八年级下册数学-勾股定理综合探究

1、第 7 讲勾股定理综合探究题型一【板块一】直角三角形斜边上的高与边的关系 直角三角形斜边上的高与边的关系探究【例 1】如图，在R eq oac(,t)ABC 中，ACB90，CDAB 于 D，设 ABc， ACb，BCa， CDh求证：1 1 1（1） ；a 2 b 2 h2（2）a bc h；（3）以 a b，h，c h 为边的三角形是直角三角形CADB题型二手拉手旋转构造全等三角形与勾股定理的综合应用【例 2】已知AOB90，在AOB 的平分线 OM 上有一点 C，将一个三角板的直角顶点 与 C 重合，它的两条直角边分别与 OA、OB（或它们的反向延长线）相交于点 D、E （1）如图 1

2、当三角板绕点 C 旋转到 CD 与 OA 垂直时，求证：OD OE 2 OC；（2）如图 2 当三角板绕点 C 旋转到 CD 与 OA 不垂直时，上述结论是否还成立？若成立， 请给予证明；若不成立，请说明理由（3）如图 3，线段 OE、OC、OD 之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并证明AMAD COMEBADOCMBODCEB图1图2图3【例 3】如图，在 eq oac(,Rt)ACB 中，ACBC，ACB90，ADB30，AD6，CD7 2 ， 则 BD 的长是 C ABD【例 4】如图，MAN135，BAD90，ABAD(1)BMAB，DNAD，若 BMDN，则线段 MN 与 BM

3、DN 的数量关系是 ； (2)如图 1，BMAB，DNAD，若 BMDN(1)中的数量关系是否仍成立?并说明理由； (3)如图 2，若 B，D，M 在一条直线上，请探究：以线段 BM，MN，DN 的长度为三边长的 三角形是何种三角形?并说明理由NNBADDAMB图1M图2针对练习 11如图，在四边形 ABCD 中，ADBC(BCAD)D90，BCCD12，ABE 45，若 AE10，则 CE 的长为 D AEC B2如图，在ABC 中，ABAC5，BC2，以 AC 为边在ABC 外作等 eq oac(,边)ACD，连接 BD，则 BD 的长为 ADB C3如图，在AOB 中，AOBO 13 ，

4、OC1，AOB120，OCB60，求 AC 的长AOBC【板块二】巧用公共边或相等的边的桥梁作用(双勾模型)方法技巧用直角三角形中公共边或相等的边为桥梁，两次或多次运用勾股定理解决问题 题型三 直角三角形中公共边、相等边的桥梁作用【例】如图，点 C 在线段 AB 上CDAB，连接 AD，BEABAE 是DAB 的平分线，与 DC 相交于点 FEHCD 于点 G，交 AD 手点 H (1)求证:AHHE；(2)若 ABCD，求证:ADAC BE；(3)若 ABCD4BE3求 AH 的值；连接 DE，求 DE 的值DHEGACB针对练习 21如图，在ABC 中，C90，点 D 在边 AC 上，点

5、E 在边 BC 上，AD3CD，BE 3CE，点 M 在边 AB 上，连接 MDMC，ME，MAMC，记 MDa，MEb，MCc (1)求证:MAMB；(2)如图 1，当A45时，求证: a258c2；(3)如图 2当A45时，试探究 a 2 ， b 2 ， c 2 之间的数量关系CDA M图1ECEDB A M图2B2已知AOB45，点 P 在AOB 内部，点 M 在射线 0A 上，将线段 PM 绕点 P 逆时针 旋转 90得线段 PN(1)如图 1，点 N 恰好落在 OB 上时，(OMON)，ON8 2 ，PM5 2 求 OM 的值延长 NP 交 OA 于点 C，求 OC 的值；(2)如图

6、 2，若AOP30，OP2，点 M 在射线 0A 上运动，连接 ON， eq oac(,求)OPN 周长的 最小值BNBPOPC MANO MA图1图23如图，ABC 三边长分别是 BC17，CA18，AB19， eq oac(,过)ABC 内的点 P 向ABC 三边分别作垂线段 PD，PE，PF，且 BD CE AF27，求 BD BF 的长 CEDPA F B4将正方形 ABCD 折叠，使顶点 A 与 CD 边上的点 M 重合，折痕交 AD 于点 E，交 BC 于 点 F，边 AB 折叠后与 BC 边交于点 G(1)如图 1若点 M 为 CD 边的中点，求 DEEMCF 的值；(2)如图

7、2DM 1 DE 求 的值 MC 2 CFDEMCGD M CGENFNFA图1BA图2B5.如图，ABBC，射线CMBC，且BC5，AB1，点P是线段BC（不与点B，C重合）上 的动点，过点P作DPAP交射线CM于点D，连接AD.（1）如图1，若BPCD4，求AD的长；（2）如图2.若DP平分ADC，探究PB与PC的数量关系，并说明理由；（3）若PDC是等腰三角形，作点 B关于AP的对称点 B ，则 B D的长是_（请直接写 出答案）MMDDMAAAB图1P CB图2P CB图3C【板块三】平面直角坐标系中的直角三角形题型四 平面直角坐标系中直角三角形的综合应用探究【例1】如图，A（0，a），C（c，0），其中a，c满足c a 2 2 a 6.（1）求AC的长；（2）过点A作ABAC，且ABAC，点D为n轴负半轴上一点，ABD90，求点D的坐标；yADO C xB【例2】如图，A（0，m），B（n，0），满足 (