足 , 则1. 关于逆矩阵(08-09) 若A,B为n阶可逆阵, 则 (01-02)5（02-03）一6. 若4

20、阶方阵A的秩为2, 则伴随矩阵A*的秩为 ; 0 设A, B都是3阶方阵, AB = O, r(A) r(B) = 2, 则r(A) + r(B) = ; (A) 5; (B) 4; (C) 3; (D) 2;D3为偶数2. 关于矩阵的秩 判断正误：设A23, B23, 则|ATB| = O.r(ATB) r(B) min2,3=2, (ATB)33法II：Bx=有非零解, 则ATBx=也有非零解, |ATB| = O.（02-03）一6. 若4阶方阵A的秩为2, 则伴随矩阵A*若4阶矩阵A,B的秩都为1,则 r(A+B)20设3阶矩阵A= (1,2,3), B= (2+3,123,1). 若

21、A的行列式|A| = 3, 则B的行列式|B| = . 6设A =则|A2B1| = . 1/70若A是正交矩阵, 则|A3AT| = ; 1设3阶方阵A满足AT = A, 则|A| = 0设3阶方阵A的特征值为1,2,3, 则|A26A1+E|= 643. 关于方阵的行列式若4阶矩阵A,B的秩都为1,则 r(A+B)20设3阶矩设3阶方阵A的特征值为1,2,3, 则 4. 关于方阵的迹(08-09)七(2) (4分)设A为n阶实对称阵，i (i= 1,n)是A的特征值, 证明： A的特征值是1 ,n证明：所以A2的特征值是12 ,n2设3阶方阵A的特征值为1,2,3, 则 设 = (1, 2

22、), = (1, 1), 则 T = ; (T)2019 = 15. 关于方阵的正整数幂T = 设 = (1, 2), = (1, 1),解：设XA = AB + X, A = 求X 99. 方程可化为X(AE) = AB .初等列变换可得X=AB(AE)1 解：设XA = AB + X, A = 求X 99. 方程可解：方程可化为X(AE) = AB .可得X=AB(AE)1 X 99 = (X 2)49X = 设XA = AB + X, A = 求X 99. 解：方程可化为X(AE) = AB .可得X=AB(AE1.解：七(10)设3阶实对称阵A的秩为2, 并且AB = C, 求A的所有

23、特征值和特征向量; 2. 求A及A9999.因而A有一个特征值为0. 所以|A| = 0,A是3阶矩阵, 且秩为2, 令由AB = C知,Ap1 = p1, Ap2 = p2, p1, p2分别是A的对应于 = 1和 = 1的特征向量.A实对称, 则对应于0的特征向量p3与p1, p2正交, 1.解：七(10)设3阶实对称阵A的秩为2, 并且AB = 1.解：七(10)设3阶实对称阵A的秩为2, 并且AB = C, 求A的所有特征值和特征向量; 2. 求A及A9999.令P = p1, p2, p3, 则P1AP = = 故A = PP1 = A9999 = (PP1)9999 = P9999

24、P1 = PP1 = A = 1.解：七(10)设3阶实对称阵A的秩为2, 并且AB = 36.设 . (1) a,b满足什么条件时 是A的特征向量？若是A的特征向量，求相应的特征值。(2)若是A的特征向量，且A有一个二重特征值，求a,b的值. 并讨论 A能否相似对角化？若能，求对角阵和相应的相似变换矩阵。 （共14分）解：(1) =2， a+b = 2(2) =0,2, a36.设 . (1) a,36.设 . (1) a,b满足什么条件时 是A的特征向量？若是A的特征向量，求相应的特征值。(2)若是A的特征向量，且A有一个二重特征值，求a,b的值. 并讨论 A能否相似对角化？若能，求对角阵

25、和相应的相似变换矩阵。 （共14分）解：当a=2时，(2) =0,2, a=2, a+b = 2b=0，2是二重特征值，A能相似对角化.对应2的特征向量是36.设 . (1) a,36.设 . (2)若是A的特征向量，且A有一个二重特征值，求a,b的值. 并讨论 A能否相似对角化？若能，求对角阵和相应的相似变换矩阵。 （共14分）解：当a=2时，(2) =0,2, a=2, a+b = 2b=0，2是二重特征值，A能相似对角化.对应2的特征向量是对应0的特征向量是36.设 . (2)若是36.设 . (2)若是A的特征向量，且A有一个二重特征值，求a,b的值. 并讨论 A能否相似对角化？若能，

26、求对角阵和相应的相似变换矩阵。 （共14分）解：当a=0时，(2) =0,2, a=2, a+b = 2b=2，0是二重特征值，A不能相似对角化.当a=2时，b=0，2是二重特征值，A能相似对角化.36.设 . (2)若是1. 设A是65矩阵, 若Ax=的解空间是2维的, 则AT x=的解空间是 维的; 35r(A)=2632. 设xR3, r(A)=2, 是Ax=b的解,则Ax=b的通解是 ； 的基础解系有1个解向量 则Ax=b的通解是 1. 设A是65矩阵, 若Ax=的解空间是2维的, 则33. 设A = (A1, A2, A3, A4), 其中列向量A1, A2, A4线性无关, A3

27、= 2A1 A2 + A4, 则齐次线性方程组Ax = 的一个基础解系是 r(A)=32A1 A2 A3 + A4 =0Ax= (A1, A2, A3, A4) x =0 = (2, 1, 1, 1)T; 4.设，则3. 设A = (A1, A2, A3, A4), 其中列向解：六(12)设3维向量 与 1. 求 的秩及一个极大无关组, 并求a,b,c; 2. 令 , 求解AX=B.等价.两向量组等价,线性无关,是 一个极大无关组.r3ar1解：六(12)设3维向量 若矩阵 满足 ，则合同，如果矩阵与满足条件 。则参数若矩阵 满足 设矩阵 。则正确的是A. A与C相似，B与D合同B. A与C合同，B与D相似C. A与B相似，C与D合同D. A与B合同，C与D相似A不对称，不与B,C合同C设矩阵 。则正确的是A. 设A,B都是n阶可逆阵，则必有 .A. 存在可逆矩阵P，使得B. 存在可逆矩阵P，使得C. 存在可逆矩阵P，Q使得PAQ=BD. A(A+B)B是可逆矩阵C设A,B都是n阶可逆阵，则必有 .A. 存设n阶方阵A,B满足r(A)+r(B)n，证明: A,B有相同的特征值和特征向量.证明:r(A)+r(